立体几何中的折叠问题(微专题)

（ 12 浙江）10．已知矩形 ABCD，AB＝ 1，BC＝ 2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折着过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三直线“ AC 与 BD” ， “ AB 与 CD” ， “ AD 与 BC”均不垂直
立体几何中的翻折问题
灵溪二高：刘勇
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的翻折问题在历年高考中时常出现， 浙江省近几年就出现了四次，因为它是一个由直 观到抽象的过程，所以每次的出现的题号都偏后， 同学们的答题情况也不太理想。
课本中翻折：
如图：边长为2的正方形ABCD中， （1）点E、F分别是边BC和CD的中点，将△ABE， △AFD分别沿AE，AF折起，使两点重合于P点， 求证：AP⊥EF 1 （2）当CE=CF= 4 BC时，求三棱锥P-AEF的体积； A P(B,D)
F
E C
链接高考：
（ 12 浙江第 10 题）已知矩形 ABCD， AB＝ 1， BC＝ 2 ．将 ABD 沿矩形的对 角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折着过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三直线“ AC 与 BD” ， “ AB 与 CD” ， “ AD 与 BC”均不垂直
（ 10 浙江）如图， 在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB， AD 上，
，沿直线 EF 将△ AEF 翻 折成△ A′ EF，使平面 A′ EF⊥平面 BEF。 （Ⅰ）求二面角 的余弦值；
（Ⅱ）点 M， N 分别在线段 FD，BC 上，若沿 直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折， 使 C与 重合，求线段 FM 的长。
（1）求AD与BC所成的角 （2）求AD与面DBC所成角的正弦值 （3）求二面角D-AB-C的正切值
D
A
C
考向一：通过翻折得到一个确定的几何体， 研究其点线面的位置关系。 策略：建系、模型、传统方法
B
变式、 如图：边长为 2 的正方形 ABCD 中，将△ ACD 沿 对角线 AC 折起，连接 BD ，得到一个新的三棱锥 DABC，（平面DAC与平面BAC不重叠）
（05
浙江） 设 M、 N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE⊥AB 于 E(如
图 )．现将△ADE 沿 DE 折起，使二面角 A－ DE－B 为 45° ，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、 N 的连线与 AE 所成角的 大小等于_________．
D
C
N
M
A
E
B
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（09 浙江） 17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1 ，E 为 DC 的 中点， F 为线段 EC （端点除外）上一动点．现将 AFD 沿 AF 折起， 使平面 ABD 平面 ABC ．在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ， K 为垂 足．设 AK t ，则 t 的取值范围是 ．
问题1、求AC与BD所成的角？ 问题2、AD与BC会垂直吗？ 问题3、角DAB固定吗？ 它的范围为？ 问题4、AD与平面ABC所成的线面角固定吗？
A C D
它有最大值吗？
M
问题 5 、 AD 与面 BDM 所成的角固定吗？ (M 为 AC 中 点）
问题6、二面角D-AC-B固定吗？范围为？
B
问题7、二面角A-DB-C的范围能求吗？
典型例题
如图：边长为2的正方形ABCD中，将 △ACD沿对角线AC折起，连接BD，得 到一个新的三棱锥D-ABC 尝试作图
在翻折的过程中，三棱锥与原来的正方形对比，哪些量没有变化？哪些量发生 了变化？（长度、角度、图形）
D C
D
A
A B
C
B
例 1 、 如图：边长为 2 的正方形 ABCD 中，将△ACD沿对角线AC折起，连 接BD，得到一个新的三棱锥DABC，当三棱锥的体积最大时。
（1）AD与BC所成的角固定吗？
D
它们会垂直吗？
（2）AC与BD所成的角固定吗？
A
M
C
（3）AD与面BDM所成的角固定吗？(M为AC中点） （4）二面角A-DB-C固定吗？ 你能不用求解看出它的范围吗？ 考向二：通过翻折得到一个不确定的几何体， 研究其点线面的位置关系 策略：明确不变量、紧抓关键量
B
【总结规律】
求解翻折问题的基本方法：
(1)根据题中条件画出立体图形 (2)比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关 系在翻折过程中不变，哪些已发生变化. (3)将不变的条件集中到几何体图形中，将问题 归结为一个条件与结论明朗化的立几问题。
链接高考：
（09 浙江） 17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1 ，E 为 DC 的 中点， F 为线段 EC （端点除外）上一动点．现将 AFD 沿 AF 折起， 使平面 ABD 平面 ABC ．在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ， K 为垂 足．设 AK t ，则 t 的取值范围是 ．
A D
A
D B
B
C
C
2014温一模（16题）
如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻 转成△A1DE．若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ADE 翻转过程 中，正确的命题是 ． ① |BM|是定值； ② 点 M 在圆上运动； ③ 一定存在某个位置，使 DE⊥A1C； ④ 一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE．