自由运行结构动态载荷识别的格林函数法

类应用较广泛的方法是基于线性叠加原理将响应 ６ ］ ， 求解卷积方程得 与动态力的关系通过卷积表示 ［ 到动载荷的时间历程， Ｄ ｏ ｙ ｌ ｅ 结合小波变换与傅 里叶变 换 的 反 卷 积 方 法 实 现 载 荷 重 构． Ｌ ｉ ｕ与
［ ８ ］ Ｈ ａ ｎ 对复合材料层合板施加 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 脉冲载荷函数 ［ ７ ］
引言
自由结构载荷的时域识别技术在航空航天工 程领域有重要的应用价值， 如通过飞行试验所积累 的有关力学环境的遥测数据估计飞行器飞行过程 中所承受的外载荷， 或者基于少量实测数据预示整 个飞行器的动力学响应， 这对运载工具和飞行器结 目前， 人们已发展了 构的优化设计是极其必要的． 较多的载荷时域识别方法． 其中一类是通过模态叠
， － １ Ｔ δ α δ Ｆ ＝ Ｖ ·Ｄ ｉ ａ ｇ （ ｆ （ ， ） ·Ｕ ｚ ¨ α σ σ ｉ ｉ ） － １ Ｔ δ ＝ （ ， ） ｚ ¨ )ｖ ∑ｆ α σ σ ｉ ｉ ＋ ｇ（ ｘ ， ｔ － ） ］ Ｆ （ ） τ τ τ ∫
６ － ５ ｔ ４ （ ｔ ）＝ １ ． ７ × １ ０ （ １ － ｅ ）＋ ５ × １ ０ ｓ ｉ ｎ （ １ ０ ｔ ） ． π
２ 反问题求解的正则化方法
计入响应数据中的误差或噪声， 式（ ８ ） 改写成 如下形式
δ ｚ ¨ ＝ Ｇ Ｆ＋ ｅ ｒ ｒ δ
（ ９ ）
式中 ｅ ｒ ｒ 为响应测量产生的误差， ｚ ¨ 为具有测量噪 声的加速度响应数据， Ｆ表示真实的动态载荷． 对核函数矩阵 Ｇ作奇异值分解， 有 Ｇ＝ Ｕ ·Ｄ ｉ ａ ｇ （ ） ·Ｖ σ ｉ
模态矢量按测点自由度归一化， 构造运载火箭动态
１ ４ ］ 载荷的识别方法； 毛玉明和郭杏林等［ 通过模态叠
ｑ ¨ Ｑ （ ｔ ） Ｒ＝ Ｒ
}
（ ４ ）
２ ０ １ ４ ０ ４ １ １收到第 １稿， ２ ０ ０ ４ ０ ７ ０ １收到修改稿． 通讯作者 Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ：ｆ ａ ｎ ｐ ｅ ｎ ｇ ＠ｈ ｎ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
程类似， 模拟实验测量的加速度响应示于图 ５ ． 反 演出的载荷由图 ６给出． 可见， 反求结果与实际载 荷吻合较好．
图４ 组合薄壁结构与分析模型 Ｆ ｉ ｇ ． ４ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｅ ｔ ｈ ｉ ｎ － ｗ ａ ｌ ｌ ｅ ｄｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄｉ ｔ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ
Ｔ 右奇异值向量矩阵， 并满足 Ｕ Ｕ＝ Ｖ ＴＶ＝ Ｉ ， 其中 Ｉ
是单位矩阵． 设矩阵 Ｇ 可逆， 由式（ ７ ） 得估计的动
δ 为 态外载荷 Ｆ － １ Ｔ δ δ Ｆ ＝ Ｖ ·Ｄ ｉ ａ ｇ （ ·Ｕ ｚ ¨ σ ｉ ）
将结构所受任意动态载荷历程在时域内表示 为 Ｆ （ ｔ ）＝ （ ｔ － ） Ｆ （ ） ｄ δ τ τ τ ∫
０ ｔ
（ ５ ）
－ １ Ｔ ＝ Ｆ＋ ·ｅ ｒ ｒｖ ) ｉ ∑σ ｉ (ｕ ｉ ｉ ＝ １
ｍ
（ １ １ ）
ｉ ｒ ａ ｃ函数 δ 表示作用于结构的单位冲激载 式中 Ｄ 由式（ ４ ） 可直接导出单位冲激函数产生的弹性 荷． 振动和整体运动的模态加速度脉冲响应， 即载荷作 用点到加速度响应测点的 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数． 考虑零初始 条件， 且设初瞬时， 载荷值等于零， 则依线性叠加原 理得到测点的绝对加速度响应与激励的卷积关系 ｚ ¨ （ ｘ ， ｔ ）＝ ｄ τ ｒ ｅ ｅ ｎ 核函数． 弹性振动和整体刚体运动的 Ｇ 在时间域 内 用 ｍ 个 等 间 隔 的 采 样 点 进 行 离 散， 令Δ ｔ 为离散的采样时间间隔， ¨ ｚ ｔ Δ ｉ和 Ｆ ｉ是 ｔ＝ｉ 时的加速度和待反求的载荷值， 式（ ６ ） 可离散为如 下形式 ¨ １ １ ｚ ｇ ｇ ｇ ¨ ｚ ２ １ ２ ＝ ｚ ｇ ｇ ¨ ｍ ｍ－ １ … ｍ ｚ ¨ ＝ Ｇ Ｆ 式中 Ｇ为 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 核函数矩阵． 当结构受到多个载荷作用时， 系统总的绝对加 速度响应是各载荷引起的加速度响应的线性叠加，
（ ７ ）
（ １ ４ ）
Ｔ － １ Ｔ 式中， Ｅ＝Ｉ －Ｇ ［ Ｇ Ｇ＋α Ｉ ］ Ｇ， 其中 Ｉ 为单位矩
式中 ｇ ｇ （ ｘ ，ｔ ）＋ ｇ （ ｘ ，ｔ ） ． 上式简单表示为 ｉ＝ Ｅ ｉ Ｒ ｉ （ ８ ）
阵； ｔ ｒ （ Ｅ ） 表示 Ｅ的迹． 函数 Ｖ （ ） 的极小值点就是 α Ｇ Ｃ Ｖ准则所确定的正则化参数．
第１ ４卷第 １期 ２ ０ １ ６年 ２月 １ ６ ７ ２ ６ ５ ５ ３ ／ ２ ０ １ ６ ／ １ ４ ０ ７ ５ ５ ⑴／
动力学与控制学报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ ＬＯ ＦＤ Ｙ Ｎ Ａ Ｍ Ｉ Ｃ ＳＡ Ｎ ＤＣ Ｏ Ｎ Ｔ Ｒ Ｏ Ｌ
Ｖ ｏ ｌ ． １ ４Ｎ ｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ６
自由结构， 其运动耦合了整体刚体运动， 人们也发 Ｋ ｒ ｅ ｉ ｔ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 和 展了一些特殊的方法来识别动载荷，
［ １ ２ ］ Ｌ ｕ ｏ 提出了计权加速度法（ Ｓ ＷＡ Ｔ ） ， 利用测量的 加速度值乘以计权系数得到动态载荷的等效合力， １ ３ ］ 关键是难以确定计权系数； 朱斯岩与朱礼文 ［ 将
与Ｈ ｅ ａ ｖ ｉ ｓ ｉ ｄ ｅ 阶跃载荷函数， 由动力学响应确定卷
９ ， １ ０ ］ 积中的核函数； 韩旭和刘杰等 ［ 基于正则化方法
求解数值离散后的反卷积方程， 分析多源动态载荷
１ １ ］ 基于 反求 问 题； 王 晓 军、 杨 海 峰 和 邱 志 平 等［ Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 函数方法研究动态载荷的区间识别方法． 对
Ｔ
图１ 自由运行飞行器简化模型
（ １ ０ ）
Ｆ ｉ ｇ ． １ Ｓ ｉ ｍ ｐ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｖ ｅ ｈ ｉ ｃ ｌ ｅ ｉ ｎ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｄｓ ｔ ａ ｔ ｅ
式中 σ （ ｉ ＝ １ ， ２ ，…， ｍ） 为奇异值， Ｕ＝（ ｕ ，ｕ ， ｉ １ ２
９ ］ ８ ） 所示形式 ［ ． 故可将多源载荷问题表示为式（ ０ Ｆ Ｆ １ Δ ｔ Ｆ ｇ １ ｍ－ １ ｔ
δ 式（ １ １ ） 表明， 动态外载荷的估计值 Ｆ 与真实值之
间的误差主要是由于两个因素导致的， 一是测量响 应数据中不可避免的噪声， 二是系统固有的核函数 矩阵的小奇异值． 本文采用正则化方法反求式（ ８ ） ， 引入正则化 （ ， ） ， 当小奇异值 σ ｆ （ ， ） ／ 算子 ｆ α σ α σ σ ｉ ｉ趋于零， ｉ ｉ 也趋于零， 由此可得到实际载荷的一个稳定的近似 估计
７ ６
动 力 学 与 控 制 学 报
２ ０ １ ６年第 １ ４卷
式中 ω ｉ和 ξ ｉ分别为弹性振动的各阶频率和模态阻 尼比； Ｑ Ｅ和 Ｑ Ｒ 分别为弹性振动模态力与整体刚体
Ｔ Ｔ 运动模态力， 且有 Ｑ （ ，Ｑ （ ． ΦＥ）Ｐ ΦＲ）Ｐ Ｅ＝ Ｒ＝
ｕ 和 Ｖ＝ （ ｖ ，ｖ ， …，ｖ 分别是左奇异值和 …， ｍ） １ ２ ｍ）
[ ｙ] [ ０ Φ ] [ ｑ]
＝
Ｒ Ｒ Ｒ
ｙ Ｅ
ΦＥ
０
ｑ Ｅ
（ ３ ）
式中 ΦＲ 是整体刚体运动模态矩阵； ΦＥ 是弹性振 动模态矩阵； ｑ Ｒ和 ｑ Ｅ 分别是整体刚体运动和弹性 运动的模态坐标． 结合式（ ３ ） 和式（ １ ） ， 得到
２ ｑ ¨ Ｄ ｉ ａ ｇ （ ２ ） ｑ Ｄ ｉ ａ ｇ （ ） ｑ Ｑ （ ｔ ） ξ ω ω Ｅ＋ ｉ ｉ Ｅ＋ ｉ Ｅ＝ Ｅ
图２ 节点 ４ ０的绝对加速度响应历程 Ｆ ｉ ｇ ． ２ Ｔ ｈ ｅｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ｈ ｉ ｓ ｔ ｏ ｒ ｙｏ ｆ ａ ｂ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｅａ ｃ ｃ ｅ ｌ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｆ ｏ ｒ ｎ ｏ ｄ ｅ ４ ０
自由运行结构动态载荷识别的格林函数法
彭凡１ 马庆镇１ 肖健２ 韦冰峰２ 刘杰１
（ １ ． 湖南大学机械与运载工程学院， 长沙 １ ０ ０ １ ９ ０ ）（ ２ ． 北京强度与环境研究所， 北京 １ ０ ０ ０ ７ ６ ）
摘要 将 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 函数法应用于平动自由结构的载荷识别问题． 不计刚 柔耦合效应， 建立测点的绝对运动加 速度和动态激励的卷积关系， Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 核函数由整体刚体运动与弹性振动的脉冲响应迭加而成， 采用正则化方 对自由梁和组合薄壁结构给出两个算例， 以数值仿真结果叠加 ２ ０ ％ 噪声水平的随机噪 法求解反卷积问题． 声模拟实测响应， 结果表明， Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 函数法能有效地反演复杂平动自由结构的动载荷， 正则化方法求解此类 文中得到的 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ 函数法对复杂自由结构体系的动载荷反演具有应用潜力． 问题的稳健性和耐噪性强． 关键词 整体平动， 自由结构， 载荷识别， 格林函数， 正则化
０ Ｅ Ｒ
（ ６ ）
式中 ｘ 表示载荷作用点； ｇ （ ｘ ， ｔ ） 和ｇ （ ｘ ， ｔ ） 分别是 Ｅ Ｒ
（ １ ２ ）
若取正则化算子 式中 α是正则化参数． ｆ （ ， ）＝ α σ
{
２ １ ， σ ≥α ２ ０ ， σ＜ α
（ １ ３ ）
１ ５ ］ 得到截断奇异值分解（ Ｔ Ｓ Ｖ Ｄ ） 算法 ［ ． 采用广义交 ［ １ ６ ］ Ｇ Ｃ Ｖ ） 得到 α ， 构造如下函数 叉验证准则（ δ Ｅ ｚ ¨ Ｖ （ ） ＝ α ２ ［ ｔ ｒ （ Ｅ ） ］ ２
第 １期
彭凡等： 自由运行结构动态载荷识别的格林函数法
７ ７
以节点 ４ ０ 的响应作为反求输入， 首先在载荷作 用点 １ 施加单位冲激脉冲力， 计算 ４ ０节点的绝对加 速度响应， 由此确定 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数． 然后， 进行 Ｆ （ ｔ ） 作 用下的正问题计算， 得到 ４ ０节点的绝对加速度响 ０ ％的随机噪声来模拟实 应， 将其迭加噪声水平为 ２ 验测量的响应， 带噪的加速度响应可用下式表示 ｚ ¨ ｚ ＋ ０ ． ２ ·ｓ ｔ ｄ （ ｚ ¨ ） ·ｒ ａ ｎ ｄ （－ １ ， １ ） ｅ ｒ ｒ＝¨ （ １ ５ ） ｒ ａ ｎ ｄ （－ １ ， １ ） 是［－ １ ， １ ］ 之间的随机数， ｓ ｔ ｄ （ ｚ ¨ ） 式中， 计入噪声后， 节点 ４ ０的绝对加速度响应 是标准差． 给出， 由此得到的载荷识别结果示于图 ３ ． 由图 ２