高中数学 椭圆 超经典 知识点+典型例题讲解

学生姓名

性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师

上课时间 2014年12月13日

第（ ）次课 共（ ）次课

课时： 课时

教学课题

椭圆

教学目标

#

教学重点与难点

选修2-1椭圆

知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点

、

的距离之和等于常数(

)，这个动

点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若

，则动点

的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义 １．方程

()()10222

22

2=+++

+-y x y x 化简的结果是

2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是

3.已知椭圆22

169

x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为

;

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：

，其中

；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有

和

；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

；当焦点在

轴上时，椭圆的焦点坐标为，

。

讲练结合二．利用标准方程确定参数

1.若方程25x k -+2

3

y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .

（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .

2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,

"

3．椭圆22

14x y m

+

=的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为

4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

【

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，

方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），

A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长

和短半轴长。

（4）离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而

越小，因

此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。 注意： 椭圆

的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），

，

；

（3）,

，

；

讲练结合四．焦点三角形

1．椭圆22

1925

x y +

=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。 2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少

21F PF ∆的面积的最大值是多少

、

3．设点P 是椭圆

22

12516

x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．

—

4.设F 是椭圆322

x ＋24

2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P

点坐标 最小值 .

知识点四：椭圆

与（a ＞b ＞0）的区别和联系

标准方程

图形

，

性质

焦点 ，

，

焦距

；

范围

， ，

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 ，

，

轴 长轴长=

，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径

，

，