幻方与数阵

• 三、四阶幻方的构作——对称交易法 • 构作步骤： • （1）将16个自然数依次填入方格中，（按行 填，否则下面步骤有变动） • （2）主对角线不动，一、四两列，二、三两 列其它各数交换 • （3）主对角线不动，一、四两行，二、三两 行其它各数交换 • 例5、把1～16这16个数填入4×4的方格里， 制成四阶幻方
如图：1上方为空行，则2填写到最下一行
1
2
三、如果空位在右方，则把下一 个数字填写在上方行最左侧一列；
如图：3右侧为空列，则4填写到最左一列
1
4 3
四、如果相应位置上有数字或空位出现 在角上，则把下一个数字填写到上一个 数字的下方；
如图：5右上方有数字（1），所以6填写在5的 下面；15处于右上角，所以16填写在15的下面 1 5 6 15 16
三阶幻方
又被称作九宫格，对于它的解 法，古书上早有记载：九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足， 左七右三，戴九履一，五居中央。
将1-9九个数字填入格中，使横 竖斜三个数字相加和相等。
2 9 4 7 5 3 6 1 8
8 3 4
1 5 9
6 7 2
幻方
一、幻方定义 幻方是满足一定条件的一种表格，表的形状 为由若干个方格所组成的正方形，数填在方格中 1、三阶幻方的定义：在3×3的方格里既不重复 又不遗漏地填上九个给定的自然数，每个数占一 格，使得每行每列及对角线上自然数的和都相 等，这样排成的数表叫做三阶幻方。 注意：①强调：阶、和都相等 ②何为幻方 2、n阶幻方的定义：
依上述方式，可将幻方填写完成：
17 24 23 4 5 6 1 7 8 15
14 16
13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25
2
9
你能根据七阶幻方的知识，连出一段完整 的话吗？
么 能 真 中 力 梦 。 随 心 的 以 赴 不 见 英 每 一 我 经 彩 随 把 分 们 历 虹 便 雄 钟 心 风 , 便 成 握 中 雨 没 有 功 生 , , 怎 人 。 命 全 的
已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130
年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
• 我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经 编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续 古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德
国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
方法二：杨辉法——九子排列，上下
对易,左右相更，四维挺出
1 9 4 2 4 2 7 5 3 7 5 3 8 6 8 6 9 1
9 4 2 3 5 7 8 6 1
4 9 2 3 5 7 8 1 6
方法三：十字斜填法
又称杨威法 方法：
3
2 1 6
1.添加方格成十字架 2.按顺序斜向填写
5
4
9 8
3.上下、左右移动外 面数字
说明：并不是任意九个自然数都可以制成三阶幻方
9 7 19 11 5 15
17
3
13
方法四：斜右上方法 又称罗伯法 方法： 1）1在边中间 2）依次斜上填 3）出则下或左 4）有无往下填
9
2
7
1
4 5
6 8 3
此方法适合所有单阶幻方
• 奇数阶幻方的制作(罗伯法)
• 五阶:“1居上行正中央,依序斜填切莫忘” —往 右上方填 “上出框时往下写”，排重便往下格 填；右上排重一个样。
龙马负河图在公元前23世纪，大禹治水的时侯，在 黄河支流洛水中，有一天忽然浮现出一个大乌龟， 当时，大禹与治水士兵正在河 边观察洛河水情， 商议治理黄河大计，遇到乌龟在河里上下翻腾十分 奇怪。只见此龟行走水面，游来游去，身形庞大， 甲背平圆。近处仔细观看，甲背上有9种花点的图 案，大禹让士兵们将图案中的花点记了下来，带回 去作了认真的研究,他惊奇地发现，9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数的位置排列也相当奇巧，各 线上三数之和皆为15，既均衡又对称，奇偶交替变 化之中似有一种周转运动之妙，大禹受到启发，用 此原理治理黄河，获得成功。
4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4
个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的 4个项点上． (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果 能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如 果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它 最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之 为纵横图。
后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的 各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为： Nn= n(n2+1)/2 其中n为幻方的阶数，所求的数幻和.
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期
《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就
17
23
24
5
1
7
8
14
15
16
4 10
11
6 12
18
13 19
25
20 21
2
22 3
9
所有的奇数阶幻方都可以用同一 种方法填写出（以五阶幻方为例）
一、把数字1填写在第一行的中间 位置；把剩下的数字按顺序填写在 上个数字右上方的位置上；
1
二、当相应的位置是空位时，如果空位 在上方，则把下一个数字填写在右侧列 的最下面一行；
• (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上 数字之和相等．
• 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶 点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数 字之和为k． 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方 形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形 四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个 顶点上每个数字各使用过二次． 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)， 即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
龙马负河图
相传远古时期的孟津河边，一天河水忽然大涨，波浪 滔天，水中有一巨兽，似龙非龙，似马非马，浪里飞 腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，立即去河 边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如登 平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形 体象骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走 近河边，将图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不 见。后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种 花点组成，两种花点构成一组，布局在东西南北中五 个位置上，每组花点所表示的数，其差均是5.黄帝越 研究越感到奇妙无比，后来他就依此画八卦，建甲历， 定时辰，治理国家。
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(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点 上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之 和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11． 而4～11共8个数，于是有可能使得8个 三角形顶点上数字之和各不相同
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a1 b1 a2 b2 a3 b3
c1
c2
c3
例1、把1～9这九个数填入3×3的方格里，制成 三阶幻方， 2 9 4 8 3 4 1 5 9 6 7 2
7
6
5
1
3
8
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于 幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻 得两条边上的数的平均数；3.中心数两头 的数等于中心数的2倍
二、 三阶幻方构作 方法1： 步骤为：（1）求幻和：九个数之和除以3 所得商即为幻和
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
（2）求中间数，3×中间数=幻和，
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
即 3×b2=幻和，
（3）求四角数：九个数为连续自然数时，四角 数与中间数的奇偶性相异
7
此方法适合所有单阶幻方
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例2、把4至12填在格子里，制成三阶幻方。 （1）求幻和（4+5+…+12）÷3=24 （2）求中心数3b=24，b=8 （3）定四角数 7 12 5 （4）定其它数 6 8 10 11 4 9
三阶幻方的性质：对称性、轮换性
例3、用3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数 制成三阶幻方 分析：（1）若用方法1，则困难之处在于确定四角 数，要在确定中心数后对四角数的六种可能情况 进行讨论，较麻烦 （2）若用方法2，则本题很容易解决
幻方与数阵
主要内容: 1、幻方定义 2、三阶幻方、四阶幻方构作方法 3、数阵
• 运算及思考方法的美 • 例1、填空运算 • 将5，6，7，8，9五个数填在下图方格里， 使横竖三个数的和都是20
7
9 5 8 6
河图洛书
远古传说：伏羲氏时，有龙马从黄河出现，背负“河图”，有神龟从洛水出现，背负 “洛书”。始祖伏羲即根据这种“图”和“书”画成八卦，创始了炎黄文化，因此古 时常把龙马、神龟与图、书结合一起的图画来象征我们文化的古老源头。
四阶幻方
1 5 9 13
2 6
10 14
3 7
11 15
4 8
12 16
奇妙的幻方
16 2
5 9 7
3 13
6 12 1
11 10 8
4 14 15
数阵
一、与幻方类似的另一种图就是数阵
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数
阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特
定关系线（或关系区域）上的数的和相等。
二、数阵的类型：辐射型数阵、封闭型数阵、 复合型数阵 三、数阵的构作 1、辐射型数阵 例1、将1-7分别填入下图圆圈内，使每条线 段上的三个数的和相等。 思考题：将1～9填入右图的○内，使得每条 边上三个○内的数之和相等。
○
○
• ○
•
• ○
○
○
○
(1)确定中心数(2)求和(3)再确定其它数
2、封闭型数阵
例2、将1-6分别填入图中圈内，使每条边上 的三个数的和相等
设三个顶点○内所填的数为a,b,c,
每条边上数之和为k，
则有：1+2+„„+6+a+b+c=3k，
a+b+c=3（k-7）
而a+b+c最小为6，最大为15，
故k只能取9，10，11，12
课上只讨论k=9，a+b+c=6
3、复合型数阵
例3、下图中有大、中、小3个正方形，组成了8个 三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的