系统牛顿第二定律与整体法详解

F 2

F 12

F 1

F 21 2

1

1 2 3

...)a 系统的牛顿第二定律与整体法详解

在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清 楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整 体法的适用范围大大缩小。本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理 论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。

一、系统的牛顿第二定律 1、推导

如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也 有相互作用（系统内力），则

对 1： F 1 + F 21 m 1a 1 对 2： F + F =

2 12

m 2a 2

其中， F 21 = -F 12

联立，得： F 1 + F 2

= m 1a 1 +

m 2a 2

这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相 加。

上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别 对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：

或者： ∑ F = ∑ F 外 = m 1a 1 + m 2a 2 + m 3a 3 + ...

， ∑

2、理解

外x

m 1a 1x + m 2a 2 x + m 3a 3 x + ... F 外y = m 1a 1 y + m 2a 2 y + m 3a 3 y + ... 系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系 统内力，则只能用隔离法。系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢 量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为 研究对象，使用整体法处理问题。

如果系统内各个部分是相对静止的——即各个部分的加速度、速度均相同，则系统的牛顿第二定律方 程可以简化为：

∑ F = (m + m + m + ，这就是我们熟悉的几个物体相对静止时的整体动力学方程。 对于这个方程，我们甚至可以这样理解——任何物体都是有内部结构的，组成物体的各个部分之间都存在 相

互作用和相对运动，但是，在处理某些问题时，当内部运动相对整体运动可以忽略不计时，我们就可以 近似的认为各个部分是相对静止的，把物体当作一个“质点”来处理，从而只需要考虑整体所受外力的影 响。比如人站在地面上不动，求地面支持力的大小——这个问题中，人体内心脏在跳动、血液在流动、肺 部在呼吸、肠胃在蠕动……但是，在大部分问题的处理中，我们往往并不考虑这些，而直接把人体当作一 个质点来处理了。

不过，上述推导过程中，将系统内力进行了相加，并且依据一对内力总是等大反向（牛顿第三定律）， 认为内力总和为零。实际上，内力作用对系统内各个物体的加速度是有影响的，一对内力的效果是无法抵

= 外

消的——毕竟它们是作用在不同物体上。因此，内力总和为零是从数学意义角度处理的，系统的牛顿第二 定律是一个有用的数学结论。有些学生无法理解明明是作用在 1 物体上的力，如何会在 2 物体上产生加速度，其原因就在这里——因此，没必要把系统的牛顿第二定律看成是一个因果关系方程，仅仅看作一个有用的数学结论即可。

二、整体法的应用举例

因为不涉及系统内力，所以用整体法处理问题往往来得比隔离法分别处理各个物体要简洁、迅速得多， 因此，审题时要敏锐的把握住题意——是否涉及的是系统外力，或者只需要考虑系统外力即可，如果是， 优先考虑使用整体法（系统牛顿第二定律）。

1、静力学中的应用 （1） 系统内几个物体相对静止的情况 【例 1】(2010·山东理综)如图所示，质量分别为 m 1、m 2 的两个物体通过轻弹簧连接，在力 F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m 1 在地面，m 2 在空中)，力 F 与水平方向成θ角．则 m 1 所受支持力 F N 和摩擦力 F f 正确的是( )

A ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ

F N B ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F cos θ

F C. F f ＝F cos θ

D. F f ＝F sin θ F f

【分析】地面对 m 1 的支持力、摩擦力，是“m 1、m 2、轻弹簧整体”的系统外力，因此本题用整体法较快。

【解析】选 m 1、m 2、轻弹簧整体为研究对象，其受力如图所示，则有：

竖直方向：F N ＋F sin θ－(m 1＋m 2)g ＝0 水平方向：F f －F cos θ＝0 解得：F N ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ，F f ＝F cos θ。选 AC 。

【例 2】(2014·济宁模拟)如图所示，两个光滑金属球 a 、b 置于一个桶形容器中两球的质量 m a >m b ，对于图中的两种放置方式，下列说法正确的是( )

A ．两种情况对于容器左壁的弹力大小相同

B ．两种情况对于容器右壁的弹力大小相同

C ．两种情况对于容器底部的弹力大小相同

D ．两种情况两球之间的弹力大小相同

(m 1+m 2)g

【分析】容器壁和容器底部对球的弹力都是系统外力，因此可以使用整体法分析；不过本问题中，系 统在水平方向所受外力均为未知力，因此仅仅选整体为研究对象，是无法求解的。因此需要先选上面的物 体为研究对象，分析出左壁对球的弹力后，再用整体法才可。

【解析】以上面的金属球为研究对象，其受力如图 1 所示，将三个力按顺序首尾相接，得如图 2 闭合

三角形，则有：F N1=m g tan θ， F = m 上g

，由于两种情

F N 地 N

cos θ 况下θ不变，则 m 上减小时，F N1、F N 均减小。 选两球整体为研究对象，其受力如图 3 所示，则有： 竖直方向：F N 地－(m 1＋m 2)g ＝0

水平方向：F N1－F N2＝0

解得：F N 地=(m 1＋m 2)g 不变，F N1=F N2＝m 上 g tan θ均变化。

本题选 C . （2） 系统内个别物体匀速运动的情况

m 上 g F N1 m 上 g F N1 F N2 m 总 g F N1 【例 3】(2013·北京理综·改编)倾角为α、质量为 M 的斜面体静止放置在粗糙水平桌面上，质量为 m 的木块恰好能沿斜面体匀速下滑。则下列结论正确的是( )

A. 木块受到的摩擦力大小是 mg cos α

B. 木块对斜面体的压力大小是 mg sin α

C. 桌面对斜面体的摩擦力大小是 mg sin αcos α

D. 桌面对斜面体的支持力大小是(M ＋m )g

【分析】桌面对斜面体的摩擦力和支持力是系统外力，可以选木块、斜面体系统为研究对象分析这两 个力。

θ F N F N θ

上