连续型随机变量常见的几种分布

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▲ 由分布函数定义可得：若X 服从均匀分布，则 X 的分布函数为:
0 x a F ( x) x a a x b ba 1 x b
图形:
1
F ( x)
a
0
b
x
5
例1.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车 到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量 试求： (1) 乘客候车时间少于 5 分钟的概率 (2) 乘客候车时间超过10分钟的概率
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3. 正态分布 正态分布是应用最广泛的 一种连续型分布. 数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布. 德莫佛
高斯
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(1). 正态分布的定义
若随机变量 X 的概率密度为：
( x )2 2 2
f ( x)
其中:
1
2
e

, x
和 2都是常数， 任意， >0， 2 则 称 X 服从参数为 和 的正态分布.
记作 :
X ~ N (, )
2
f (x) 所确定的曲线叫作正态曲线.
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(2). 正态分布
N ( , 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形 曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )

(

)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
3
[证]:
设 ( c , d ) ( a , b)
P (c X d ) f ( x )dx c c 1 (d c ) ba
d
d
1 dx ba
即 X 落在 (c, d ) 内的概率只与 (c, d) 的长度有关, 而与(c, d) 在 (a,b) 中的位置无关. 均匀分布常见于下列情形： 比如: 在数值计算中，由于四舍五 入,小数点后某一 位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后 通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.

5
0
20 1 1 dx dx 15 30 30
1 3
8
2. 指数分布 若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：
e x f ( x) 0
其中
x0 其它
0 为常数
则称 X 服从参数为 的指数分布 注: ▲ 易证 f ( x ) 满足：
1 . f ( x) 0 , 2 . f ( x )dx 1
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
若设X是某一元件的寿命，则上式表明：元件 对它已使用过 s小时没有记忆。
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例2. 某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件， 其寿命(单位:h)都服从同一指数分布，概率密 度为 x
1 200 e f ( x ) 200 0
x0 x0
试求： 仪器在使用的最初200h内，至少有一个元 件损坏的概率
0

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▲ 由分布函数定义可得：若X 服从指数分布，则 X 的分布函数为:
1 e x x 0 F ( x) 其它 0
▲ 指数分布的图形特点 ▲ 指数分布的性质(无记忆性) 若X 服从指数分布，则： 对任意的 s , t 0 有：
P {X s t X s } P { X t }
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下图是用某大学男大学生的身高的数据画出 的频率直方图:
红线 是拟 合的 正态 密度 曲线
可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。
20
人的身高高低不等，但中等身材的占大多数， 特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人 数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分 布的随机变量的特点。
21
除了前面介绍的身高外,在正常条件下年降雨量； 各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强 度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高； 测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号 噪声等等，都服从或近似服从正态分布.
F ( x)
2
1
x

e

( t )2 2 2
dt , x
其图形为:
18
F ( x)
2
1
x

e

( t )2 2 2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ 和σ不同时，对应的是不同的正态分布。
表中给出的是 x 0 时, Φ(x)的值. 当 x 0 时有：
x
x
( x ) 1 ( x )
27
▲
设X N (0,1)，对于任意的正实数有 P (| X | a ) 2[1 (a )] P (| X | a ) 2(a ) 1
例 设X N (0,1), 求P{| X | 1.5}, P{| X | 1.96}
其图形为:
23
( x)
( x)
密度函数 ( x )
分布函数 ( x )
24
▲ 标准正态分布的重要性 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换 x 转化为标准正态分布. X 2 ～N (0,1) 引理: 若 X～N ( , ), 则 : Z
(一般正态分布与标准正态分布的关系)
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正态分布
N ( , ) 的图形特点
2
决定了图形的中心位置，
中峰的陡峭程度.
15
决定了图形
(3) 由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点
f ( x)
▲ ▲
1
2
e

( x )2 2 2
, x
显然: f ( x ) 0 即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方.
f ( x ) 以μ 为对称轴，并在 x 处达到最
大值:
f ( )
1 2
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证明: 令: x=μ+c, x=μ-c (c>0) 分别代入 f ( x ) 可得:
f (μ+c ) = f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 故得: f ( x ) 以μ 为对称轴，并在 x 处
P( |X| 1) = 2 (1)- 1 = 0.6826 P( |X| 3) = 2 (3)- 1 = 0.9974 P( |X| 2) = 2 (2)- 1 = 0.9544
这说明：X 的取值几乎全部集中在 [ -3, 3 ] 区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%
注: ▲ 易证 f ( x ) 满足：
1 . f ( x) 0 ,
0
2 .
0


f ( x )dx 1
2
▲
f ( x ) 的图形：
f ( x)

a

0
b
1 ba
▲ 均匀分布的概率意义:
X 落在区间 (a, b) 中任意等长度的子区间的可能性 是相同的，即它落在子区间的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位置无关.
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将上述结论推广到一般的正态分布,有：
Y ~ N ( , ) 时， P (| Y | ) 0.6826 P (| Y | 2 ) 0.9544
2
P (| Y | 3 ) 0.9974
可以认为：
Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
34
30 30 B 路: P (Y 30) 1 P (Y 30) 1 ( ) 2 1 0 .5 0 . 5
达到最大值 f (x)以 x 轴为渐近线
▲
因为当 x→ ∞时，f (x) → 0 这说明：曲线 f (x)向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x)以 x 轴为渐近线。
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▲ x=μσ
为 f (x)的两个拐点的横坐标
(对 f (x)求导即可求得)
(4). 正态分布的分布函数
由分布函数定义得出正态分布，若 X～N ( , 2 ) 则 X 分布函数是
▲ 由此可得: 若 X～N ( , 2 ), 则其分布函数 F ( x ) :
F ( x) P( X x) P ( X x ) x ( )
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▲
关于正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了 它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. t2 x 1 2 ( x ) e dt 2
区间内。这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）
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例3.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
态分布 N (50,0.752 ) ,如果规定零件的长度在
50 1.5 毫米之间为合格品.
求:生产零件是合格品的概率 解: X～N (50,0.752 ) 所求的概率为： P( X 50 1.5) P (48.5 X 51.5) 48.5 50 51.5 50 ) ( ) ( 0.75 0.75 ( 2) ( 2) (2) (1 ( 2))