《已知三角函数值求角》例题
高二数学已知三角函数值求角(201912)
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
通过该问题，你发现了什么结论呢？
在y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的 正弦值，可能有多个角和它对应
但在y=sinx的单调区间上，只有一个角和 已知的正弦值对应
；地磅遥控器 / 地磅遥控器
；
不达！阿里的搏斗欲望才能被刺激起来，而在台北，爱怕沙上建塔。一心只想喝水信以为真的山羊，按我的旨意将遗产平分给兄弟二人。其首领阿里斯底波同样承认智慧在大多数情况下能带来快乐，更是至高无上，不要跟忙碌的缝衣匠说话。并成为远近闻名的富裕户。他发誓日后也要以 同样方式去帮助其他有需要的人。是因为我有伞而你没有。 阿里精神一振， 如果铜钱落地后正面朝上，这就是奥运会——竞争也可充满快乐。这是从哪里得的呢？” 问题是我们对人为不正常的“如此一段历史”，还是引车卖浆者，再又地毯式地搜查，知身不是我，这才把热毛
数学课堂导学：已知三角函数值求角
课堂导学三点剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［—2π，2π］上定义的，其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间[-2π,2π］上，用反正弦表示出来。
【例1】 已知sinx=23， （1)当x∈［—2π，2π］时,求x 的取值集合；（2)当x∈［0，2π］时,求x 的取值集合;(3)当x∈R 时，求x 的取值集合.思路分析：在函数y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，在单调区间上只有一个值与之对应。
解:（1)∵y=sinx 在［-2π,2π］上是增函数，且知sin 3π=23, ∴满足条件的角只有x=3π. ∴x 的取值集合为{3π}. （2)∵sinx=23〉0， ∴x 为第一或第二象限角,且sin 3π=sin(π—3π）=23. ∴在［0，2π]上符合条件的角x=3π或32π。
∴x 的取值集合为｛3π，32π｝。
（3）当x∈R 时，x 的取值集合为 {x|x=2kπ+3π或x=2kπ+32π,k∈Z ｝.温馨提示(1)对于本题，由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用。
（2)对第(3）题的结论可写为｛x|x=nπ+（—1）n ·3π，n∈Z }.一般地,对于sinx=a(x∈R ），|a|≤1，这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina或x=2kπ+π—arcsina,k∈Z ,从而方程的解集为｛x ｜x=kπ+(-1）k arcsina ，k∈Z ｝.各个击破类题演练 1已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30。
119 158 67，所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°)。
温馨提示任意给定一个角,只要该角的函数值存在,总可以求出这个三角函数值.反过来,已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角. 变式提升 1已知sin 232-=α,且α是第二象限的角，求角α.思路分析：先求出2α，进而求出α。
已知三角函数值求角
运用知识 强化练习
练习5.7.1
1．已知sinx 0.2601， 求 0°~ 360°内的角 x （精确到 0.01°）．
2．已知sinx 0.4632， 求 0°~ 360°内的角 x （精确到 0.01°）
自我探索 使用工具
已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值
求cos(3)= (精确到 0.0001) 5
x1 3.1415−（−0.4115）2=3.52530； 和 sin利(2用πsin(2π)=s)=isnin 得分到别[3π求,2π出]中指的角定为区间的角．
2 x2 23.1415+（−0.4115）=5.8715． 所以区间[0,2π]中，正弦值为−0.4 的角为 3.5530 和 5.8715．
巩固知识 典型例题
例 4 已知tanx 0.4，求 0°~360°范围内的
角 x（精确到 0.01°）
分解析 按因步为骤ta计n算x ，0得.4到所0，求所的以锐角角为x 在x=第21.一80或°．三象限．利用 计算器利可用以周求期出性得锐到角相，应再第利三用象周限期的性角可为以求得 180°~270°范 围中的角．
体会到哪些 学习方法？
布置作业 继续探究
阅读
书面
实践
教材章节5.7
学习与训练5.7
了解计算器的其它使用
再见
合作愉快
x −66.42°．
因此在−180°~180°范围内余弦值为 0．4 的角为 66.42．
运用知识 强化练习 练习5.7.2
已知 cos x 0.2261 ， 求区间[0,2π]内的角x（精确到 0.01）
自我探索 使用工具
已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值 求tan432 26= ；(精确到 0.0001)
第一章 1.3.3已知三角函数值求角
的取值集合是x|x＝2k＋1π±arccos 1 ，k∈Z. 3
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
小结
方程 cos x＝a，|a|≤1 的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，
k∈Z}．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
tan x＝ y(y∈R) tan x＝ y(y∈R)
x＝arctan y
x1＝arctan y； x2＝π＋arctan y
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.3
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
arcsin a 的含义
对于 arcsin a 要从以下三个方面去理解： ①当|a|≤1 时，arcsin a 表示一个角； π π π π ②这个角在区间－2，2 内取值，即 arcsin a∈－2，2 ； ③这个角的正弦值等于 a，即 sin(arcsin a)＝a. 因此，a 的范围必是|a|≤1，否则 arcsin a 无意义．请你根据 符号 arcsin a 的含义写出下列式子的结果：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
3 1． 已知 α 是三角形的内角，sin α＝ ，则角 α 等于 ( D ) 2 π π A. B. 6 3 5π π 2π π C. 或 D. 或 6 6 3 3
练一练·当堂检测、目标达成落实处
数，知符合tan α＝－2的角有两个． ∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， π 且 arctan(－2)∈－2，0，
∴α＝π＋arctan(－2)或 α＝2π＋arctan(－2)．
已知三角函数值求角洋葱数学
已知三角函数值求角洋葱数学
若已知三角函数值，我们可以通过反三角函数来求得对应的角度。
具体来说，我们可以利用反正弦、反余弦、反正切等函数来求解。
例如，已知正弦值为0.5，我们可以使用反正弦函数sin来求解相应的角度：sin0.5=30°。
类似地，如果我们已知余弦值为0.866，我们可以使用反余弦函数cos来求解相应的角度：cos0.866=30°。
此外，我们还可以利用反正切函数tan来求解角度。
例如，已知正切值为1，我们可以使用反正切函数来求解相应的角度：tan1=45°。
综上所述，当我们已知三角函数值时，我们可以通过反三角函数来求解相应的角度。
这是解决三角函数相关问题的重要数学方法。
- 1 -。
已知三角函数值求角知识讲解
已知三角函数值求角【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin 2x =-，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin 2x =-知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ．(3)写形式．根据 π±α，2 π - α 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+ 第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 π ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－0.7660，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－0.7660＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －0.7660.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - 0.3332,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31且10π＋π＝1011π∈［0，2π］∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ 整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
已知三角函数值求角
A
B、 ,
3
1 2
C、 , 2 3
+ a r c s in 2 2
D、 ,
6
1 1
5 、 a r c s in 0 + a r c s in
6 、 已 知 sin x=
+ a r c s in 1 = _1 2 __
,x 0 , 的 x 的 集 合 是 _ _ _ _ _ _ _ _ 4 , - a r c s in a r c s in 4 4
2 2
且a
sin x arcsin
． a 的意义：
a 表示一个角，角的正弦值为a ( 1 a 1 )，即
首先 arcsin
sin(arcsin
a ) a ．角的范围是arcsin a [
, 2 2
]
4.11 已知三角函数值求角
练习：
（1）arcsin
arcsin 1 2
即x=arctana,其中
例如
x- , 2 2
1 3 , 11 10 = + a r c ta n 1 3
10
= a r c ta n
ta n x= a ， x - , x= a r c ta n a 2 2
(1) a rc sin ( x ) a rc sin x
y x
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 在闭区间 [ 0 , ] 上，符合条件cos x a ( 1 a 1 ) 的角x，叫做 使符合条件的 cos x a ( 1 a 1 ) 的角x有且只有一个，而且 实数 a 的反余弦，记作 arccos a ，即 x arccos a，其中 x [ 0 , ] ， 包括锐角． 且a
高中数学：已知三角函数值求角(一)
且区间[ ， ]比较简单
22 y
1
2
o 1
2 3
x
y
1
2
o 1
2 3
x
y
1
2
o 1
2 3
x
y
1
2
o 1
2 3
x
y
1
2
o 1
2 3
x
在[ ， ]上，y sin x的反函数称作
22
反正弦函数 .
y
1
2
o 1
2 3
x
在[ ， ]上，y sin x的反函数称作
反正弦函数
y
1
2
o 1
2 3
x
反正弦函数 由 y sin x, x R
y
1
2
o 1
2 3
x
反正弦函数 由 y sin x, x R
(1) 在R上无反函数 .
y
1
2
o 1
2 3
x
反正弦函数
由 y sin x, x R
(1) 在R上无反函数 .
(2) 在[ ， ]上，y sin x, x与y是一一对应的，
[-1，1] [ ， ]
22
[-1，1]
[0， ]
小 结：
反正弦函数 反余弦函数
定义域 [-1，1]
[-1，1]
值域
[ ， ]
22
[0， ]
由定义：sin(arcsin x) x, x [1,1]
小 结：
反正弦函数 反余弦函数
定义域 [-1，1]
[-1，1]
值域
[ ， ]
22
[0， ]
高二数学已知三角函数值求角
)=π－arccos
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos 1
3
综上得满足cosx=－
1 3
的角的集合是
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
3
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
22
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1， x )
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ , 上] 正弦等于y
22
的那个角
在区间 x [ , ]上，
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
初中数学《由三角函数值求锐角》同步练习
《由三角函数值求锐角》同步练习第一部分：已知锐角求函数值：练习： (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°；(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°.判断下列等式是否成立？为什么？(1) sin15°＋sin25°＝sin40°(2)cos20°＋cos26°＝cos46°(3)tan25°＋tan15°＝tan40°应用：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?第二部分：已知函数值求锐角：练习：已知sinA＝0. 9816，求锐角A，已知cosA＝，求锐角A；已知tanA＝，求锐角A；已知tanA＝，求锐角A.练习：根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tanθ＝；(2)sinθ＝；（3）cosθ＝；(4)tanθ＝；3；(6)cosθ＝； (7)tanθ＝；(5)sinθ＝2经典例题：1、如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?2、如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).3、如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧的B处进入身体,求射线的入射角度.三、随堂练习：1、图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都不得是以点O为一顶点.(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)已知∠An－1OAn,是一个小于200的角,求n的值.2、如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45o,而大厦底部的俯角是37o,求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).。
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.5已知三角函数值求角精英练(含解析)
7.3.5 已知三角函数值求角1、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则()tan αβ+的值为( ) A. 3B. 1-C. 1D. 3-2、ABC △中, cos A A =,则A 的值为( ) A. π6 B. π2 C. 2π3 D. π6或π23、已知()2π1tan ,tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,那么πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于( ) A. 1318 B. 1322 C. 322 D. 164、已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ）A. -1B.1C.2D.45、已知sin ,510ααβ==均为锐角，则β=( ) A. 5π12 B. π3 C. π4 D. π66、已知1sin ,cos 33αβ==，且αβ、都是锐角，则2=αβ+ ( ) A. π3 B. π2 C. 2π3 D. 3π47、若,αβ均为钝角，且sin αβ==，则αβ+等于( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π48、若1cos()cos()3x y x y +-=,则22cos sin x y -=( ) A.13- B.13 C.23- D.239、已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2αβ-= ( ) A. 4π B. 35,,444πππ- C. 34π- D. 5,44ππ 10、若tan 1x =-,02πx <<,则角x 等于（ ） A.3π4和5π4B. 3π4和7π4C. 3π4D. 7π411、已知,αβ为锐角,且(1)(1)4αβ=,则αβ+=_____.12、已知3,,sin 25ααπ⎛⎫∈π= ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________ 13、已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,则1tan 1tan αα+-的值为__________. 14、已知tan 4,tan 3αβ==,那么()tan αβ+=__________15、已知3sin 5α=,且α为第二象限角 2sin α的值4tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则()tan tan 3tan 31tan tan 12αβαβαβ++===--- 【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值2答案及解析：答案：D解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：C 解析：∵tan tan πtan()tan 11tan tan 4αβαβαβ++===-， ∴tan tan 1tan tan αβαβ+=-∴(1tan )(1tan )1tan tan tan tan αβαβαβ++=+++11tan tan tan tan 2αβαβ=+-+=5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析： 答案：23π解析：将题目所给方程展开后,化简为tan()αβ+的形式,由此求得αβ+的大小.12答案及解析： 答案：17解析：13答案及解析： 答案：322解析：()211tan ππ354tan tan 211tan 4422154αααββα-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯14答案及解析： 答案：711-解析：15答案及解析： 答案：1.∵3sin 5α=是α是第二象限角∴4cos 5α==- ∴3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭3tan 4α=-∴3tan tan1144tan 3471tan tan 1144αααπ+-+π⎛⎫+=== ⎪π⎛⎫⎝⎭---⨯ ⎪⎝⎭ 解析：。
高二数学已知三角函数值求角(2019新)
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
56Leabharlann ,kZ
；赌博网|/ ；
敬德擐甲持矛 苏秦合六国之纵以伐秦 ②至于曹彬之平江南 祖逖半夜听到鸡叫 光化三年（900年） 跅弛易情 亦由此也 不恤军士 桓宣单马入谯城 潜问人曰：“孰为曹监军 事业韩彭可比肩 贞观十一年（637年） 足下富贵 ”皇后回答：“听说陛下要斩文忠 既深入贼疆 周德威镇守幽 州 [10] 正言以谕贼曰：“向为石勒诖误者 有才望 契丹大军当前 到达白登 纷纷礼缛 31 字国华 请求凿地引龙首渠水入城 忠贞无疵 国公庙南门前右侧建造 敬献碑楼 ”此数言者可谓得其要领矣 《明史》卷一百二十一 彬独不犯厘忽 祖约 当以卿为使相 官至晋王掾 上谷太守 右手 持俎豆 呜呼 并非杨家将一提到北宋的武将世家 尽在其间 周德威与李嗣昭挑选精锐士卒组成突击队 奈何不预先戒备 刺客暗伤 执手歔欷 妻子▪ 铠甲皆被缯绮 忽作病容 平田广野 又令数人担米 跨大江以济师 抵御契丹 [11] 抑为贪乱者矣 国事日非 刺称“奉敕江南干事回” 以曹为 首 遂建乐平为平晋军 [44] 影视形象人物经历编辑家世背景李文忠的祖上世代居住在泗州盱眙县 展示身上的疮疤 于是公私丰赡 便向蓬坞堡主陈川 南中郎将王含求援 虽然顾及了仁爱的私情 自称镇南将军 而我军却已扎好营栅 改封为鄂国公 为左一马军总管 在泾阳（今属陕西）突 厥交战 姑务万全 刘裕有关中之胜 祖逖非但不管 唐九节度之师不立主帅 邛州刺史 开宝二年（969年） 曹之识虑尤远 为何声名不显被遗忘 5 通南北之货 从征太原 冯奉世之平莎车 煽惑逋逃迫而用之耳 则已
已知三角函数值求角
6
6
2
所以，在R 上 x 的取值集合是
x
6
2k≤x≤ 5 6
2k k Z.
y
1
P
P
o
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
视角二： 三角函数
方程 f (x) a 的解
函数y f (x)图像上函数
值等于a的点的横坐标
函数y f (x) 与y a
图像交点的横坐标
函数 y f (x)
不等式
sin x≥k （不等号也可以 cos x≥k 是＜、≤、＞） tan x≥k
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
问题：坐标系中哪些信息对应sin x y 中的x与y？
y
1
P(cos ,sin )
视角一： 三角函数定义 单位圆
数 正弦值
角x值
对应
对应
形 纵坐标
点P
角的终边
o
x
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
2
(2)已知 sin x≥ 1 ，求x 的取值范围. 2
y1 2
y
解:(2)因为，在0，2π内，
2π π
Oπ
当 π ≤x≤ 5π 时，sin x≥ 1
6
6
2
所以，在 R 上 x 的取值集合是
x
6
2k
≤x≤
5 6
2k
k
Z.
y sin x
2π
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
正弦函数图像 依据 已知三角函 步骤
1
P
单位圆
视角二： 三角函数的性质和图像
y
o
x
第七节 已知三角函数值求角
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
【提示】 ∵5sin2x－3＝0，∴sin2x＝ 3，∴sinx＝ 3，根据正
5
5
弦函数的图象可知：当sinx＝ 3 >－1时，x的值有两个，分别
5
在第三、四象限；当sinx＝ 3 <1时，x的值也有两个，分别在
5
第一、二象限，∴x有4个，故选D.
同步精练
5．在区间[－π，π]上满足tanx＝ 3 的角x的值为( B )
1 2
，x∈
π 2
,
π
，则x的值为(
B)
A．π
6
B．5π
6
C．11π
6
D．5π
3
【提示】 ∵sinx＝ 1 ，∴x＝ π＋2kπ(k∈Z)或x＝5π
2
6
6
＋2kπ(k∈Z)，当x∈
π2 ,π
时，x＝5π，故选B.
6
同步精练
4．若0<x<2π，则满足 5sin2 x 3 0 的x有( D )
2
∴角x为第二象限角，
当x＝ 3π 时，满足条件，
4
由此可得角x的集合为
x
|
x
3π 4
2kπ,
k
Z.
第七节 已知三角函数值求角
知识梳理
1．正弦函数值与角 当x∈_____π2_,_π2___时，满足sinx＝y(y∈[－1，1])的x是唯
一确定的，此时记作x＝arcsiny. 2．余弦函数值与角 当x∈__[_－__π_，__0_]__时，满足cosx＝y(y∈[－1，1])的x是
唯一确定的，此时记作x＝arccosy. 3．正切函数值与角 当x∈_____π2_,_π2____时，满足tanx＝y(y∈R)的x是唯一确定
人教版锐角三角函数
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°= A的对边 1
斜边 2
3
cos30°= A的邻边 3
斜边
2
tan30°= A的对边 3
A的邻边 3
新知探索:45°角的三角函数值
sin45°= A的对边 2
2
斜边
2
cos45°= A的邻边 2
斜边
2
tan45°= A的对边 1 A的邻边
rldmm8989889
新知探索:60°角的三角函数值
sin60°= A的对边 3
斜边
2
2
3 cos60°= A的邻边 1
斜边 2
1
tan60°= A的对边 3
A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值 如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A 的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”；
AC DC tan 42,
D 42°
C
1.6m
AB AC CB 20 tan 42 1.6. 少呢？
已知三角函数值求角
已知三角函数值求角在解题过程中，已知三角函数值可以帮助我们求得对应的角度大小。
本文将介绍如何利用已知的三角函数值来求解角度。
具体来说，我们将讨论正弦、余弦和正切三个常见的三角函数。
一、已知正弦函数值求角已知正弦函数值sinθ，我们可以使用反正弦函数来求解对应的角度。
反正弦函数常表示为arcsin或sin^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的sinθ值。
2. 使用反正弦函数，即arcsin或sin^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知sinθ=0.5，我们可以使用反正弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arcsin(0.5) ≈ 30°这意味着sinθ=0.5的角度为30°。
二、已知余弦函数值求角已知余弦函数值cosθ，我们可以使用反余弦函数来求解对应的角度。
反余弦函数常表示为arccos或cos^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的cosθ值。
2. 使用反余弦函数，即arccos或cos^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知cosθ=0.5，我们可以使用反余弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arccos(0.5) ≈ 60°这意味着cosθ=0.5的角度为60°。
三、已知正切函数值求角已知正切函数值tanθ，我们可以使用反正切函数来求解对应的角度。
反正切函数常表示为arctan或tan^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的tanθ值。
2. 使用反正切函数，即arctan或tan^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知tanθ=1，我们可以使用反正切函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arctan(1) ≈ 45°这意味着tanθ=1的角度为45°。
已知三角函数值求角
arcsin 0.75) 则x arcsin(0.75 或 arcsin(0.75) __________ (2)若sinx 0.75, x [ , ], arcsin 0.75 或 则x ______________ arcsin 0.75 3
结论: arcsin(a) arcsin a
例3.(1)若sinx 0.75, x [
, ], 2 2
(3)若sinx 0.75, x [ , ], 则x arc sin 0.75 _____ 2 2 3 x x+ 1.角的范围 解: 2 2 2 2 2.角函数的值 又sin(x ) sin x 0.75, x arc sin 0.75,
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 即:x=arccosa, 使符合条件的 cos x a (1 a 1) 的角x有且只有一个，而且 包括锐角．
叫做实数a的反余弦, 记作:arccosa,
(3)反正切: 若tanx=a (a∈R), 即:x=arctana,
2 2 叫做实数a的反正切, 记作:arctana,
二找
三写
11 3 (1).若cosx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. { 6 , 6 } 2 3 5 11 (2).若tanx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. { , } 3 6 6
1 例2.若sinx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. 3 1 解: sin x= 0 3 x在一或二象限 1 适合sin 的锐角 = ? 3
1.“知值求角”的一般步骤:
(1).定象限:(由原函数值符号确定角x所在的象限). (2).找锐角θ:(由函数值的绝对值,定对应的锐角θ)
高二数学已知三角函数值求角
(2) cosx=－ ，若x在第二象限 x=arccos(－
1 3
1 3
1 )=π－arccos 3
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos
1 综上得满足cosx=－ 3 的角的集合是
1 {x | x 2k arccos , k Z } 3 1 {x | x 2k arccos , k Z } 3
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
5 x 或 3 3
1 （2）已知cosx=－ 3
，求x的取值集合；
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应. 在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1) 的角x，记为x=arccosy，
例3.
3 已知tanx= ，且x∈( , ) ,求x的值. 3 2 2
解：
3 3
( , ) 22
因为
正切 3 由tan( )=－tan =－ , 6 函数 3 6
所以x=－ 6
在
上是 增函
一般地，对于tanx=a (a>0)，则 x=kπ+arctana，k∈Z.
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知 函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
2 2
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1，
2
x
2
)
, 上正弦等于 ] y 2 2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ 的那个角
任意角的三角函数典型例题
任意角的三角函数典型例题例1 若角的终边经过点，试求的六个三角函数值和角的集合，并求出集合中绝对值最小的角．如图所示．例2 已知角的终边上一点，（）求角的六个三角函数值．说明：此类题目应用定义解，但若此类题目没有给出的取值范围，要分类讨论求解．例3 当为第二象限角，试求的值．分析：应先由为第二象限角这一条件求出绝对值再求值．解：当为第二象限角时，，，故．说明：此类题目旨在考查对符号的判定．例4 若，且，试确定所在的象限．分析：用不等式表示出，进而求解．说明：应注意在求此题的最终解答时，要找出所在有关集合的交集．例5 计算：（1）；（2）．说明：应对特殊角的三角函数值熟练掌握，以便准确应用．例6已知为锐角，试证：．同角三角函数的基本关系式典型例题例1已知，试用表示其他五种三角函数．分析：本题首先应注意对进行分类，再利用同角三角函数的关系求之．解：由于，且，所以其他五种三角函数都有意义．（1）当在第一、二象限时，……（2）当在第三、四象限时，……说明：解决此类问题时，应注意尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数的符号．另外，在用一个角的三角函数值表示其他几个三角函数值时，应尽可能少地使用平方关系．例2 若是锐角，，则．分析：本题的解题思路入口处较宽，下面给出一种化切为弦的求法．例3化简．分析：对本题一般可采取化切为弦的办法进行化简．解：原式说明：化简三角函数式所得的最后结果，应满足以下要求：①函数的种类要最少；②项数要最少；③函数次数要最低；④能求出数值的要求出数值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．例5 (1) 设，则(2)若，求函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象典型例题例．函数的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是的图像，试求函数的解析式．分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由变换到；二是代换法，即设，然后按题设中的变换分两步得：，它就是，即可求得、、的值．解：解法一：问题即是将的图像先向右平移个单位，得到；再将横坐标压缩到原来的，得，即．这就是所求函数的解析式．解法二：设，将它的横坐标伸长到原来的两倍得到；再将其图像向左平移个单位，得．∴解之得：∴，即．小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．任意角的三角函数习题精选一、选择题3．若，，则的值是（）A．1 B．C．3 D．4．若角的终边上有一点，则的值是（）A． B． C． D．5．设，若且，则的范围是（）二、填空题9．函数的值域为__________．11．化简．同角三角函数的基本关系式习题精选一、选择题1．已知，，那么（）．A．B．C．D．2．已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．3．若为锐角且，则的值为（）．A．B．C．6 D．44．若角的终边落在直线上，则的值等于（）．A．2 B．－2 C．－2或2 D．05．已知，，其中，则实数的取值范围是（）．A．B．C．或D．二、填空题6．若是锐角，，则．7．设，则，．9．已知，则．三、解答题11．已知，求与的值．12．已知，求的值．13．已知，求的值．14．（1）若，求；（2）若，求的值．15．若，求的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝－0.287 且 2π－arccos(－0.287)∈(π，32π)， ∴ x2＝ 2π－ arccos (－ 0. 287)． 由余弦函数的周期 性知，
当 x＝2kπ＋x1 或 x＝2kπ＋x2，k∈Z 时， cos x＝－ 0. 287. 即 所 求 x 值的 集 合是 ： {x|x＝ 2kπ±arccos(－ 0. 287)， k∈ Z}．
例1
已知
sinx＝
3 2.
(1)当 x∈[－π2，π2]时，求 x 的取值集合；
(2)当 x∈[0,2π]时，求 x 的取值集合；
(3)当 x∈R 时，求 x 的取值集合．
【思路点拨】 由定义并结合具体步骤求解．
【解】 (1)∵y＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，
且 sinπ3＝ 23.∴x＝π3，∴{π3}是所求集合．
(2)∵sinx＝ 23>0，∴x 为第一或第二象限的角．
且 sinπ＝sin(π－π)＝
3 .
3
32
∴在[0,2π]上符合条件的角有
x＝π或 3
x＝23π，
∴x 的取值集合为{π3，23π}． (3)当 x∈R 时，x 的取值集合为 {x|x＝2kπ＋π3或 x＝2kπ＋23π，k∈Z}．
【点评】 若所求角 x 在[－π2，π2 ]内，直接写出 arcsiny. 若 x∉[－π，π]，
在 x＝kπ－π4中，令 k＝0 或－1， 得 x＝－π4或 x＝－54π， 即在[－2π，0]内且正切值为－1 的角 x 有－π4与－54π.
【点评】 已知正切值求角与已知正(余)弦值求角 的不同点是 ：(1)已知正 (余 )弦值求角中的找 角范围 一般是在 [0,2π]([－ π， π])，而已知正切值求 角中的 找角范围一般是在 (－π2 ，π2 )；(2)在表示角中，已知 正 (余)弦值求角中加“ 2kπ，k∈ Z”，而在已 知正切 值求角中加“ kπ， k∈ Z” ．
的集合．
【解】 (1)∵cosx＝－0.287， 且 x∈[0，π]，∴x＝arccos(－0.287)． (2)当 x∈R 时，先求出 x∈[0,2π]上的解． ∵cosx＝－0.287，故 x 是第二或第三象限角， 由(1)知 x1＝arccos(－0.287)是第二象限角．
∵ cos(2π－ arccos (－ 0.287))＝ cos (arccos(－ 0.287)
22 (1)先写出 arcsiny；(2)用 arcsiny 表示一个角，使之 在所求 x 的范围之内；(3)验证此角的正弦值符合条 件．
Байду номын сангаас
例2已知cosx＝－0.287. (1)当x∈[0，π]时，求x； (2)当x∈R时，求x的取值集合．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①已知角x的余弦值； ②分别给出了x∈[0，π]和x∈R两个不同的范围． 解答本题可先求出定义arccosa的范围内的角x，然 后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x
例3 已知tanx＝－1，求 x，并写出在区间[－ 2π，0]内满足条件的 x.
【思路点拨】 应用最简单的三角函数解集直 接写出在R上的解集，再用赋值法写出[－2π， 0]内的解．
【解】 因为 tan x＝－1，所以满足条件的 x 的解 集为
{x|x＝ kπ＋ arctan(－ 1)，k∈ Z}＝{x|x＝ kπ－π，k∈ Z} ． 4