数学必修五余弦定理-教(学)案

数学必修五余弦定理 教案

【教学分析】：

一、教学导图

温

故引新 特例激疑

类比探究

理性演绎

完善知识

剖析升华

例题示范

迁移运用

归纳小结

反思拓展

类比探究

理性演绎

余弦定理 语言叙述 变 形 作 用

二、【教学目标】

1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、【教学重难点】

教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用围。

突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。 教学设计

一、温故引新 特例激疑

1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？

正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c

R A B C

===，

其中2R 为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

由,sin sin sin sin a b b c

A B B C

==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。

3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？

困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。

二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究

当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。

c

b

b

a

b B

C

A

c

b

b

a

b B

C

A

c

b b

a

b B

C

A

当b c 、一定，A 变化时，a 可以认为是A 的函数，()0,A π∈。 当2

A π

=

时，222a b c =+（勾股定理），为方便起见，考虑2a 关于A 的函数，记作()2a f A =，

即2222a f b c π⎛⎫

==+ ⎪⎝⎭

。

当A 变化时，2a 怎样变化？考虑两种极端情况：

02

A A A π

π=

==

b b

c

a

b

B

C

A

c

b

b b

a

b

B

C

A

c

b

b

b

B

C

A

当A π=时，则()2

2222a b c b c bc =+=++; 当0A =时，则()2

2222a b c b c bc =-=+-; 我们比较三种情形的异、同点：

当0A =时，则22222221,a b c bc b c bc =+-=+-⋅; 当2

A π

=

时，2222220,a b c b c bc =+=+-⋅

当A π=时，则()()2

22222221.a b c b c bc b c bc =+=++=+-⋅- 相同点:都含有22b c +； 不同点:2bc -的系数不同；

猜想：2bc -的系数101-、、与02

A π

π=、、之间存在什么对应关系呢？

2222cos a b c bc A =+-。

那么就得到了当角A 为三个特殊角时的公式：2222cos a b c bc A =+-，这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。

（二）理性演绎 同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？cos bc A 这样的结构我们在什么地方遇到过?

A

B

C

c

a

b

证明：2

2

2

2

2cos 2cos b c bc A AC AB AC AB A +-=+-

()

2

2

2

2

2

2AC AB AC AB AC AB

BC a

=+-⋅=-==

三、完善知识 剖析升华 （一）完善知识

（1）余弦定理：在ABC ∆中，,,AB c BC a AC b ===，则：

2222cos a b c bc A =+-；

2222cos b a c ac B =+-；（第一种形式）

2222cos c a b ab C =+-。

（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

（3）变形：222

cos 2b c a A bc

+-=；

222

cos 2a c b B ac +-=；（第二种形式）

222

cos 2a b c C ab

+-=。

（二）剖析升华

（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

（2）等式2222cos a b c bc A =+-含有四个量a b c A 、、、，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。