《平方差公式》PPT课件 湘教版
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湘教版七年级下册2.平方差公式课件
=＝2 0032－(2 003－1)(2 003＋1)
2 0032－(2 0032－1) ＝2 0032－2 0032＋1 ＝1.
A．(a－2)(2＋a)＝a2－2
B．(x＋2)(2x－2)＝2x2－4
C．(－a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(ab－3)(ab＋3)＝a2b2－9
3、计算：
(1)
2x2
3 2
a
2x2
3 2
a
＝__4_x_4－__94_a2_____；
(2)(－5a－2b)(5a－2b)＝_4_b_2_－__2_5_a_2___；
(2)(x+2y)(x-2y)
解：原式＝ (2x)2 -12 原式＝ｘ２－（２ｙ）２
＝4x2 - 1
＝x2 – ４ｙ２
1、先把要计算的式子与公式对照,
2、哪个是 a ,哪个是 b.
例2 运用平方差公式计算：
（ 解 1） - - 2 2 x x - - 1 2 1 2y y - - 2 2 x x + + 1 21 2 y y （解2）：= (((444aaa++)bb2))(-(-b-b2b++44aa)).
（3）51×49
=4 a2－9；
=(50+1)(50-1)
=502－12
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) =(-2x2)2－y2=2500-1
=4x4－y2.
=2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
2、下列各式运算正确的是( D ）
第二章
2 0032－(2 0032－1) ＝2 0032－2 0032＋1 ＝1.
A．(a－2)(2＋a)＝a2－2
B．(x＋2)(2x－2)＝2x2－4
C．(－a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(ab－3)(ab＋3)＝a2b2－9
3、计算：
(1)
2x2
3 2
a
2x2
3 2
a
＝__4_x_4－__94_a2_____；
(2)(－5a－2b)(5a－2b)＝_4_b_2_－__2_5_a_2___；
(2)(x+2y)(x-2y)
解：原式＝ (2x)2 -12 原式＝ｘ２－（２ｙ）２
＝4x2 - 1
＝x2 – ４ｙ２
1、先把要计算的式子与公式对照,
2、哪个是 a ,哪个是 b.
例2 运用平方差公式计算：
（ 解 1） - - 2 2 x x - - 1 2 1 2y y - - 2 2 x x + + 1 21 2 y y （解2）：= (((444aaa++)bb2))(-(-b-b2b++44aa)).
（3）51×49
=4 a2－9；
=(50+1)(50-1)
=502－12
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) =(-2x2)2－y2=2500-1
=4x4－y2.
=2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
2、下列各式运算正确的是( D ）
第二章
湘教版数学七年级下册第三章《平方差公式法》公开课课件
=(5x + 3 y)(5x - 3 y)
2
2
例3 把 (x+y)2-(x-y+1)2因式分解
解 (x+y)2-(x-y+1)2
=(x+y)+(x-y+1)(x+y)-(x-y+1)
=(2x+1)(2y-1)
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021 7:11:18 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/252021/10/252021/10/2510/25/2021
( 1 )x2 + y2 ( 3 )x2 -(- y)2
( 2 )- x2 + y2 ( 4 )- x2 - y2
(1)(4)不能用平方 差公式分解因式， (1)是平方和的形 式，(4)是平方和 的相反数
(2)-x2+y2 =y2-x2 =(y+x)(y-x)
(3)x2-(-y)2 =x2-y2 =(x+y)(x-y)
子目内容 3.3.1
平方差公式法
返回
说一说
平方差公式是什么样子？
(ab)a (b)a2b2
如何把 x2 - 25 因式分解？
把平方差公式从右到左地使用， 就得出
x 2 2 5 x 2 5 2 (x 5 )x ( 5 )
4.3.1平方差公式课件ppt湘教版七年级下
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
4x21
4x2 1
3.计算：
1202198 20 2 0 20 2 0
400400 39996
249.850.2 5 0 0 .2 5 0 .2
25 0 0 .00 4 24 .9969
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 七年级下
展辉初中部七年级数学备课组
4.3.1 平方差公式
你能快速算出多项式2m3n与多项式2m3n的乘积吗？
可以这样做!
由上一节课所做的例题得
ababa2b2
如果2m与3n分别看成上式的a 与 b，不就可以直接得到结果吗？
2 m 3 n 2 m 3 n 2 m 2 3 n 2 4 m 2 9 n 2
2x2x2
3a2 b2
x2 22
9a2b2
x2 4
312xy12xy
1
x
2
y2
2
1 x2 y2 4
415a15a
125a2
You made my day!
我们，还在路上……
4x21
4x2 1
3.计算：
1202198 20 2 0 20 2 0
400400 39996
249.850.2 5 0 0 .2 5 0 .2
25 0 0 .00 4 24 .9969
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 七年级下
展辉初中部七年级数学备课组
4.3.1 平方差公式
你能快速算出多项式2m3n与多项式2m3n的乘积吗？
可以这样做!
由上一节课所做的例题得
ababa2b2
如果2m与3n分别看成上式的a 与 b，不就可以直接得到结果吗？
2 m 3 n 2 m 3 n 2 m 2 3 n 2 4 m 2 9 n 2
2x2x2
3a2 b2
x2 22
9a2b2
x2 4
312xy12xy
1
x
2
y2
2
1 x2 y2 4
415a15a
125a2
新湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》精品课件
4.先化简,再求值: a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3. 【解析】原式=a2+a-(a2-1)=a2+a-a2+1=a+1, 当a=3时,原式=a+1=3+1=4.
5.街心花园有一块边长为am的正方形草坪,经规划后,草坪南北 方向要加长2m,而东西方向要缩短2m,问改造后的长方形草坪的 面积和以前相比变化多少? 【解析】改造后草坪的面积为:(a+2)(a-2)=(a2-4)(m2). 而以前正方形草坪的面积为a2m2,故改造后草坪的面积和以前相 比减少4m2.
【解析】根据观察,可设mn=x2-y2=(x+y)(x-y), 则x-y=n,x+y=m.
因为 m n m n m,
2 2 mn mn n, 2 2 所以 x m n , y m n , 2 2 所以 mn ( m n ) 2 ( m n ) 2 . 2 2 答案：( m n ) 2 ( m n ) 2 2 2
【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
2.下列各式能用平方差公式计算的是(
A.(3a+b)(a-b)
)
B.(-3a-b)(-3a+b)
C.(3a+b)(-3a-b)
D.(-3a+b)(3a-b)
【解析】选B.平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组
互为相反数的项.A,C,D中不存在相同的项,因此A,C,D都不符合
【总结提升】灵活运用平方差公式的三种情形 1.用平方差公式简便计算两数的积. 2.在整式的混合运算中,正确识别符合平方差公式的部分 . 3.变化系数灵活运用平方差公式.
2022年湘教版七年级数学下册第二章《 平方差公式》优课件
3.计算:
(1)2.03 (1.97) (2)(a-3)(a+3)(a2 +9)
解析：(1)原式 (0.03 2)(0.03 2)
0.032 2 2 3.999 1.
(2)原式 (a2 9)(a2 9) (a2)2 92 a 4 81.
平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b 2
= (ab)2 82
=a2b2 64.
(3) (m n)(m n) 3n 2 = m 2 n2 3n2
=m2 2n2.
1.(a+2)(a-2) 2.(3a+2b)(3a-2b) 3.(-x+1)(-x-1) 4.(-4k+3)(-4k-3)
答案：1.a2-4 2.9a2-4b2 3.x2-1 4.16k2-9
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
不要等待机会，而要创造机会.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
=(-m)2-n2 =m2-n2.
【例2】利用平方差公式计算：
湘教版七年级下册数学课件 平方差公式
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a
湘教版七年级下册数学：2.2.1平方差公式 (2) (共24张PPT)
（a）
（b）
典例剖析
例1 用平方差公式计算:
(1) (2x+1)(2x-1); (2) (x-2y)(x+2y).
典例剖析
例2 用平方差公式计算:
(1) (2x 1 y)(2x 1 y);
2
2
(2)(4a b)(b 4a).
(a+b)(a-b)=a2-b项符号相同, 另一项则符号相反.
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
观察以下多项式与多项式相乘，你发现什么特点？ 运算出结果后，你又发现什么规律？
计算下列多项式的积．
（1）（a＋1）（a－1）= a2－112 （2）（m＋2）（m－2）= m2－242
（3） （2a+1）（2 a−1）= 4a （2a）22 －121
湘教版七年级下册数学§2.2.1
平方差公式
想一想
老板,我要喷绘一张来宾 金秀圣堂山景区宣传图纸， 它的长为10.3米，宽为 9.7米.请您帮我快速计算 一下这张喷绘的面积是多 少？
10.3 ×9.7= ？
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式乘法法则: 用一个多项式的每一项乘以另 一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.
猜想：
(a＋b) (a－b) = a2－b2
请同学们计算验证
验证
(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2
结论
我们把
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
叫做平方差公式. 即两个数的和与这两个数的差的 积等于这两个数的平方差.
221平方差公式ppt 数学七年级下册配湘教版同步教学课件
本题是公式的变式训练，以加深对公式本 质特征的理解
山东星火国际传媒集团
2. 运用平方差公式计算：
（1）(3a+b)(3a-b)； （2）(m+2n)(m-2n)；
= 9a2-b2
= m2-4n2
（4）(-1+5a)(-1-5a).
= 1-25a2.
(5) (5a +3b)(5a−3b) ; (6) (−4k+3)(−4k−3) .
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 .
例1 运用平方差公式计算：
（1）(2x+1)(2x-1) 解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
（2）(x+2y)(x-2y) 解 (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= 4x2-1.
= x2 -4y2
例2 运用平方差公式计算：
(-a + 4 )( -a - 4 ) = a2+ 4a - 4a -42=
.
山东星火国际传媒集团
推进新课——平方差公式
计算下列各题:
两数和与这两数差 (1) (x+3)(x−3) ==xx2−2−93; 的积,等于 (2) (1+2a)(1−2a) =2=;11−2−4(a22a;)2 ; 这两数的平方的差.
(3) (x+4y)(x−4y) ==xx22−−1(46yy)22 ; (4) (y+5z)(y−5z) ==yy2−2−2(55zz)22 ;. 观察发现
用自己的 语言叙述 你的发现 。
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
用式子表示，即： (a+b)(a−b)=a2−b2.
山东星火国际传媒集团
2. 运用平方差公式计算：
（1）(3a+b)(3a-b)； （2）(m+2n)(m-2n)；
= 9a2-b2
= m2-4n2
（4）(-1+5a)(-1-5a).
= 1-25a2.
(5) (5a +3b)(5a−3b) ; (6) (−4k+3)(−4k−3) .
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 .
例1 运用平方差公式计算：
（1）(2x+1)(2x-1) 解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
（2）(x+2y)(x-2y) 解 (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= 4x2-1.
= x2 -4y2
例2 运用平方差公式计算：
(-a + 4 )( -a - 4 ) = a2+ 4a - 4a -42=
.
山东星火国际传媒集团
推进新课——平方差公式
计算下列各题:
两数和与这两数差 (1) (x+3)(x−3) ==xx2−2−93; 的积,等于 (2) (1+2a)(1−2a) =2=;11−2−4(a22a;)2 ; 这两数的平方的差.
(3) (x+4y)(x−4y) ==xx22−−1(46yy)22 ; (4) (y+5z)(y−5z) ==yy2−2−2(55zz)22 ;. 观察发现
用自己的 语言叙述 你的发现 。
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
用式子表示，即： (a+b)(a−b)=a2−b2.
《平方差公式 》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (3)
│ -0.05│
0；
│ -3│ 1；
3. 判断〔对的打 "√〞 ,错的打 "×〞
〕：
〔1〕一个有理数的绝|对值一定是正数 . (
)
〔2〕－1.4<0 ,那么│－1.4│<0 .
()
〔3〕 │－32︱的相反数是32
()
〔4〕 如果两个数的绝|对值相等 ,那么这两个数
相等
()
〔5〕 互为相反数的两个数的绝|对值相等 ( )
也就是说记为 -8的足球与规定的质量相差比较小 , 因此其质量比较好
本章小结
• 一个正数的绝|对值等于它本身 • 一个负数的绝|对值等于它的相反数 • 0的绝|对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝|对值相等
3.计算(x -y)( -y -x)的结果是( ) 2 -y22 +y2 2 +y22 -y2 【解析】选B.(x -y)( -y -x) =( -y)2 -x2 =y2 -x2.
4.计算(3m +4)(4 -3m)的结果是
.
【解析】原式 =(4 +3m)(4 -3m) =16 -9m2.
答案:16 -9m2
_平__方___差_.
(打 "√〞或 "×〞) ×
(1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( ) (2)( -a +b)( -a -b) =a2√-b2.( )
(3)(a +b)(b -a) =a2 -×b2.( )
(4)(3x +2y)(3x -2y) =3x2 -2×y2.( )
2 =0.9996.
答案:249991
4.先化简,再求值: a(a +1) -(a +1)(a -1),其中a =3. 【解析】原式 =a2 +a -(a2 -1) =a2 +a -a2 +1 =a +1, 当a =3时,原式 =a +1 =3 +1 =4.
湘教版七年级下3.3.1因式分解之平方差公式课件
利用平方差公式进行因式分解
• 下列各式能否用平方差公式分解？如果能 分解，分解成什么？如不能说明理由。
• ①x2+y2
• •
② ③
x2-y2 -x2+y2
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式
（2）两项都是平方项或是
• ④ -x2-y2 都能化为平方项。
（3）两项式认识有多深？
你能否总 结出一种 新的因式 分解方法？
(4)2a(z－y)－6b(y－z) .
2、你能把多项式a2-b2因式分解吗？
(a+b)(a-b) = a2-b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
知识探索
1、能否用提公因式的方法把多项式 x2-25，9x2-y2分解因式?
解：x2-25 = x2 - 52 =(x+5)(x-5) 9x2-y2 =(3x)2-y2 =(3x+y)(3x-y)
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
• 下列各式能否用平方差公式分解？如果能 分解，分解成什么？如不能说明理由。
• ①x2+y2
• •
② ③
x2-y2 -x2+y2
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式
（2）两项都是平方项或是
• ④ -x2-y2 都能化为平方项。
（3）两项式认识有多深？
你能否总 结出一种 新的因式 分解方法？
(4)2a(z－y)－6b(y－z) .
2、你能把多项式a2-b2因式分解吗？
(a+b)(a-b) = a2-b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
知识探索
1、能否用提公因式的方法把多项式 x2-25，9x2-y2分解因式?
解：x2-25 = x2 - 52 =(x+5)(x-5) 9x2-y2 =(3x)2-y2 =(3x+y)(3x-y)
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
2021年湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》精品课件 (3).ppt
6
所以 a b 1 .
2
a-b=1 ，
3
答案：1
2
3.用简便方法计算:
503×497=
;1.02×0.98=
.
【解析】503×497=(500+3)(500-3)=5002-32
=250000-9=249991;
1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996.
【自主解答】(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12 =9x2-1. (2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a) =(-2b)2-a2 =4b2-a2.
【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法
知识点 2 平方差公式的简单应用 【例2】计算:1003×997. 【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把 997看成哪两个数的差? 提示:设两个数中较小的为x,则较大的为1003-x. 所以1003-x-x=997, 解得x=3, 所以1003-x=1003-3=1000.
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选A.原式=20142-(2014-1)(2014+1)
=20142-(20142-12)=20142-20142+1=1.
2.(2013·枣庄中考)若a2-b2= 1 ， a-b= 1 ， 则a+b的值为____.
6
3
【解析】因为a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，
3.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )
A.-x2-y2
B.-x2+y2
C.x2+y2
D.x2-y2
【解析】选B.(x-y)(-y-x)=(-y)2-x2=y2-x2.
所以 a b 1 .
2
a-b=1 ，
3
答案：1
2
3.用简便方法计算:
503×497=
;1.02×0.98=
.
【解析】503×497=(500+3)(500-3)=5002-32
=250000-9=249991;
1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996.
【自主解答】(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12 =9x2-1. (2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a) =(-2b)2-a2 =4b2-a2.
【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法
知识点 2 平方差公式的简单应用 【例2】计算:1003×997. 【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把 997看成哪两个数的差? 提示:设两个数中较小的为x,则较大的为1003-x. 所以1003-x-x=997, 解得x=3, 所以1003-x=1003-3=1000.
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选A.原式=20142-(2014-1)(2014+1)
=20142-(20142-12)=20142-20142+1=1.
2.(2013·枣庄中考)若a2-b2= 1 ， a-b= 1 ， 则a+b的值为____.
6
3
【解析】因为a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，
3.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )
A.-x2-y2
B.-x2+y2
C.x2+y2
D.x2-y2
【解析】选B.(x-y)(-y-x)=(-y)2-x2=y2-x2.
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第2章
七年级数学下（XJ） 教学课件
整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
复习巩固 多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
典例精析 例2 计算: (1) 103×97; 解: 103×97 =(100+3)(100－3) = 1002－32
=10000 – 9 =9991；
(2) 118×122. 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
(a+b)(a-b)
a
=
a2-b2
b
b
三 平方差公式的运用
自主探究 想一想： （1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899 7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请 用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？ (a+b)(a−b)=a2−b2
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)a来自b1x －3 a
a1
0.3x 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 a2－12 ( 0.3x)2－12
典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 =(5y)2－z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
知识要点
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形:
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
讲授新课
一 平方差公式的认识 合作探究 算一算：看谁算得又快又准.
①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 =x2 － 12 ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 =m2－22
课堂小结
内容
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
注意
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝ a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
(2) (a−b)(b−a) ; (不能) (3) (a+2b)(2b+a); (不能) (4) (a−b)(a+b) ; ( 能 ) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能)
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x－2)=x2－2; 不对 改正：x2－4
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 不对 改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)] =－(9a2－4) =－9a2+4; 改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a) =(－2)2－(3a)2 =4－9a2.
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
7.利用平方差公式计算： （1）51×49； （2）13.2×12.8； （3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
解：(1)原式=(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1=2499；
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96.
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a
a2
a
a a2-b2
b
b
a
1 2
(a+b)(a-b)
a
1 2
(a+b)(a-b)
b
b
a
例3 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25.
例4 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋ x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
3.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
4.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32). 5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是__x_=_4__.
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32 =4a2－9；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5). 解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2.
注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b?
练一练 利用平方差公式计算： (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
二 平方差公式的几何验证 合作探究 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪 下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能 表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
（x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15.
导入新课
情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正 方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说： “我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米， 继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?” 张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好 吧．”回到家中，他把这事和 邻居们－讲，大家都说：“张 老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗?
(a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2
平方差公式 相同为a
适当交换
(a+b)(a-b) = a2-b2
合理加括号 相反为b 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等．
练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__. (2)(a－b)(b+a)= ___a_2_－__b_2 __. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b_2_－__a_2__.
七年级数学下（XJ） 教学课件
整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
复习巩固 多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
典例精析 例2 计算: (1) 103×97; 解: 103×97 =(100+3)(100－3) = 1002－32
=10000 – 9 =9991；
(2) 118×122. 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
(a+b)(a-b)
a
=
a2-b2
b
b
三 平方差公式的运用
自主探究 想一想： （1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899 7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请 用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？ (a+b)(a−b)=a2−b2
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)a来自b1x －3 a
a1
0.3x 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 a2－12 ( 0.3x)2－12
典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 =(5y)2－z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
知识要点
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形:
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
讲授新课
一 平方差公式的认识 合作探究 算一算：看谁算得又快又准.
①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 =x2 － 12 ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 =m2－22
课堂小结
内容
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
注意
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过变形才可以应用
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝ a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
(2) (a−b)(b−a) ; (不能) (3) (a+2b)(2b+a); (不能) (4) (a−b)(a+b) ; ( 能 ) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能)
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x－2)=x2－2; 不对 改正：x2－4
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 不对 改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)] =－(9a2－4) =－9a2+4; 改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a) =(－2)2－(3a)2 =4－9a2.
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
7.利用平方差公式计算： （1）51×49； （2）13.2×12.8； （3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
解：(1)原式=(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1=2499；
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96.
(a+b)(a−b)
=
a2−b2
几何验证平方差公式
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a-b (a+b)(a-b)
a
b
b a-b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a
a
a2
a
a a2-b2
b
b
a
1 2
(a+b)(a-b)
a
1 2
(a+b)(a-b)
b
b
a
例3 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25.
例4 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋ x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
3.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
4.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32). 5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是__x_=_4__.
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32 =4a2－9；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5). 解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2.
注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b?
练一练 利用平方差公式计算： (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
二 平方差公式的几何验证 合作探究 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪 下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能 表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
（x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15.
导入新课
情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正 方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说： “我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米， 继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?” 张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好 吧．”回到家中，他把这事和 邻居们－讲，大家都说：“张 老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗?
(a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2
平方差公式 相同为a
适当交换
(a+b)(a-b) = a2-b2
合理加括号 相反为b 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等．
练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__. (2)(a－b)(b+a)= ___a_2_－__b_2 __. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b_2_－__a_2__.