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数学方法论论文

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研究生课程论文

论文题目 数学归纳法在中学数学中的灵活使用 课程名称 数学方法论 专 业 学科教学（数学） 年 级 研一

学 院 数计院 日期(年月日) 2014年1月14日 数学归纳法在中学数学中的灵活使用

摘 要：本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论

与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和

数的整除证明等方面的灵活运用，目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的

运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。

关键词：数学归纳法；中学数学；问题分析

每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科

研工作，获得丰硕成果。教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。下

面就让我来介绍数学归纳法在中学数学中的灵活使用。

数学归纳法是数学中一种证明与自然数 n 有关的数学命题的重要方法，是通

过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题

的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上

证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个

重要内容。

首先我们来看看数学归纳法的基本原理，数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自

然数公理，自然数有以下性质：

(1)1是自然数字；

(2)每一个确定的自然数α,都有一个确定的后继数β,β也是自然数；

(3)1不是任何自然数的后继数；

(4)一个数只能是某一个数的后继数,后者根本不是后继数,即当βα=n 的时候

一定有βα=；

(5)任意一个自然数的集合如果包含1，并且包含α，也一定包含α的后继

数 β,那么这个集合包含所有的自然数。

性质(5)就是数学归纳法的根据。

数学归纳法原理的形式有很多种,在此我只给出与中学数学内容有关的形

式及其变形,并揭示它的逻辑结构。

形式：设 p(n)是关于自然数 n 的命题，若①p(1)成立；②"n ∈N ，若 p(n)成立→p(n+1)成立,则 p(n)对 "n ∈N 都成立。

变形:设 p(n)为自然数 n 的命题，若①()0n p 成立()N n ∈0；②"n ∈N ，

0n n >，若 p(n)成立→p(n+1)成立。则 p(n)对 "n ∈N,0n n >都成立。

根据数学归纳法原理的形式,我们在证明有关的自然数命题时可相应地按

照以下两个步骤来进行:

①验证 p(1)是成立(奠基步骤)；

②假设 p(n)成立，导出 p(n+1)也成立（归纳步骤）；

由①、②可知 p(1)对 "n ∈N 成立。

这就是数学归纳法的最基本的形式,通常称作第一数学归纳法。数学归纳

法的中心思想是:用有限次的验证和一次逻辑推理,代替无限次的验证过程,实现从无限到有限的转化。

学生学会了数学归纳法,意味着既掌握了一种证明方法,可以解决很多以前

他们解决不了的问题,又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中,不仅会遇到各种技巧上的困难,而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧,也常常不能真正理解它的含义。因此,数学归纳法是一个教学难点,在中学数学教学中应给予足够的重视。

下面我们就来看看数学归纳法的灵活应用：

一、解决几何问题可应用数学归纳法

用数学归纳法证明几何问题的关键是: 由“n=k 时命题成立”,到“n=k+1 时命题成立”。应理解为由 k 个几何元素又增加了一个元素到k+1 个,要找出增加的元素与原来的 k 个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化,找到 f(k+1)与 f(k)的关系。

例 1：平面上有 n 条直线,其没有两条平行,也没有三条直线交于一点,求

证这 n 条直线共有()12

1-=n n P n 个交点。 证明(1)当 n=2 时,12=P ,命题成立；

(2)假设当 n=k(k>2)时,命题成立。即 k 条直线有()12

1-=k k P k 个交点。当n=k+1时,增加了一条直线,由于没有两条直线平行,也没有三条直线相交于

一点, 所以新增加的直线与原来 k 条直线各有一个交点,就是比 n=k 条直线时增加了 k 个交点,即

k P P k k +=+1（即(f(k+1)=f(k)+k)

就是当 n=k+1 时,命题也成立。

由(1)和(2)知,对任意自然数 n,命题都成立。

二、 求解数列问题可借助数学归纳法

由于数列与自然数有直接的联系,因而,在数列问题的证明中常常用到数学

归纳法的方法进行证明。

例2：已知数列{}n a 的通项公式()2124-=

n a n ，数列{}n b 的通项满足()()()n n a a a b ---=11121 。证明n

n b n 2112-+=。 证明：()111++-=n n

n a b b ，()111++-=n n n a b b （1)当 n=1 时,()()2112341111-+=

-=-=-=a b 成立； （2）假设k k b k 2112-+=，则()1112112++--+=k k a k

k b =

()()121112+-++k k 即 n=k+1 时命题成立。

由(1),(2)得n

n b n 2112-+=。 三、 证明不等式可妙用数学归纳法

用数学归纳法证明不等式,在将 f(k)过渡到 f(k+1)时,为了利用归纳假设,在变形中常用替换法放大(或缩小)不等式。

例3：证明对于5≥n 的自然数,有22n n >。

证明：(1)当 n=5 时,左边 =32,右边 =25,不等式成立。

(2)假设当 n=k(k>5)时,不等式成立,即 22k k >，当 n=k+1,有k k 2221⨯=+ 2222k k k +=；

而(

)k k k k k k k 5,552222>>+>+ 又12522++>+k k k k ； 即当 n=k+1 时,不等式也成立。

由(1)和(2)知,不等式成立。