近世代数 第4讲

第 4 讲

§10 等价关系与集合的分类（2课时）

本讲教学目的和要求：周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究。这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。本讲中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类的一般原则——等价关系。

本讲中要求同学们能真正掌握集合的分类与等价关系它们的内在联系和互相转化的过程。

本讲的重点和难点：

（1）“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。

（2）集合上的关系及等价关系(要求能辨别出是否等价关系)

（1）上述两个概念的相互转化问题。

（2）一个重要的实例——模m的剩余类集合。

本讲的教法和教具：本讲中仍采用投影仪辅助教学。在教学过程中，由于其概念较多，内容也颇抽象，则需要耐心、循序渐进，将每个概

念都讲透。

本讲思考题及作业：思考题都穿插安排在教学内容之中，作业置后。

一、集合的分类

例1、设整数集},4,3,2,1,0,1,2,3,4,{ ----=Z ，并令

},34{}

,24{}

,14{}

,4{3210Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A ∈+=∈=∈+=∈=∈+=∈=∈=∈=

可知，)3,2,1,0(=i A i 是整数集Z 的一些子集，并具有以下特征：

（1）)3,2,1,0(=∅≠i A i

（2）j i A A j i ≠∀∅=

（3） 30

3210===i i A A A A A Z

这三条性质说明，整数集Z 恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。

一般的，任取一个正整数m ，都能将Z 分解成m 个两两不相交的非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以m 余数相同的整数组成的。特别地，取2=m 时,Z 则被分解成偶数子集和奇数子集的并。 例2、设{}2,1,;)()(2=∈=j i R a a R M ij ij 是R 上一切二阶矩阵组成的集合，令

{}{}{}2)()()(1)()()(0

)()()(2221

20=∈==∈==∈=ij

ij ij ij ij ij a R M a A a R M a A a R M a A 秩秩秩 易知，)(2R M 的这些子集（三个子集）满足以下特征：

（1）)2,1,0(=∅≠i A i

（2）j i A A j i ≠∀∅=

（3） 20

2102)(===i i A A A A R M

这三条特性说明，二阶矩阵集)(2R M 恰好被分成三个两两不相交的非空子集的并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。

通过以上三个例子，则可概括出集合分类的定义.

定义1、设A 为任一个集合，而Ω是A 的一些子集组成的集合，}{I i A A i ∈⊆=Ω其中I 是指标集，如果

（1）I i A i ∈∅≠

（2）j i I j i A A j i ≠∀∈∅

=且, （3） I

i i A A ∈=

则称Ω是A 的一个分类而Ω中每个元素i A 都叫做A 在Ω下的一个类。

所以，例1中，},,{32101A A A A =Ω就是Z 的一个分类，Z 被分成四类。例2中，},{2102A A A =Ω是二阶方阵集)(2R M 的一个分类，在2Ω下，)(2R M 被分成三个类。

注意：可以看出，对每一个确定的分类Ω来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质，而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。譬如例1中，Z 的分类},,{32101A A A A =Ω使在同一类里的整

数除以4之后余数都相同，而分在不同类里的整数除以4后，得到的余数也必然不同。例2中，)(2R M 在分类},{2102A A A =Ω之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同。

对集合分类具有的三个显著的特性还可以从另一个角度来看，这种看法不仅具有普遍的意义，同时也更便于进行教学的推理论证。譬如，在例1中，Z 在分类},,{32101A A A A =Ω之下，同在一类的任二整数a 与b 都具有这样的关系：a 与b 的差被4整除，不在同一类的任二整数a 与b 必不具有这种关系，即a 与b 的差不被4整除。

诚然，“同类元素都具有同某种关系，不同类的元素一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2。

但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的“某种关系”而得到的。这就是下面要讨论的问题。

二、等价关系

（1）关系：设A 为集合，=D {对，错}，那么A A ⨯到D 的每个映射R 就叫做A 的一个关系.（也称为二元关系）

若对→),(:b a R ，就称a 与b 符合关系R ，记为aRb

若错→),(:b a R ，就称a 与b 不符合关系R ，记为b R a

由上述定义知，A 中任一对元b a ,，都可以判定a 与b 是否符合这个关系。

例3、在Z 中，定义关系b a b a b a R -4,),(b

-a 4,),(:1若错若对

（仔细观察可知：1R 就是例1中的“除以4同余”的关系）

例4、在)(2R M 中，定义b a b a b

a b a R 秩若秩错秩若秩对≠=,),(,),(:2

（实际上，2R 就是例2中的“秩相等”的关系）

例5、在Z 中，定义

b a b a b a b a R ≤>若错若对,),(,),(:3

b a b a b a b a R 若错若对,),(,),(:4 ))

1b),((,),())

1),((,),(:5=≠a b a b a b a b a b a R 即互素与若错即不互素与若对 上例中，3R 就是通常的“大于”关系；4R 就是整除关系；5R 就是不互素关系。

（2）等价关系

有了关系的概念后，现考虑，用集合A 上的一个二元关系R 能否给A 确定一个分类，即由规则：

a 与

b 分在同一个子集aRb ⇔

能否得到A 的满足分类条件的彝族子集？我们可先看看上述的例子。 对于b -a 4:11⇔b aR R 可知1R 能将Z 分类：},,{32101A A A A =Ω.

对于同秩与b a b aR R ⇔22:，可知2R 能将)(2R M 分类：},{2102A A A =Ω.