电动力学一三(电磁场边值关系-电磁场的能量和能流)

其中t表示沿∆ 的切向分量 其中 表示沿∆l的切向分量。通过 表示沿 的切向分量。 回路内的总自由电流为
I f = α f ∆l
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由于回路所围 面积趋于零， 面积趋于零， 而∂D/∂t为有限 ∂ 为有限 量，因而 代入
d v v ∫ D ⋅ dS → 0 dt
v v d v v ∫L H ⋅ dl = I f + dt ∫SD ⋅ dS
v v d v v ∫L H ⋅ dl = I f + dt ∫SD ⋅ dS
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取回路上下边深入到足够多 分子层内部， 分子层内部，使面电流完全 通过回路内部。 通过回路内部。从宏观来说 回路短边的长度仍可看作趋 于零,因而有 于零 因而有
∫
L
v v H ⋅ dl = ( H 2 t − H 1t )∆l
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Dn的跃变式可以较简 单的由麦氏方程组的 积分形式直接得出 在扁平状区域上应用 v v ∫ D ⋅ dS = Q f
S
由于侧面的积分趋于零， 由于侧面的积分趋于零，得
(D2 n − D1n )∆S = σ f ∆S
9
对于磁场B，在边界上 对于磁场 ， 的扁平状区域上应用 积分形式的麦氏方程
v v ∫ B ⋅ dS = 0.
能量守恒的积分形式: 能量守恒的积分形式
−
∫
v v S ⋅ dσ =
∫
v v d f ⋅ vdV + dt
∫ ω dV
V内场的能 内场的能 量增加率
通过界面σ 通过界面σ 流 入V内的能量 内的能量
场对电荷系统 所作的功率
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相应的微分形式: 相应的微分形式
v ∂w v v ∇⋅S + = − f ⋅v ∂t
束缚电荷分布于介质表面上。在 束缚电荷分布于介质表面上。 两介质界面处， 两介质界面处， σf=0 由
ε 0 ( E 2 n − E1 n ) = σ f + σ P
ε0 ε0 得 σ P = ε 0 (E 2 − E1 ) = ε − ε σ f 1 2
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在介质1与下板分界处 在介质 与下板分界处 由 得
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1. 场的能量密度 场的能量密度w(x,t), 它是场内单位 体积的能量。 体积的能量。 2. 场的能流密度 S在数值上等于单 场的能流密度S, 在数值上等于单 位时间垂直流过单位横截面的能 量其方向代表能量传输方向. 量其方向代表能量传输方向
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场和电荷之间,场的一区域与另一 场和电荷之间 场的一区域与另一 区域之间，都有可能发生能量转移。 区域之间，都有可能发生能量转移。 在转移过程中总能量是守恒的。 在转移过程中总能量是守恒的。
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一、法向分量的跃变
麦氏方程组的积分形式为
v v d v v ∫L E ⋅ dl = − dt ∫S B ⋅ dS , v v d v v ∫L H ⋅ dl = I f + dt ∫SD ⋅ dS , v v ∫S D ⋅ dS = Q f , v v ∫ B ⋅ dS = 0.
S
If 为通过曲面 的总自由电 为通过曲面S 流，Qf为闭合曲面内的总自 由电荷。 由电荷。把这组方程应用到 界面上可以得到两侧场量的 关系。 关系。
因此， 因此，我们要用另一种形式 描述界面两侧的场强以及界面上 电荷电流的关系。 电荷电流的关系。
2
介质与真空分界的情形， 图(a): 介质与真空分界的情形，在 外场E 的作用下， 外场 0的作用下，介质界面上产 生面束缚电荷， 生面束缚电荷，这些束缚电荷本 身激发的电场在介质内与E0反向， 身激发的电场在介质内与 反向， 在真空中与E 同向。 在真空中与 0同向。
v v v σ P dS = − (P2 − P1 )⋅ dS
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σP
由此 两式相加
v v v = − n ⋅ (P2 − P1 )
P2 n − P1n = −σ P
n为分界面上由介质 为分界面上由介质1 为分界面上由介质 指向介质2的法线 指向介质 的法线
ε 0 ( E 2 n − E1 n ) = σ f + σ P
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v v ε 0 ∫ E ⋅ dS = Q f + Q P
把总电场的麦氏方程应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。 把总电场的麦氏方程应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。 上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面， 上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面，Qf和Qp分别为 柱体内的总自由电荷和总束缚电荷， 柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面 密度σ 乘以底面积∆ 。当柱体的厚度趋于零时， 密度σf 和σp乘以底面积∆S。当柱体的厚度趋于零时，对侧面 的积分趋于零，对上下底面积分得(E 的积分趋于零，对上下底面积分得 2n−E1n) 。
得
H 2 t − H 1t = α f
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上式可以用矢量形式表示。 为界面上任一线元， 上式可以用矢量形式表示。设∆l为界面上任一线元，t 为界面上任一线元 方向上的单位矢量。 为∆l方向上的单位矢量。 流过了∆l的自由电流为 方向上的单位矢量 流过了∆ 的自由电流为
v v v v v v I f = n × ∆l ⋅ α f = α f × n ⋅ ∆l
S
B1n = B2 n
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二、切向分量的跃变
1 面电流分布 面电荷分布使界面两侧电场 法向分量发生跃变， 法向分量发生跃变，我们可以证 明面电流分布使界面两侧磁场切 向分量生跃变。 向分量生跃变。我们先说明表面 电流分布的概念。 电流分布的概念。 面电流实际上是在靠近 表面的相当多分子层内 电流的平均宏观效应
v v d v v ∫L H ⋅ dl = I f + dt ∫SD ⋅ dS
对于狭长形回路用
得
∫
L
v v v v v v v v H ⋅ dl = (H 2 − H 1 )⋅ ∆l = I f = α f × n ⋅ ∆l
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由于∆ 为界面 由于∆l为界面 上任一矢量， 上任一矢量， 因此
v v v v (H 2 − H 1 )// = α f × n
σ P + σ ′ + σ ′′ = 0 P P
介质整体是电中性的
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第四节 电磁场的能量和能流
1. 场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 能量是按一定的形式分布于场内的，而 能量是按一定的形式分布于场内的， 由于场在运动， 由于场在运动，场能量不是固定地分布于 空间中， 因此， 空间中，而是随着场 在空间中传播 因此， 我们需要引入两个物理量来描述。 我们需要引入两个物理量来描述。
解
由对称性可知电场沿垂直于平 板的方向， 板的方向，把边值关系应用于 下板与介质1界面上 界面上， 下板与介质 界面上，因导体内 场强为零， 场强为零，故得
D1 = σ f
同样， 同样，把边值关系应 用到上板与介质2界面 用到上板与介质 界面 上得
− D 2 = −σ f
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由这两式得
σf σf E1 = , E2 = ε1 ε2
第三节 电磁场边值关系
麦克斯韦方程组可以应用于任何 连续介质内部。在两介质分界面上， 连续介质内部。在两介质分界面上， 由于一般出现面电荷电流分布， 由于一般出现面电荷电流分布，使物 理量发生跃变， 理量发生跃变，微分形式的麦氏方程 组不再适用。 组不再适用。
1
在场作用下， 在场作用下，介质界面上一 般出现面束缚电荷和电流分布， 般出现面束缚电荷和电流分布， 这些电荷电流的存在又使得界面 两侧场量发生跃变。 两侧场量发生跃变。
v v d v v ∫L E ⋅ dl = − dt ∫S B ⋅ dS ,
可得电场切 向分量的边 值关系： 值关系：
v v v n × (E 2 − E 1 ) = 0
此式表示界面两侧E的切向分量连续。 此式表示界面两侧 的切向分量连续。 的切向分量连续
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以后在公式中出现的σ 以后在公式中出现的σ和α, 除特别声 明者外， 明者外，都代表自由电荷面密度和自 由电荷线密度，不再写出角标f。 由电荷线密度，不再写出角标 。总 括我们得到的边值关系为
图(b): 束缚电荷激发 的场子与外场E0叠加 的场子与外场 叠加 后得到总电场。 后得到总电场。两边 的电场E1和E2在界面 的电场 和 在界面 上发生跃变。 上发生跃变。
3
边值关系就是描述两侧场量与界面上 电荷电流的关系。 电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是 面电荷电流激发附加的电磁场， 面电荷电流激发附加的电磁场，而积分形 式的麦氏方程可以应用于任意不连续分布 的电荷电流所激发的场， 的电荷电流所激发的场，因此研究边值关 系的基础是积分形式的麦氏方程组。 系的基础是积分形式的麦氏方程组。
D1n = ε 0 E1n + P1n , D2 n = ε 0 E 2 n + P2 n
利用
D2 n − D1n = σ f
极化矢量的跃 变与束缚电荷 面密度相关， 面密度相关， Dn的跃变与自 由电荷面密度 相关， 相关，En的跃 变与总电荷面 密度相关。 密度相关。
实际上主要应用关于D 实际上主要应用关于 n的边值关系式
v v v n × ( E 2 − E 1 ) = 0, v v r v n × H 2 − H1 = α , v v v n ⋅ (D2 − D2 ) = σ , v v v n ⋅ (B2 − B1 ) = 0.
(
)
v v d v v ∫L E ⋅ dl = − dt ∫S B ⋅ dS , v v d v v ∫L H ⋅ dl = I f + dt ∫SD ⋅ dS , v v ∫S D ⋅ dS = Q f , v v ∫ B ⋅ dS = 0.
//表示投射到界 表示投射到界 面上的矢量
上式再用n矢 上式再用 矢 乘, 注意到
v v v v v v n × (H 2 − H 1 )// = n × (H 2 − H 1 )
v v n ⋅α f = 0
v v v v n × (H 2 − H 1 ) = α f
磁场切向分量 的边值关系
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同理， 同理，应用
S
这组方程和麦氏方程积分式一一对应。 这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关 系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制 约关系，它们实质上是边界上的场方程。 约关系，它们实质上是边界上的场方程。
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无穷大平行板电容器内有两层介质(如图 如图)， 例 无穷大平行板电容器内有两层介质 如图 ，极 板上面电荷密度±σ 求电场和束缚电荷分布。 板上面电荷密度±σf，求电场和束缚电荷分布。
ε 0 ( E 2 n − E1 n ) = σ f + σ P
ε0 σ ′ = −σ f + ε 0 E1 = −σ f 1 − P ε1
ε0 σ ′′ = σ f − ε 0 E 2 = σ f 1 − P ε 2
在介质2与上 在介质 与上 板分界处 容易验证
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定义电流线密度α，其大小等 定义电流线密度α 于垂直通过单位横截线的电流。 于垂直通过单位横截线的电流。 如图界面的一部分， 如图界面的一部分，其上有面 电流，其线密度为α 电流，其线密度为α，∆l为横 为横 截线，垂直流过∆ 段的电流为 截线，垂直流过∆l段的电流为
∆I = α∆l
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2 切向分量的跃变 由于存在面电流， 由于存在面电流，在界面两 侧的磁场强度发生跃变。 侧的磁场强度发生跃变。如 图，在界面两旁取一狭长形 回路，回路的一长边在介质1 回路，回路的一长边在介质 另一长边在介质2中 中，另一长边在介质 中。长 与面电流α 边∆l与面电流α正交。 与面电流 正交。 在狭长形回路上应用麦氏方程
ε 0 ( E 2 n − E1 n ) = σ f + σ P
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通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为 由介质1通过薄层 通过薄层右侧面进入介质 的正电荷为P2⋅dS ，由介质 通过薄层 的正电荷为 左侧进入薄层的正电荷为P 因此， 左侧进入薄层的正电荷为 2⋅dS ，因此，薄层内出现的净余电荷 为−(P2 − P1)⋅dS ，以σP表示束缚电荷面密度，有 ⋅ 表示束缚电荷面密度，
当V→∞ 时 →∞
∫
∞
v v d f ⋅ vdV = − dt
∫ wdV
∞
结论: 结论 场对电荷所做的总功率等于场的总能 量减小率, 因此场和电荷的总能量守恒. 量减小率 因此场和电荷的总能量守恒
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2. 电磁场能量密度和能流密度表达式 由洛伦兹力公式得: 由洛伦兹力公式得 v v v v v v v v v v v v v f ⋅ v = (ρE + ρv × B) ⋅ v = ρv ⋅ E + ρ(v × v ) ⋅ B = J ⋅ E