初中数学函数知识点和常见题型总结

函数知识点及常见题型总结
函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。

函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。

函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。

换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。

一、核心知识点总结
1、函数的表达式
1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数x
k
y =
（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。

注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系
1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。

2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。

3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。

3、函数的图像 1）一次函数
一次函数b
y=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx
y+
kx
图像是经过原点（0，0）的直线。

2）反比例函数
3）二次函数
4、函数图像的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二、常见题型：
1、求函数的表达式
常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。

在函数大题中，第一小问基本都是采用待定系数法求函数的表达式。

注意：二次函数的解析式常根据具体情况选择采用以下方式求解：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【例1】（•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
【例2】（•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
求该二次函数的表达式。

2、将函数的知识与几何知识联系起来的复合题
此类题目是在函数图像中有几何图形，一般情况是通过点的坐标可得出相对应的线段的长度，最终求得线段的长度或是图形的面积与周长等。

【例3】（•黄冈中学自主招生）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另
一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（）
A．B．C．D．
【例4】（•德阳）如图，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、根据函数图像判定系数的正负性或取值范围
【例5】（•魏县二模）若直线y=mx+2m﹣3经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）
A．m＜B．m＞0 C．m＞D．m＜0
【例6】（•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、根据系数的范围判定函数图像在坐标系中的位置
【例7】（•枣庄）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例8】（•杭州模拟）已知直线y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那么该直线不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、函数值域
【例8】（•天津）己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
6、函数图像单调性的判定
【例9】（•营口）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1=在第一象限内的图象经过点B．设直线AB 的解析式为y2=k2x+b，当y1＞y2时，x的取值范围是（）
A．﹣5＜x＜1 B．0＜x＜1或x＜﹣5 C．﹣6＜x＜1 D．0＜x＜1或x＜﹣6 【例10】（•上海模拟）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣4，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而．（填“增大”或“减小”）【例11】（•钦州）对于函数y=，下列说法错误的是（）
A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7、点的纵坐标大小比较与最值
【例12】（•富顺县一模）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．
【例13】（•湖北校级自主招生）已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，则a= ．
8、函数图像的平移
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
【例14】（•闸北区模拟）将一次函数y=x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为．
9、利用函数解实际问题
很据实际问题建立函数模型，最终求解。

【例15】（•武汉校级模拟）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为km．
【例16】（•盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= ，b= ；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？
10、函数与几何综合题
此类题型一般是利用函数图像上点的坐标，确定线段的长度，最后再利用几何知识解题，这类题有一定难度。

做这类题的关键是将函数的知识与几何知识联系起来。

【例17】（•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是，S3的值为．
【例18】（ •丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP ．
（1）k 的值为 ．
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ．
11、压轴题中的二次函数题
此类题一般第一问是求函数的解析式，第二、三问是与几何知识联系起来的求两个量之间的函数关系，求最值，求特殊点等题型。

常用公式有：
1） 两点间距离公式
点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-
2）勾股定理
在直角三角形中，斜边长的平方等与两直角边的平方和。

【例19】（ •威海）已知：抛物线l 1：y=﹣x 2+bx+3交x 轴于点A ，B ，（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x=1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （5，0），交y 轴于点D （0，﹣）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
三、总结
我们要将以上题型认真体会，能够举一反三，这样我们在解决函数相关题目的时候就能得心应手。