不等式证明论文完整版
不等式的证明方法论文1413
不等式的证明方法论文不等式的证明方法摘要不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：不等式；证明；方法Methods for Proving InequalityAbstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers.Key words: inequality; proof; method目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2．1 国内外研究状况 (1)2．2 国内外研究评价 (1)2．3 提出问题 (1)3 构造法 (1)3．1 构造几何图形 (1)3．2 构造复数 (2)3．3 构造定比分点 (2)3．4 构造主元，局部固定 (3)3．5 构造概率模型 (3)3．6 构造方差模型 (3)3．7 构造数列 (4)3．8 构造向量 (4)3．9 构造函数 (4)4 换元法 (5)4．1 代数换元 (6)4．2 三角换元 (6)5 放缩法 (6)5．1 添加或舍弃一些正项（或负项） (6)5．2 先放缩再求和（或先求和再放缩） (7)5．3 先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） (7)5．4 放大或缩小因式 (7)5．5 固定一部分项，放缩另外的项 (8)5．6利用基本不等式放缩 (8)6 数学归纳法 (8)7 结论 (9)7．1主要发现 (9)7．2启示 (9)7．3 局限性 (9)7．4 努力方向 (9)参考文献 (10)1引言不等式具有丰富的内涵和突出的地位，并且它与数学理论、现实生活、科学研究有着紧密的联系．加之，不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，有些不等式用一般的方法（如比较法、分析法、综合法）很难证出来，或者是论证过程很冗长，亦或根本证不出来[1]．于是，人们追寻不等式与其它知识的相互联系，构造新颖巧妙的组合，在不同知识体系的交汇处探究问题，逐步提高知识的“整合”能力，把需证明的不等式加以转换，使之以特殊的行之有效的方法得以证明，在此基础上还要注意从不同角度去分析不等式的结构与特征，应用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而使不等式的证明化难为易[10]．探讨不等式证明的不同方法是一项有意义的工作，下文通过典型的例题，揭示了一些不等式证明方法在解题中的应用，旨在进一步拓宽人们证明不等式的能力．2文献综述2．1国内外研究状况国内许多专家、学者研究过不等式的证明方法．在其一般方法（比较法、分析法、综合法）的基础上．早在1987年，闻厚贵就在文[1]编著了不等式证法，该书将不等式的证明方法整理归类．1990年，严镇军在文[2]中编著了不等式，该书归纳了不等式的性质、证明技巧以及应用．1987年，易康畏在文[3]中编著了不等式的图解、证明及演绎，该论著利用图解的形式详细的分析证明了不同的不等式． 2009年，刘美香在文[4]中讨论了构造概率模型证明不等式．2003年，赵会娟、尹洪武在文[5]中研究了不等式证明的几种特殊方法．2004年，李文标在文[6]中浅谈了证明不等式的几种非常规方法；朱胜强在文[7]中探讨了不等式证明的几类非常规方法．2008年余焌瑞在文[8]中研究了构造法在不等式中的运用．2002王廷文、王瑞在文[9]中讨论了构造函数证明不等式．1997年，王廷文在文[10]中总结了构造法证明不等式．2007年，常椒凤在文[11]中讨论了数学解题中的图形构造法；同年，王保国在文[12]中介绍了不等式证明的六种非常规方法；黄俊峰在文[13]中介绍了利用向量的性质证明不等式． 2008年，谭景宝在文[14]中介绍用构造法证明不等式；在文[15]中周燕华就利用转换视角、构造主元证明不等式的方法给出了系统、详尽的举例论证．2008年，耿道永在文[16]中提出了有关不等式的几种新颖构造性证法．2．2国内外研究评价从查到的国内外文献来看，国内外研究者对不等式证明方法介绍了很多，文献[1-17]分别就不等式的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种不等式证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如判别式法、构造函数法在形式上都是根据二次函数的性质来进行分解求解的，因此可以归为构造函数法．所以，有必要重新整理和归纳不等式证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性．2．3提出问题不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．因此在前人研究不等式证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法．3构造法所谓构造法，就是指通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程、或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．3．1构造几何图形有些不等式若是按常规的代数方法证明，则繁难无比．若是能揭去不等式抽象的面纱，恰当地赋予几何意义，并构造出相应的几何图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现，使条件与结论的关系明朗化，就能直观揭露出不等式问题的内在实质，由此获得具体、形象、简洁的证明方法．构造几何图形证明不等式，关键是构造出恰当的几何图形，把不等式由图形来表示出来．常用到 “两点间直线段最短”，“三角形中大边对大角”，“三角形两边之和大于第三边”，“直角三角形斜边大于直角边”等几何知识．例1已知正数111a b c a b c ,,,,,满足条件111a a b b c c k +=+=+=,求证：2111ab bc ca k ++<．2k 看作边长为k 的正方形的面积，从中构分析：如果我们把1ab ，1bc ，1ca 均看作三个矩形的面积，造出前面的这三个矩形．DF a =，1DG AH b ==，AG BH b ==，证明：构造边长为k 的正方形ABCD (如图１)，且令1BE c =，1CF a =，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．2111ab bc ca k ++<．图1 由ABCD S S S S I II III>++，可得利用数形结合解题的关键是理解代数式的几何意义，把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式．因此，对于函数的图象和常见曲线要熟记，以便在应用时，能够得心应手，信手拈来．3．2构造复数复数之间不存在大小关系，但复数的模、实部、虚部作为实数，它们之间是可以比较大小的，因此复数的模、实部、虚部各自或彼此之间存在一系列不等关系．构造复数证明不等式的思路是，根据待证不等式和已知条件构造复数，然后代入复数模的不等式中，再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式．当求证的不等式中出现“平方和的算术根”的形式的时候很容易联想到复数的模．从而可通过构造复数并利用复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-来证明不等式．例2 设a ，b ，c ∈R ，求证：()2222222a b b c c a a b c +++++≥++． 分析：根据求证式的结构特点，联想复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-． 证明：构造复数1Z a bi =+，2Z b ci =+，3Z c ai =+，则221Z a b =+， 222Z b c =+， 223Z c a =+， ()()123Z Z Z a b c b c a i ++=+++++()22a b c a b c =++≥++，而123123Z Z Z Z Z Z ++≥++，所以()2222222a b b c c a a b c +++++≥++．构造复数证明不等式有很大的局限性，只有当不等式出现“平方和算术根”时，我们才考虑构造复数．3．3构造定比分点设1P ，2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P ，2P 的任意一点，则存在一个实数λ使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比．显然，当点P 在线段12PP 上时，λ>0；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时，λ<0．如果这条直线l 就是x 轴，且1P ，P ，2P 在x 轴上的实数分别为1p ，p ，2p (其中12p p <)，则12p p p <<的充要条件是λ>0．这样，我们就可以将证明一个不等式的问题转化为对一个实数的符号的判断问题．例3求证：()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 分析：此题我们通常用判别式法去证．如果设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比λ的值确定内、外分点来证得．证明：设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别对应数轴上的点1P ，P ，2P ，P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则 ()()()()()()()()()()222222234221312321221x x x x x x x x x x λ--++++==--+-++，所以，0λ≥或λ不存在，故点P 不是21P P 的外分点；当0λ>时，()()()()222341221x x x x ---<<++；当0λ=时，()()()()2223221x x x x --=-4++；当λ不存在时，()()()()22231221x x x x --=++． 综上所述，可知 ()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 3．4构造主元，局部固定一些不等式的证明，若从整体上考虑很难入手，则当条件或结论中出现多个变量时，我们可以选取其中一个变量为主元局部固定，抓住这个主元逐一证明不等式．通常是先暂时固定某些变量，而考查个别变量的变化、结果，然后再确定整个问题的结果．例4 设1a ≤，函数()2f x ax x a =+-，求证：当1x ≤时，()54f x ≤． 分析：该问题一般是通过绝对值不等式的几次放缩来证明，但我们若换一个视角，以a 为主元，将题中关于x 的函数看成a 的一次函数，则原命题的陈述方式可改为：一次函数()()21g a x a x =-+的最值不超过54． 证明：设()()21g a x a x =-+，[]1,1a ∈-，[]1,1x ∈-．当210x -=，即1x =±时，()1g a =±．显然()()54f x g a =≤成立． 当210x -≠时，()g a 是a 的一次函数，故只需证明()514g ±≤．因为()22151124g x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤≤，即()11g ≤；而()22151124g x x x ⎛⎫-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤-≤，即()514g -≤．综上所述， ()54g a ≤，即()54f x ≤． 3．5构造概率模型概率论是研究随机现象的一门数学分支，它既有其独特的概念和方法，又与其它学科分支有着密切的联系．因此在解答有关数学问题时，若能依据题设条件构建概率模型，可使这些数学问题简捷巧妙解决．构造概率模型解题，关键在于要找到恰当的概率模型．一旦运用成功，它能从某些方面体现出问题的本质规律和数学的内在美，往往给人以耳目一新的感觉．例5 已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求证：4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 分析：原式即42sin cos 21sin cos x xx x+≥++，由条件知0sin 1x ≤≤，0cos 1x ≤≤．于是只需证2sin cos 1sin cos x x x x +≥++，亦只需证sin cos sin cos 1x x x x +-≤成立，显然利用概率模型来证极为简单．证明：设两独立事件A 和B ，即()sin P A x =，()cos P B x =， 则 ()()()()P A B P A P B P AB +=+-sin cos sin cos 1x x x x =+-≤， 于是 2sin cos 1sin cos x x x x +≥++．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故sin 0x ≥，cos 0x ≥．即得42sin cos 21sin cos x x x x +≥++，所以4sin 2214x x π+≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑利用概率性质()01P A ≤≤及加法公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，或()()()()()()()()P A B c P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+来证．其关键是求证式要符合概率加法公式的基本形式．3．6构造方差模型方差()()()222122n x x x x x xSn-+-++-=(其中x 是n 个数据1x ，2x ，，n x 的平均数)，是用于描述数据波动情况的一个量．方差的表达式可以写成()()222212122n n x x x xx x nS n++++++-=．显然有20S ≥(当且仅当12n x xx x ====时等号成立)．利用方差这一变式，我们可以通过构造方差来解决一类有关n 个实数的和与其平方和之间的关系问题．例6 设352x ≤≤，证明：．(2003年全国高中联赛试题) 证明:设原不等式的左边为u （0u >）22222244u S +++-=()21114044x u⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦，（352x ≤≤） 所以u ≤≤== 故u <,原不等式成立．通过构造方差模型，使得复杂的无理不等式的证证明问题得以简捷解决．3．7构造数列一个不等式有时涉及多个变量．如果能根据题设条件将某些变量看成是数列的项．则可借助数列中项之间的关系来沟通变量间的联系，使问题获解．通过构造等比数列或等差数列．将不等式中出现的多个变量都用公比或公差来表示．实现了化多元为一元．从而简化了不等式证明的难度．有些不等式中含有与自然数有关的变量，这时如果将这一变量看成是某一数列的项数，构造数列，则可结合数列的知识来证明不等式．例7 求证：131212654321+<-⋅⋅n n n ．分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决．跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列．我们来构一个数列{}n a ．证明： 令=n a 132********+⋅-⋅⋅n nn ， 则()()()()431213222221+⋅++⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n a a n n =1419281242028122323>++++++n n n n n n 所以，n n a a >+1，从而有，1121=>>>>--a a a a n n n ．因此原不等式得证．3．8构造向量向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点，使得向量成了数形结合的桥梁．对于某些不等式的证明，若能依据不等式的条件和结论，将其转化为向量形式，利用向量和及数量积关系式n m n m⋅≤⋅，往往避免复杂的凑配技巧，使证明过程直观而又容易理解．例8 已知,a b R +∈，1a b +=证明：设()1,1=m，(2n a =+，则2m n a ⋅=+2m =，2n=．由m n m n ⋅≤⋅，得≤构造向量时，要充分考虑待证不等式的结构特征，才能有的放矢．3．9构造函数函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴含着变量之间的不等关系．我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题．如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征．合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行．构造函数证明不等式．其关键在于寻找恰当的函数模型．这往往需要将所证的不等式直接改造成函数关系式，或者将其看成某一函数解析式中的系数满足的关系．来探求函数解析式． 3．9．1构造一次函数由一次函数b kx y +=的图像可知，如果()0f m >,()0f n >，则对一切(,)x m n ∈均有()0f x >．我们将这一性质称为一次函数的保号性．利用一次函数的保号性可以证明一些不等式．例9 已知1a <、1b <、1c <,求证:2abc a b c +>++. 分析：首先将不等式化为20abc a b c +--->并整理得(1)20bc a b c -+-->，可将其看成是关于a 的一次函数式.证明:构造函数()(1)2f x bc x b c =-+--,这里1b <、1c <、1x <,则1bc <. 因为(1)12(1)(1)(1)0f bc b c bc b c -=-+--=-+-+->，(1)12(1)(1)0f bc b c b c =-+--=-->，所以,一次函数()(1)2f x bc x b c =-+--,当(1,1)x ∈-时,图象在x 轴的上方.这就是说,当1a <、1b <、1c <时,有(1)20bc a b c -+-->,即2abc a b c +>++.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零;⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式()0f x >;⑶根据x 的取值范围(,)m n ,确定()f m 与()f n 的符号,确定当(,)x m n ∈时()f x 的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果. 3．9．2构造二次函数通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程．证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证．),0(x f 2>++=a c bx ax ）（设二次函数则02≥++c bx ax 恒成立的充要条件是，0ac 4-b 2≤=∆，根据这一等价关系，我们可以将关于其中一个不等式的证明转化为对另一个不等式的证明．例10 若b a 10<<，求证：112+<-a b b . 分析：结论即0112>++-a b b ，可将左式看成是以b 为主元的二次函数（其中a a 10<<），再予以证明. 证明：令x b =，由b a 10<<，得)1,0(a b x ∈=.构造二次函数)1,0(,11)(2a x a x x x f ∈++-=.其对称轴为21=x . ⑴当211≤a ，即2≥a 时，f(x)在(0，a1)上单调递减.于是 ）（x f >）（a 1f =)1(1111122+=++-a a a a a >0⑵当211>a ，即20<<a 时， 有 041-11)21()(>+=〉a f x f 综上，当)1,0(a x ∈时，011)(2>++-=a x x x f 恒成立,即不等式112+<-a b b 成立.4换元法通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法．换元法多用于条件不等式的证明，换元法分为代数换元和三角换元．此法证明不等式的一般步骤是：(1)认真分析不等式，合理换元；(2)证明换元后的不等式；(3)得证后，导出原不等式．4．1代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，把冗长而又复杂的不等式化为简单明了的代数式，则可简洁明快的解决问题．例11 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式． 证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾),因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥4．2三角换元三角换元除了要正确换元外，还要熟练掌握三角函数的诱导公式以及三角函数的有界性等必要知识．对于含有根式的不等式或带有绝对值符号的不等式，可用三角换元法．把问题变成了熟悉的求三角函数值域．为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要．如变量x 、y 适合条件）（0r r y x 222>=+时，则可作三角代换θrcos x =、θrsin y =化为三角问题．例12 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r . 证明:设,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r , 则222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤.5放缩法在不等式证明中，经常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项变小（大），或在分式中利用放大或缩小分式的分子、分母，从而达到证明的目的．这种证明不等式的方法称之为放缩法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法．5．1添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．例13 已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a an n N a a a +-<+++∈证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 本题在放缩时就舍去了22k -，使分式值变小，从而使和式得到化简．5．2先放缩再求和（或先求和再放缩）若分子, 分母同时存在变量, 要设法使其中之一变为常量．分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．具体可根据题目特征，选择先放缩再求和（或先求和再放缩）．例14 函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+． 分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和． 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .评注：本题通过左边的合理变形和放缩，最终和右边式子的结构特征一致，轻松得到了所证结果．5．3先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）若不等式证明中涉及较复杂的分式，可根据题目特征，对分式作适当的放缩，以便于裂项化简分式（或先裂项再放缩），达到证明目的．例15 已知a n =n ，求证：∑n k=1 k a 2k＜3． 证明：∑nk=12ka =∑nk=1＜1＋∑nk=21(k －1)k (k ＋1)＜１＋∑nk=22(k －1)(k ＋1) ( k ＋1 ＋k －1 ) =1nk =+=1＋ ∑n k=2 (1(k －1) －1(k ＋1)) =1＋1＋2－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．评注：本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．5．4放大或缩小因式若因式中存在变量时，可以选择适当放缩使其中一部分变为常量，具体可根据题目特征选择放大或缩小因式．例16 已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32nk k k k a a a ++=-<∑证明22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤=∴=≤≤2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 1211111111()()().161632nn k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑评注：本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11()nk k k a a +=-∑，最终得出证明．例17 设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 212)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n评注：本题利用212n n +<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的． 5．5固定一部分项，放缩另外的项一些不等式的证明，如若从整体考虑很难入手，通常可以先暂时固定某些项，而通过放缩个别项来达到化简和证明的目的． 例18 求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 评注：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．5．6利用基本不等式放缩针对一些特殊形式的不等式，我们可以运用基本不等式（例：m n a a +）进行放缩求解．例19 已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.评注：本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.6数学归纳法一个与自然数n 有关的数学命题，如果：（1）能证明当0k n =（0k 是使命题成立的最小整数）时，命题成立；（2）假设当k n =（0k k ≥的任意正整数）时，命题成立，证明当1k n +=时，命题成立．那么可以断言，这个数学命题对所有自然数n 都成立．这种证明不等式的方法称之为数学归纳法．例20 证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++． 那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k ．这就是说，当n =k +1时，不等式成立．综上所述：由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．评注：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．7结论7．1主要发现不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几大类不等式的证明方法．如若学生在掌握不等式的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法，以其为指导，不等式问题将能够迎刃而解，使得解决不等式问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些非常规不等式时作用很大．7．2 启示从文中可以看出不等式与几何图形、复数、概率、方差、数列、向量、函数有着密切的联系，在处理不等式问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视不等式方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳不等式的新方法．7．3局限性本文把理论和实践相结合，归纳了几类不等式证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多不等式的证明方法，多则不精，广而不深．7．4努力方向不等式的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于不等式的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．。
不等式证明毕业论文
不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。
常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。
二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。
这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。
例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。
接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。
2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。
不等式证明论文
不等式证明论文摘要：不等式是数学中的一个重要课题，揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的应用。
就知识间的内在联系而论，不等式是进一步学习函数、方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的有关知识。
下面就来看一下不等式的证明以及它的简单应用一、不等式的证明问题不等式的证明问题，是中学数学的重点和难点问题，是解决函数最值问题、应用题的常用工具，也是学好其他方面数学知识的基础。
因此，学好、掌握不等式的证明将会给我们以后在处理一些数学问题解决方面带来便捷和帮助。
下面我将就这个问题谈一下自己的体会和心得。
在证明不等式时，应从条件入手，从不同的思维角度去探求多种证明方法，并努力做到举一反三，总结出简捷的解法。
二、不等式的几种证明方法总结以往我们所学的数学知识不难发现不等式的证明方法多种多样，它可以和许多其他的数学内容相结合，如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等。
因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到其他数学知识的技能和技巧，在方法上有比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等等。
问题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证：a4+b4≥18下面我将就上面这个具体的不等式证明问题来简单介绍一下不等式证明证明的几种方法。
1.分析法：就是从寻求使结论成立的充分条件入手，逐步寻求需条件成立的充分条件，直到所需的条件已知正确为止。
证明a4+b4≥18就是证明（a2+b2）2-2a2b2≥18即证明（1-2ab）2-2a2b2≥18即2a2b2-4ab+78≥0也就是证明（ab-74）（ab-14）≥0∵a，b∈R+，a+b=1∴0由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14∴（ab-74）（ab-14）≥0成立∴a4+b4≥182.综合法：就是从已知或证明过的不等式出发根据不等式性质推导出要证明的不等式。
综合法往往是分析法证明的逆过程，表述简单，条理清楚。
证明不等式的方法论文
证明不等式的方法李婷婷摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。
如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。
证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。
证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。
关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。
不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。
希望通过这些方法的学习。
我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。
1不等式概念及基本性质1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。
实数集内的任意两个数b a ,总是可以比较大小的，如果b a -是正数，则b a >;如果b a -是零，则b a =；如果b a -是负数，则b a <。
反过来也对。
即有a ≧b 0≥-⇔b a 这里符号⇔表示等价于。
这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。
许多不等式的证明，是从这个定义出发。
首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。
1.2不等式基本性质1.2.1b a >a b <⇔(对称性)1.2.2若b a >,c b >,则c a >(传递性)1.2.3若b a >,则c b b a +>+(加法保序性)1.2.4若b a >,0>c ，则bc ac >(乘正数保序性)1.2.5若b a >,d c >,则.a c b d +>+若b a >,d c <,d b c a ->-.0>>b a ,0>>d c ,则bd ac >.1.2.6若b a >,0>ab ,则.11b a <1.2.7若0>>b a ,0>>c d ,则.d b c a >1.2.8若0>>b a ,.,N n n n n b a b a n >>∈，则1.2.9若0>>b a ,m ,.,N nm n m n m n m b a b an --<>∈，则 1.2.10含绝对值的不等式 ()()()........4.3.0)2((1)1212222n n a a a a a b a b a b a a x a x a x a a x ba xb a a b x ax a a x a x ++≤++++≤±≤--≤≥⇔≥⇔>≥-≤≤--⇔≤+<<-⇔<⇔≤或1.2.11若，R ,∈b a 则().0,022≥-≥b a a 1.2.12若，+∈R ,b a 则.2ab b a ≥+符号当且仅当b a =时成立。
不等式证明论文完整版
分析左右两边均可写成两部分： ， .
而 ，则 故可证明。
证明
.
即所证不等式成立。
2.5
型如 型不等式，可将 视为数列{ }的前几项和，而 = ,即 为数列 的前几项和。则即 ，应用 = 求出 去与 比较，若有 则有 。
例 5 求证： .
分析这是不等式属典型通项公式法证明。
Key words:Inequality;ElementaryMath;Methodsof proof
引言
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在 1882年-1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
关键词:不等式；初等数学；证明方法
Abstract
The inequalityproofhas always been a difficultpoint inmathematicsteaching inmiddleschool.However, italso plays an important role,and isan indispensable mathematical toolinmathematicsteaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and haveno fixed principle to obey. Therefore,theinequalityprooftakes an important partin the development ofthe students’mathematicalthinking, andlogical thinking.Arage of knowledge includingalgebra, trigonometry, geometry andevery area ofprimarymathematics, there is a strong integrated and diversity. Becausemany elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that highermathematicalienated from the middle-mathmaticals. This paperwillapplythe principlesmethods of mathematics to some elementary mathematical proofandCalculationpurposely.Doing like this:Not only toenlargestudents’range of knowledge, but also enable students torealize that using theprinciples ofadvanced Mathematicsto solveElementary Math problemsjust like doing a familiar job with ease.Therefore, this paperwillusea variety of knowledgesuch as: 1Inequality out the basic method; 2.Inequalityout special methods; 3. Using advanced mathematicsfrom different aspects to analysis some example to gain some methodsof the inequality proof.
毕业论文完整论文【范本模板】
新疆财经大学本科毕业论文题目 : 微分和积分在不等式中的应用学号： 2005101412 学生姓名：阿卜杜瓦哈普·阿卜杜热西提院部：应用数学学院专业：应用数学年级：数学06-2班指导教师姓名职称：阿孜古丽·伊克木（讲师）完成日期：年月日摘要微积分和不等式都是数学中极为重要的内容,本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后,利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最)值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探讨不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用．微积分是数学中的重要组成部分,是研究函数的性质，证明不等式,探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具．微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙.微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用。
不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键．本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，利用微积分证明不等式的基本思想和基本方法，提出了运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单的思路．．关键词：微积分；不等式;微分中值定理；泰勒公式;函数的单调性；极（最)值的判定法;目录前言 (1)第一章微积分 (2)§1微积分的发展 (2)§2微积分的概念 (3)第二章不等式 (7)§1不等式的定义和性质 (7)§2常用的证明不等式的方法 (8)第三章微积分在不等式中的应用 (12)§1利用微分证明不等式 (12)§2利用积分证明不等式 (19)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)前言在高等数学中常常要证明一些不等式.而不等式的证明方法很多，在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识，这是普遍应用的一种方法。
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。
Cauchy不等式论文完整版
学科分类号0701本科生毕业论文(设计)题目（中文）： Cauchy不等式及其推广和应用（英文）：The extensions and applications of theCauchy inequality学生姓名：李文伟学号： 0609401023系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：曾岳生教授起止日期： 2009.12-2010.052010年 5 月 1 日怀化学院本科毕业论文（设计）诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议.除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果.对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明.本声明的法律结果由作者承担.本科毕业论文（设计）作者签名：年月日目录摘要..............................................................................................错误！未定义书签。
关键词..........................................................................................错误！未定义书签。
Abstract ........................................................................................错误！未定义书签。
Key words ....................................................................................错误！未定义书签。
1 前言 (2)2 Cauchy不等式的证明 (3)2.1 n维实空间n R中的Cauchy不等式 (3)2.2 2()l R空间中的Cauchy不等式 (6)2.3 Riemann积分中的Cauchy不等式 (7)2.4 在概率空间(,,)F P中的Cauchy不等式 (8)2.5 内积空间中的Cauchy不等式 (10)2.6 复数形式的Cauchy不等式 (12)3 Cauchy不等式的推广 (13)3.1 Cauchy不等式的指数形式 (13)3.2 Cauchy不等式积分形式 (14)3.3 Cauchy不等式矩阵形式 (15)4 Cauchy不等式的应用 (16)4.1 Cauchy不等式在初等数学中的应用 (17)4.1.1 在代数中的应用 (17)4.1.2 用Cauchy不等式求最值 (19)4.1.3 在平面几何中的应用 (20)4.1.4 在平面解析几何中的应用 (20)4.2 Cauchy不等式在最小二乘法中的应用 (21)4.2.1 在求直线回归方程系数中的应用 (21)4.2.2 在判断极值存在中的应用 (22)4.3 Cauchy不等式在标志变异指标中的运用 (23)4.4 Cauchy不等式在概率论中的应用 (24)参考文献 (25)致谢 (27)Cauchy不等式及其推广和应用摘要Cauchy不等式是数学中常见的不等式之一，也是不等式理论中的基本内容之一.本文归纳了Cauchy不等式基本形式的多种证明方法，阐述和证明了Cauchy 不等式的其他形式，如：Cauchy不等式的无穷形式，积分形式，复数形式以及在概率空间和内积空间的形式.此外本文还对Cauchy不等式的推广做了较系统的综述.并说明了Cauchy不等式在初等数学和高等数学中的应用.关键词Cauchy不等式；Riemann积分;级数；Heimite阵The Extensions and Applications of the Cauchy InequalityAbstractCauchy inequality, a common inequality in mathematics ,is one of basic contents in the theory of inequality. The paper has induced various methods to prove the basic form of Cauchy inequality. It also has expounded and proved others forms of Cauchy inequality. In addition, the paper has systematically summerized same wasys to popularize the inequality and has explained the application of Cauchy inequality in basical mathematics and advanced mathematics.Key wordsCauchy inequality; Riemann integral; Series; Heimite matrix1 前言Cauchy不等式是数学中重要不等式,也是不等式理论中重要内容之一[1,2].Cauchy不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“留数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.近年来，Cauchy不等式一直受到广泛的关注，不少作者对Cauchy 不等式进行了较深入的研究与推广.本文主要是综合归纳相关成果. 文献[36]-给出论述了Cauchy不等式的不同形式的证明，如实空间，()2l R空间，Riemann积分，概率空间，内积空间，复数形式；不少作者还对Cauchy不等式进行了不同形式的推广，文献[8]将Cauchy不等式推广到指数与积分形式;文献[9]将Cauchy不等式推广到矩阵形式.除此之外，近年来，不少作者还对Cauchy不等式的应用还有深入的研究，极大丰富了Cauchy不等式的内容，文献[1012,16]-拓广了Cauchy 不等式的应用，本文主要总结了Cauchy不等式在初等数学和高等数学中的一些应用. 在初等数学中的应用主要包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题；在高等数学中主要介绍了在数理统计方面的应用（如在最小二乘法，标志变异指标中的应用）和在概率论中的应用.Cauchy 不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式，对解题时起了举足轻重的作用.它将两数列中各项积的和与和的积巧妙的结合在一起，使许多问题得到了简化.对Cauchy 不等式的研究为我们今后能够更好的学习数学有很大的意义.2 Cauchy 不等式的证明Cauchy 不等式是一个很重要的不等式，其主要形式分为以下6种。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
不等式毕业论文
不等式毕业论文不等式毕业论文引言：在数学中，不等式是一种重要的数学关系，它描述了变量之间的大小关系。
不等式在数学的各个领域中都有广泛的应用，例如代数、几何、概率统计等。
本篇论文将探讨不等式的基本概念、性质以及应用，以期帮助读者深入理解不等式的重要性和实用性。
一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它使用不等号（<、≤、>、≥）来表示变量之间的大小关系。
不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
线性不等式是指不等式中的变量的最高次数为1的情况，而非线性不等式则是指变量的最高次数大于1的情况。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这是不等式的基本性质，也是我们在日常生活中常常使用的逻辑推理。
2. 加法性：如果a>b，则a+c>b+c。
不等式的加法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时加上（或减去）同一个数。
3. 乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc。
不等式的乘法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时乘以一个正数。
三、不等式的应用1. 经济学中的应用：不等式在经济学中有着重要的应用，例如在供需分析中，我们可以利用不等式来描述市场的平衡状态。
2. 几何学中的应用：不等式在几何学中也有着广泛的应用，例如在三角形的边长关系中，我们可以利用不等式来判断三角形的类型。
3. 概率统计学中的应用：不等式在概率统计学中也有着重要的应用，例如在概率分布的推导过程中，我们可以利用不等式来估计概率的上下界。
四、常见的不等式1. 柯西-施瓦茨不等式：柯西-施瓦茨不等式是数学中的一条重要不等式，它描述了内积空间中两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
柯西-施瓦茨不等式在线性代数、概率统计等领域中有着广泛的应用。
2. 马尔可夫不等式：马尔可夫不等式是概率论中的一条基本不等式，它描述了一个非负随机变量的上界估计。
不等式的证明方法论文
1.1 不等式的概念
不等式的定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.
1.2 实数运算的性质（符号法则）
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
1.3 不等式的性质
（14）可乘性： ，
.
第二章 证明不等式的常用方法
关键词：不等式；中值定理；证明
A Lot of Methods about Inequality Proof
YANGJia-cheng
(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science,Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404100 )
（乱序积和）
（顺序积和）
其中 是 的一个排列，即
倒序积和≤乱序积和≤顺序积和．
例3设 是 个互不相同的自然数，证明：
．
证明：设 是 的一个排列且 ，
因 ，所以由排序不等式，得，
．
又因为 ，故 ，
即 ．
说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.
从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.
②讨论 符号来确定 在指定区间的增减性，
③根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.
其中步骤①是关键，作出适当辅助函数 ，值得注意的是步骤②讨论 符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，若仍旧不能判断，再求三阶导数，重复上述过程.
数学分析中不等式的证明方法与举例论文.doc
分院名称：数学学院学生学号：0907140132长春师范大学本科毕业论文（设计）（理工类）题目：数学分析中不等式的证明方法与举例专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师姓名：指导教师职称：2013年 5 月长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：日期：年月日I目录承诺保证书 (I)前言 (1)1 构造变限积分证明不等式 (1)2 利用函数单调性证明不等式 (2)3 利用微分中值定理证明不等式 (4)4 利用积分中值定理证明不等式 (6)5 利用泰勒公式证明不等式 (8)6 利用函数极值证明不等式 (9)7 利用函数凹凸性证明不等式 (11)8 利用幂级数展开式证明不等式 (12)9 利用著名不等式证明不等式 (13)参考文献 (16)致谢 (17)英文摘要 (18)数学分析中不等式的证明方法与举例摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类.同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.关键字：数学分析不等式证明方法.前言不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用. 在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到1934年, 数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.综上所述, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.1 构造变限积分证明不等式定义：设)(x f 在],[b a 上可积，对任何],[b a x ∈,)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由dtf x xa ⎰=Φ(x ))(，],[b a x ∈，定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可以定义变下限的定积分：dt x f x bx )()(⎰=ψ, ],[b a x ∈,Φ与ψ统称为变限积分.定理：若f 在],[b a 上连续，则其变限积分作为关于x 的函数，在],[b a 上处处可导，且)())(()())((x f dt t f dxd x f dt t f dxd bxx a-==⎰⎰，,更一般的有)()]([)()]([)()()(x h x h f x g x g f dt t f dxd x g x h '-'=⎰.例1.证明柯西不等式 ⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222.证明：构造变上限辅助函数⎰⎰⎰-=uauauadx x g dx x f dx x g x f u )()(])()([)(222ψ.显然)(u ψ在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且⎰⎰⎰--='uau au adx x f u g dx x g u f dx x g x f u g u f )()()()()()()()(2(u)2222ψ⎰⎰⎰--=uau au adxu g x f dx x g u f dx x g x f u g u f )()()()()()()()(22222⎰+--=ua dxu g x f x g x f u g u f x g u f )]()()()()()(2)()([2222⎰≤--=u adx u g x f x g u f 0)]()()()([2.所以)(u ψ在],[b a 上单调减少，则0)()(=≤a b ψψ，即0)()(])()([)(222≤-=⎰⎰⎰bababadx x g dx x f dx x g x f b ψ.得到⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222.例2. 设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明⎰⎰+≥babax f b a dx x xf )(2)(.证明：构造变上限辅助函数：dx x f t a dx x xf t F ta ta⎰⎰+-=)(2)()(. 显然0)(=a F ，对],[b a t ∈∀，)(2)(21)()(t f ta dx x f t tf t F t a +--='⎰ dx x f t f a t ta ⎰--=)(21)(2 []dx x f t f ta⎰-=)()(21, ),(t a x ∈.因为)(x f 单调递增，则0)(≥'t F ，则)(t F 单调递增，所以0)()(=≥a F b F ,)(a b ≥.因此⎰⎰+≥bab ax f b a dx x xf )(2)(.2 利用函数单调性证明不等式定理:设函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则有(1) 如果在),(b a 内0)(≥'x f ,那么,函数)(x f 在],[b a 上单调增加. (2) 如果在),(b a 内0)(≤'x f ,那么,函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 例1. 证明不等式：x e x +>1，0≠x .证明： 设,1)(x e x f x --=则1)(-='x e x f ，故当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f 严格递增；当0<x ，0)(<'x f ，)(x f 严格递减.又因为)(x f 在0=x 处连续，则当0≠x 时，0)0()(=>f x f .即01>--x e x .故得证0,1≠+>x x e x .例2. 证明b1b a1a ba 1b a +++≤+++.证明：记()x x x f +=1，则()()011'2>+=x x f ，所以()x xx f +=1单调递增，于是由b a b a +≤+知)()(b a f b a f +≤+.即b1b a1a ba 1b ba 1a ba 1b a ba 1b a +++≤+++++=+++≤+++.3 利用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理: 设函数f 满足如下条件: (1)f 在闭区间],[b a 上连续； (2)f 在开区间),(b a 内可导， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=)()()('ξ.柯西中值定理: 设函数f 和g 满足： (1) 在[,]a b 上都连续； (2) 在(,)a b 内都可导； (3) )(x f '和)(x g '不同时为零；(4) ()()b g a g ≠， 则存在()b a ,∈ξ, 使得)()()()()()(''a g b g a f b f g f --=ξξ. 例1．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明|)(|m ax 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰.证明：令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，由拉格朗日中值定理知))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ.从而],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ.所以M a b dx a x M dx x f dx x f ba ba b a2)()(|)(||)(|2-=-≤≤⎰⎰⎰.例2. 当0>x 时,试证不等式x x xx<+<+)1ln(1. 证明:构造函数)1ln()(x x f +=.则在区间],0[x 上满足拉格朗中值定理,且xx f +='11)(. 故有)0)((1ln )1ln(-'=-+x f x ξ,),0(x ∈ξ.即ξ+=+1)1ln(x x . 又),0(x ∈ξ, 则x x x x x <+=+<+ξ11)1ln(11. 即x x x x<+<+)1ln(1. 例3. 设e a >，20π<<<y x ，求证a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.证明：令t a t f =)(，t t g cos )(=,由题设条件可知，)(),(t g t f 在],[y x )0(y x <<上满足柯西中值定理)()()()()()(''ξξg f y g x g y f x f =--.则)sin(ln cos cos ξξ-=--a a y x a a y x ,20πξ<<<<y x .故ξξsin 1ln )cos (cos aa y x a a x y -=-. 由于 20πξ<<， 1sin 0<<ξ , 则1sin 1>ξ, 故x y a a -a a y x ln )cos (cos ξ->a a y x x ln )cos (cos ->.由此得证a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.4 利用积分中值定理证明不等式积分第一中值定理：若函数f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰≤≤-=bab a a b f dx x f )(),)(()(ξξ.积分第二中值定理：设函数f 在],[b a 上可积，若g 为单调函数，则],[b a ∈∃ξ，使得⎰⎰⎰+=baabdx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ)()()()()()(.例1．设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时，)()(y f x f >），证明对于10<<<βα,有下面的不等式成立⎰⎰≥αβαβα0)()(dx x f dx x f .证明：由积分第一中值定理有⎰≤≤-≤-=βαβξααβααβξ)(),)(())(()(11f f dx x f .αξα)()(20f x f =⎰,)0(2αξ≤≤.从而⎰⎰->≥βαααβααdx x f f dx x f )(1)()(1. 因此可得⎰⎰≥-αβααβ0)()()1(dx x f dx x f .即⎰⎰≥-αβαβαβα0)()()1(dx x f dx x f .又因10<<<βα,所以110<-<βα,故 ⎰⎰≥αβαβα0)()(dx x f dx x f .例2. 设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明dx x f b a dx x xf baba⎰⎰+≥)(2)(.证明：要证该不等式只需证明0)()2(≥+-⎰dx x f ba x ba. 由于)(x f 单调递增，利用积分第二中值定理，则存在],[b a ∈ξ，使⎰⎰⎰+-++-=+-b a ba dx ba xb f dx b a x a f dx x f b a x ξξ)2()()2()()()2( ⎰⎰+--++-=bbadx b a x a f b f dx b a x a f ξ)2()]()([)2()()](22)][()([22ξξ-+---=b ba b a f b f 0)(2)]()([≥---=a b a f b f ξξ.故0)()2(≥+-⎰dx x f ba x ba. 即dx x f b a dx x xf baba⎰⎰+≥)(2)(.5 利用泰勒公式证明不等式定理:若函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数,则对任意给定的x ，],[0b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ,使得:)(x f )(0x f =))((00x x x f -'+200)(!2)(x x x f -''++⋅⋅⋅+10)1()(!)(++-n n x x n f ξ. 例1.设)(x f 在]1,0[存在二阶连续导数，0)1()0(==f f ，并且当)1,0(∈x 时，A x f ≤'')(，求证：)1,0(2)(∈≤'x Ax f ，. 证明:由于()f x 在[0,1]上有二阶连续导函，因此对任何)1,0(0∈x ，利用(1)f 和(0)f 在0x 点的二阶泰勒公式可得,)1(!2)('')1)((')()1(201000x f x x f x f f -+-+=ξ)1,(01x ∈ξ. ,!2)(''))((')()0(202000x f x x f x f f ξ+-+=),0(02x ∈ξ.由(1)(0)f f =可得2012020)1(!2)(''!2)('')('x f x f x f --=ξξ. 又A x f ≤'')(,所以 20200)1(2)('x x A x f -+≤. 而)1,0(0∈x 时,1)1(2020≤-+x x ，故2)(0A x f ≤'. 又由0x 的任意性知)1,0(2)(∈≤'x Ax f ， 例2．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba -≤+--⎰. 证明：将)(x f 在20ba x +=处泰勒展开 2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ，],[b a ∈ξ.两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(，得⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ.从而得⎰⎰+-''=+babadx b a x f b a f dx x f 2)2)((21)2(a)-(b -)(ξ dx b a x Mba2)2(2⎰+-≤24)(3a b M -=.6 利用函数极值证明不等式极值的第一充分条件：设f 在点0x 连续，在某邻域()δ;00x U 内可导.(1)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在点0x 取得极小值.(2)若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ，则f 在点0x 取得极大值.极值的第二充分条件：设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f .(1)若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值. (2)若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值. 例1.证明：当0≥x ，n 为自然数时，)32)(22(1sin )(202++≤-⎰n n tdt t t n x.证明：构造辅助函数tdt t t x f n x202sin )()(⎰-=.则x x x x f n 22sin )()(-='.当10≤≤x 时，0)(≥'x f ,当1>x 时，除()⋯==,3,2,1k k x π时0)(='x f 外，均有0)(<'x f ，故)(x f 在10≤≤x 时单调递增，在1≥x 时单调递减，因此)(x f 在[)+∞,0上取最大值)1(f .于是有tdt t t f x f n 212sin )()1()(⎰-=≤dt t t t n 212)(⎰-≤⎰++-=12212)(dt t t n n321221+-+=n n )32)(22(1++=n n .例2. 设1>p ,求证：]1,0[∈∀x ，都有不等式1)1(211≤-+≤-p p p x x .证明: 令p p x x x F )1()(-+=. 有)(x F '=])1([)1()1(1111------=--+p p p p x x p x p px .令0)(=x F ，则21=x . 而22)1)(1()1()(----+-=''p p x p p x p p x F .又因为1>p , 故0])21()21)[(1()21(22>+-=''--p p p p F .故)(x F 在21=x 处取得极小值，又因为1)0()1(==F F ,121)21(-=P F .所以)(x F 在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为121-P .因此1)1(211≤++≤-p p p p x .7 利用函数凹凸性证明不等式定义:设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x ，和任 实数()1,0∈λ总有()()()()()2121-1-1x f x f x x f λλλλ+≤+, 则称f 为I 上的凸函数.反之，如果总有()()()()()2121-1-1x f x f x x f λλλλ+≥+, 则称f 为I 上的凹函数.定理:设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要条件是0)(≥''x f （()0≤''x f ），I x ∈.例1.证明:y y x x yx y x ln ln )2ln()(+<++ ),0,0(y x y x ≠>>. 证明: 构造函数x x x f ln )(=，)0(>x ，这时,01)(>=''xx f ,所以)(x f 在(0,+∞)上是凸函数.所以,y x y x ≠>>,0,0时，有)2(y x f +≤2)()(y f x f +. 即)2ln(2y x y x ++≤2ln ln yy x x +. 故y y x x yx y x ln ln )2ln()(+<++),0,0(y x y x ≠>>. 例2：（著名的均值不等式）设),,2,1(n i R a i ⋯=∈+求证：na a a a a a nn n+⋯+≤⋯2121. 证明：设)0(ln )(>=x x x f ,则01)(2<-=''xx f .所以()ln f x x =在),0(+∞上为凹函数，则由凹函数性质可知na a a n a a a n n +⋯++≤+⋯++2121ln ln ln ln .即na a a a a a nnn +⋯++≤⋯21121ln)ln(. 即na a a a a a nn n+⋯+≤⋯2121.8 利用幂级数展开式证明不等式证明方法:根据几个重要的初等函数的幂级数展开式，如下：),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ； ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n ； ),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n ； )1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x nx x x x x nn ． 例1.当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式，有： )1,0(,2221)1)(1(1122∈+++++=++++++=-+x x x x x x x x x xn n)1,0(,!2!2221222∈+++++=x x n x x enn x．则不等式左边的一般项为nx 2，右边的一般项为!2n x n n ，而当3≥n 时!22n n>，所以，)1,0(,112∈>-+x e xxx .9 利用著名不等式证明不等式柯西不等式：设i i b a ,为任意实数（n i ,,1⋯=）则∑∑∑===⋅≤ni i n i i n i i i b a b a 121221)(，其中当且仅当i i b a ,成比例时等号才成立.施瓦兹不等式：若）在（b a x g x f ,)(),(上可积，则⎰⎰⎰⋅≤⋅bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((222．若）在（b a x g x f ,)(),(上连续，其中当且仅当存在常数βα,使得)()(x g x f βα=时等号才成立（βα,不同时为零）.詹森不等式：若f 为],[b a 上凸函数，则对任意],[b a x i ∈，0>i λ),,2,1(n i ⋯=，11=∑=ni i λ，有∑∑==≤ni i i n i i i x f x f 11)()(λλ.例1.设R a i ∈，1=i ，2，…，n ．求证：2112)(1∑∑==≥ni i ni ia n a ．证明 ：由柯西不等式∑∑∑∑∑======≤⨯=ni i ni ni i ni i ni i a n a a a 121212121)1()()1()(．两边同时除以n 即得证．例2. 已知0)(≥x f ，在],[b a 上连续，k dx x f ba ,1)(=⎰为任意实数，求证1)sin )(()cos )((22≤+⎰⎰kxdx x f kxdx x f baba.证明:所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式22)cos )(()()cos )((）（dx kx x f x f kx x f b aba ⋅⋅=⎰⎰dx kx x f dx x f bab a⎰⎰⋅⋅≤2cos )()(()kxdx x f ba2cos ⋅=⎰.同理可得dx kx x f dx kx x f baba⎰⎰≤22sin )()sin )((.两式相加得⎰⎰⎰⎰+=+babababakxdx dx kx x f kxdx x f kxdx x f 2222sin cos )()sin )(()cos )((⎰==badx x f 1)(.即得证.例3. 证明不等式,)(3c b a c b a c b a abc ≤++ 其中c b a ,,均为正数.证明：设)0(,ln )(>=x x x x f .则11)(>=''xx f . xx f x x f 1)(,1ln )(=''+=' 故x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数.依詹森不等式有))()()((31)3(c f b f a f c b a f ++≤++. 从而)ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++. 即c b a cb ac b a c b a ≤++++)3(. 又因33cb a abc ++≤,所以 c b a cb ac b a c b a c b a abc ≤++≤++++)3()(3. 即.)(3c b a c b a c b a abc ≤++参考文献：[1] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.[2] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[3] 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4] 钱吉林等主编. 数学分析题解精粹.[M] 武汉：崇文书局，2011.[5] 蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2009，25(9).[6] 贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报[J].2007，10(1).[7] 王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志[J].2008.12(1).致谢毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了很多专业知识，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此论文结束之际，向所有帮助过我的人表示我最诚挚的敬意和感谢.本论文是在付老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的.所以,首先要感谢我的指导老师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同时，还要感谢我的同学,他们给我提供了很多有价值的材料和宝贵意见，所以我的论文才得以顺利完成.总之，衷心地感谢所有帮助过我的人！长春师范大学本科毕业论文（设计）THE PROOF METHODS AND EXAMPLES OF INEQUALITYOF MATHEMATICAL ANALYSISAbstract Inequality is a very important tool in mathematical analysis. At the same time it is one of the main problems in the mathematical analysis study.But the methods are various. So the systemic classification and summary for the proof methods of inequality still has great practical significance.This paper first simply introduces the background of inequality ,then mainly discusses the different proof methods of inequalities , and classifies the different proof methods.At the same time summarizes various skills in the inequality problem-solving by demonstrating some typical examples. It makes a better summary to master the method to prove inequality in mathematical analysis , ultimately achieve the purpose of flexible application.Key words Mathematical analysis; Inequation ;Method.18。
不等式的证明方法-毕业论文
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文不等式的证明方法Method to prove in equality姓名： ________________________学号：200907010059学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：____________________完成时间：____不等式的证明方法【摘要】不等式证明在数学中有着举足轻重的作用和地位，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，是数学内容的重要组成部分，在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容。
在本论文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等•在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等•从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明•通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
【关键词】不等式比较法数学归纳法函数Method to prove inequality*******【Abstract] That in equalities in mathematics was very importa nt role and status and is evaluated, reas oning, mathematical way of thi nking is importa nt to in filtrate into the subject is math content of the importa nt comp onent of the in equalities in the process n eeds to be used in many mathematical thought, with many importa nt mathematical conten。
不等式论文50篇
重庆 ·39·
活用均值不等式巧解数学题
(贵州省铜仁市坝黄中学 554307) 杨昌米 胡银萍
平均值不等式是高中数学的重要内容, 熟 练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用, 可以巧妙地解决许多数学题.
1 证明不等式
<
1 4
,
即证
an 2
an
2
<
1 4
,即
证 an < 4 ,由 1) 知此结论显然成立 , 所以 an+ 1
-
2<
1 4
( an
-
2) .
例 2 已知数列{ xn } 满足
xn
=
3 8
+
1 2
x n- 1 2 ( n > 1)
, x1
=
3 8
.
1) 求证 :0
<
xn
<
1 2
;
2) 证明 : x n - 1 < x n ( n > 1) ;
1+
1 k2
(x 2
-
x 1) =
x 2 - x 1 = k (x 3 - x 2) ,
1 + k2 (x 3
1 k
+
2x 2 =
k (k -
2x 2) ,
k2 -
1 k
=
(2k +
2) x 2 ≥ 0, k 2 ≥ 1, k ≥ 1.
且有 x 2 =
k3 2k (k +
1 1)
,
正方形边长为
(k2 + 1) (x 3 - x 2) =
积分不等式证明论文
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文关于积分不等式的几种证明方法On Several Methods Of Integral InequalityProof姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：2009年04月12日关于积分不等式的几种证明方法【摘要】积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，积分不等式的形式各异，所以其证明方法也多种多样.积分不等式包括定积分不等式和重积分不等式.本文主要研究了定积分不等式的几种证明方法，如：利用最大最小值法，利用函数的单调性，利用中值定理，泰勒公式法，定义法，凸函数法等.并且针对每种证明方法采用一定的例题来总结它们各自的证明思路以及解题技巧.本文还介绍了采用重积分的估值定理来证明重积分不等式.【关键词】积分不等式定积分重积分中值定理On Several Methods Of Integral Inequality Proof【Abstract】Integral inequality is one important inequality in the study of calculus, and the form of inequality is various, so the proven methods are various. Integral inequality include the integral inequality and re-integral inequality. This paper mainly study on several methods of the definite integral inequality proof, such as using the maximum and minimum to prove, using the monotonicity of function, using mean value theorem, using Taylor's formula, using the definition, using convex function. And prove that for each method used to sum up some sample questions proof of their ideas and problem-solving skills. This article also describes the use of re-valuation of integral theorem to prove that multiple integral inequality.【Key Words】Integral inequality Definite integral Multiple integralThe theorem of median目录1引言 (1)2定积分不等式的证明方法 (1)2.1最大最小值法 (1)2.2利用函数的单调性定理 (2)2.3利用中值定理 (4)2.3.1利用积分中值定理 (4)2.3.2利用微分中值定理 (4)2.3.3利用柯西中值定理 (5)2.4变量变换法 (6)2.5 Newton-Leibniz公式法 (7)2.6泰勒公式法 (7)2.7二重积分法 (8)2.8定积分的定义法 (10)2.9判别式法 (10)2.10 应用柯西积分不等式 (11)2.11 利用函数的凸性 (12)3 重积分不等式的证明方法 (12)4 小结 (13)参考文献 (15)1 引言积分理论是微积分学的一个重要内容,积分不等式的证明是常见问题,它在高等数学中起到重要的作用,在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及,这就使得积分不等式的问题在数学考试中显得尤为重要，并且积分不等式也是数学考研考试的热点之一.积分不等式的学习对发展我们的数学思维能力,培养逻辑思维能力起着非常重要的作用.积分不等式的证明同大多数高难度数学问题一样,没有固定的模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强.因此很多学生在学习过程中经常难以把握证明的思想方法.为此，本文介绍了几种证明方法.积分不等式包括定积分不等式和重积分不等式.本文主要研究了定积分不等式的几种证明方法，如:利用最大最小值法,利用函数的单调性,利用中值定理,泰勒公式法,定义法,凸函数法等,并且针对每种证明方法采用一定的例题来总结它们各自的证明思路以及解题技巧.本文还介绍了采用重积分的估值定理来证明重积分不等式.通过本文的介绍对掌握微积分学的一些重要结果应该是有益的，希望对微积分的学习有所帮助.下面假定各定理和性质中所用的定积分和重积分都存在,介绍积分不等式的一些证明方法.2 定积分不等式的证明方法定积分不等式是积分学中一大基本问题,其证明方法有很多种,下面就介绍了定积分不等式的一些证明方法.2.1最大值最小值法【定理】]4[ 若)(x f 在[a,b]上最小值m ，最大值M 已知，则有m(b-a)≤dx x f ba ⎰)(≤M(b-a).例1 证明 21≤dx x x⎰24sin ππ≤22. 证明：设)(x f =x x sin ,x ∈[4π,2π].因为)(x f ' =)'sin (xx=x x cos (1-x x tan )，考虑到当 x ∈[4π,2π]时，x x tan <(利用单位圆法)，即x xta n >1.于是)('x f <0，所以)(x f =x x sin 在[4π,2π]内单调递减，则)2(πf ≤x x sin ≤)4(πf （对任意的x ∈[4π,2π]），即π2≤x x sin ≤π22. 所以π2（2π-4π）≤dx x x ⎰24sin ππ≤π22（2π-4π），即21≤dxx x ⎰24sin ππ≤22.证毕. 说明：对于以上这种证明一个定积分介于两个实数之间或与一个常数间（即形如A ⎰≤≤baB dx x f )( ,A 、B 为常数）的不等式证明一般都可先用这种最大最小值法，也就是先考虑A 、B 是否为被积函数)(x f 在某区间上的最值.利用最大最小值法证明积分不等式的一般思路为：（1）对被积函数)(x f 求导以确定)(x f 在被积区间[a,b]上的单调性，从而求得)(x f 的最大值M,最小值m.（2）由（1）得m ≤)(x f ≤M,x ∈[a,b],对此不等式进行积分得⎰⎰⎰≤≤b abab aMdx dx x f mdx )(，即可证得A ≤≤⎰dx x f ba)( B.在求被积函数的最值时要注意：（1）若)(x f 在[a,b]上连续，且)('x f 在(a,b)内非负（或非正），即)(x f 单调 递增（或单调递减），则)(a f 为最小（大）值，而)(b f 为最大（小）值. （2）若)(x f 在某个区间内可导且只有唯一一个此区间上的数0x ，使得 )(0x f =0 , 则当)(0x f 是极大（小）值时，它就是)(x f 在该区间上的最大（小）值.2.2 利用函数的单调性定理【定理】设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在区间I 上单调递增（单调递减）的充要条件是)('x f ≥0()('x f ≤0).例2 设)(x f 在[a,b]上连续，且单调增加，求证dx x f b a dx x xf ba ba ⎰⎰+≥)(2)(. 分析：以上不等式中含两个参数a 和b ，可以固定a ，引入函数⎰⎰+-=xa x a dt t f x a dt t tf x F )(2)()(,利用)(x F 的导数研究)(x F 的性态证明不等式. 证明：考虑辅助函数)(x F =⎰⎰+-xa xa dt t f x a dt t tf )(2)( 则)(x F '=x )(x f -)(2)(21x f x a dt t f xa+-⎰ =⎰--xadt t f x f a x )(21)(2≥0)(2)(2=---x f ax x f a x ))((单调递增x f , 又0)(=a F ,所以)(x F ≥0,x ∈],[b a ，故)(b F ≥0 ,即原不等式成立.证毕.例3 设)(x f 在[0,+∞]上连续且单调增，试证明对任意的0>>a b ,皆有])()([21)(00dx x f a dx x f b dx x xf a bb a ⎰⎰⎰-≥. 证明：（方法一）令)(x F =])()([21)(00⎰⎰⎰--a x x a dt t f a dt t f x dt t tf则)(x F '=⎰--xdt t f x xf x xf 0)(21)(21)(21≥[)()(x xf x xf -]=0 (a x ≥)又0)(=a F ，所以0)(≥x F ,a x ≥.故)(b F ≥0,即原不等式得证.（方法二） 令)(x F =])()([21)(0⎰⎰⎰--bo x b x dt t f x dt t f b dt t tf=⎰⎰⎰-+bx b dt t f b dt t f x dt t tf 000)(21)(21)( 则)(21)(21)()('0x xf dt t f x xf x F x ++-=⎰=])()([210⎰-x x xf dt t f))()((21x xf x xf -≤=0 （b x ≤）又)(b F =0，所以b x x F ≤≥,0)(. 所以0)(≥a F .即原不等式得证.例4 设函数)(x f 在[0,1]上可微，)0(f =0,1)('0<<x f .证明不等式dx x f dx x f )()(103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡.分析：构造函数dt t f dt t f x F xx )())(()(0320⎰⎰-=，证明]1,0[∈x 时，有0)(≥x F即可.由假设条件,研究)(x F 的性态,显然0)0(=F ,若能证明)(x F 在[0,1]上单调不减，则有0)0()(=≥F x F .证明：令dt t f dt t f x F xx)())(()(032⎰⎰-=，0)0(=F ,又)()())((2)('3x f x f dt t f x F x-=⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰)()(2)(20x f dt t f x f x， 0)0()(]1,0[)(,0)(',0)0(=≥>=f x f x f x f f 上单调增，故在且.1)('<x f 又，)(|)()(')(2)(22002x f t f dt t f t f dt t f xxx==>⎰⎰所以.故0x ≥'）（F ，即)(x F 在[0,1]上单调不减，因此，当时，]1,0[∈x0)0()(=≥F x F .即得所证由0)1(≥F .解题提示：利用函数的单调性证明积分不等式的关键是构造辅助函数)(x F ,判别)(x F 的单调性在高中就已经接触过,一般都采用求导法,有时需要借助与)(''x F 或更高阶导数的符号来判断)('x F 的符号.此外，对所证不等式作适当的变形（如移项等）也可使问题简化.利用函数的单调性证明积分不等式一般先构造辅助函数.辅助函数)(x F 的 一般做法是：将欲证结论中的积分上限（或下限）换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项使不等式的一端为0,则另一端的表达式即为所作的辅助函数)(x F . 利用函数的单调性证明积分不等式的一般步骤如下： （1）作出辅助函数)(x F .（2）求)(x F 的导数)('x F ,判断)('x F 的符号，从而可得到)(x F 的单调性. （3）求)(x F 在积分区间[a,b]的端点的函数值)(a F ,)(b F ，其中必有一个为 “0”或)(a F ,)(b F 有一个符号已知. （4）由（2），（3）命题得证.2.3 利用中值定理2.3.1 利用积分中值定理【积分中值定理】]9[ )(x f 在(a,b)上连续，则至少存在一点ξ∈(a,b), 使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ.例5 设)(x f 为[0,1]上的连续非负单调递减函数，证明对于0<1<<βα,有下列不等式成立 ⎰⎰≥βααβαdx x f dx x f )()(0. 证明：由积分中值定理及)(x f 的单调递减性，有αξααξαα≤≤≥=⎰0),()()(0f f dx x f ， （1） )()()()()(1ααβξαββαf f dx x f -≤-=⎰，βξα≤≤1， （2）因函数)(x f 非负及10<<<βα，由（1）与（2）有⎰⎰-≥≥βαααβααdx x f f dx x f )(1)()(10 由此得⎰⎰≥-αβααβ0)()()1(dx x f dx x f ，两边乘以βα得⎰⎰≥-βααβαβαdx x f dx x f )()()1(0 （3）再由0)(≥x f 及定积分性质有⎰≥αβα00)(dx x f ，所以由（3）式即得⎰⎰≥βααβαdx x f dx x f )()(0.证毕.例6 设)(x f 在[0,1]上连续，且单调非增，求证任意的]1,0[∈α，有⎰⎰≥αα01)()(dx x f dx x f .证明：注意到⎰⎰⎰+=101)()()(ααdx x f dx x f dx x f所以原不等式等价于 ⎰⎰≥-αααα01)()()1(dx x f dx x f利用积分中值定理 )()1()()1(10ξααααf dx x f ⎰-=-，其中0<1ξ<α (1))()1()(21ξααααf dx x f ⎰-=,其中α<2ξ<1 (2)所以1ξ<2ξ，因为)(x f 单调非增，所以)(1ξf ≥)(2ξf . 由（1），（2）得证不等式成立.证毕. 2.3.2 利用拉格朗日中值定理【拉格朗日中值定理】]4[设)(x f 满足下列条件：（i ）在闭区间[a,b]上连续；（ii ）在开区间（a,b ）内可导,则在（a,b ）内至少存在一点)(b a <<ξξ， 使得))((')()()()()('a b f a f b f ab a f b f f -=---=ξξ或.例7 设)(x f 在[0,1]上有连续导数，)0(f =)1(f =0,证明4|)(|10M dx x f ≤⎰， 其中|)('|max ]1,0[x f M =.分析：欲证的结论涉及到函数的积分与导数的上界之间的关系，应考虑到微分中值定理，又条件给出)0(f =)1(f =0，故可将)(x f 分别在区间[0,21]及[21,1]上考虑.当]21,0[∈x 时,x f f x f x f )(')0()()(1ξ=-=,当]1,21[∈x 时，)1)((')1()()(2-=-=x f f x f x f ξ，其中],1,[),,0[21x x ∈∈ξξ再利用积分的性质即可证明.证明：⎰⎰⎰-+-=112121)]1()([)]0()([)(dx f x f dx f x f dx x fdx f x dx xf ⎰⎰-+=12122101)(')1()('ξξ其中121,21021≤≤≤≤≤≤ξξx x .所以 4)1(|)(')1(||)('||)(|1212101212210110M dx x M xdx M dx f x dx xf dx x f =-+≤-+≤⎰⎰⎰⎰⎰ξξ. 所以原不等式得证.说明：该方法一般适用于被积函数)(x f 可导且0)(=a f 或0)(=b f 的情形. 2.3.3 利用柯西中值定理【柯西中值定理】]8[ 设函数)(x f 及)(x F 满足下列条件： （i ）在闭区间[a,b]上连续；（ii ）在开区间(a,b)内可导；（iii ）在开区间(a,b)内)('x F ≠0，则在(a,b)内至少有一点)(b a <<ξξ，使得)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =--.例8 设)(x f 是区间[0,1]上的连续可微函数，且当)1,0(∈x 时,0)0(,1)(0=<'<f x f .证明⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dxx f dx x f . 证明：令20)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dt t f x F ，⎰=x dt t f x G 03)()(. 则0)0()0(==G F 由柯西中值定理，至少存在一点)1,0(∈ξ使得)()()0()1()0()1()1()1(ξξG F G G F F G F ''=--==)0()()(2)(2)()(2)()()(2220002030f f dtt f dt t f f dt t f f dt t f f --==⎰⎰⎰⎰ξξξξξξξ))1,0[),0(()()(2)(2⊂∈'=ξηηηηf f f))1,0(,1)(0(1)(1∈<'<>'=x x f f 因为η 上面倒数第二步在区间上再次用上了柯西中值定理，所以⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dxx f dx x f .证毕. 2.4 变量变换法【定理】]8[ 假设)(x f 在],[b a 上连续，且)(t x ϕ=变换满足：（i ）,)(,)(b a ==βϕαϕ且当t 在]),[](,[αββα或上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化； （ii ）)(t x ϕ=在]),[](,[αββα或上具有连续的导数)(t ϕ'，则有dt t t f dx x f ba)())(()(ϕϕβα'=⎰⎰.例9 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 思路：令dx xxx I ⎰+-=2021sin cos π，则只需证明0≥I .又被积函数分母不为0，只 须估计分子的符号.但x x sin cos -在]2,0[π上变号，为此，将区间分割插入分点4π=x .证明：只需证01sin cos 202≥+-⎰dx x xx π. dx x x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-2424022021sin cos 1sin cos 1sin cos ππππ在第二项积分中，令dt dx t x -=-=则,2π⎰⎰⎰-+-++-=+-402402202)2(1cos sin 1sin cos 1sin cos ππππt t t dx x x x dx x x x 于是dx x xx x ])2(1111)[sin (cos 2240-+-+-=⎰ππ被积函数的第一个因子在]4,0[π上大于等于零，而第二个因子也大于等于零.于是由积分估值定理得知01sin cos 202≥+-⎰dx x xx π，不等式得证. 例10 证明0sin 202>⎰πx .证明：令u x =2，则]sin sin [21sin 21sin 0220202⎰⎰⎰⎰+==πππππdu u u du u u du u u dx x在第二个积分中，令t u +=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰ππππ00202sin sin 21sin dt t t du u u dx x udu u u sin )111(210⎰+-=π当π<<u 0时，0sin )11(>+-u u u π，不等式得证. 被积函数中含有三角函数的积分不等式一般先对定积分进行分部积分，再通过适当的换元，使得分部积分后所得的几个积分式中的上下限一致，从而通过定积分的性质再进行合并，合并后通过对被积函数的性质的分析，最终得到所证结论.2.5 Newton-Leibniz 公式法该方法一般适用于被积函数)(x f 一阶导数可积情形.证明此类积分不等式 的思路为：（1）⎰'=-xcdt t f c f x f )()()(，（2）由定积分性质作不等式的适当放缩. 【Newton-Leibniz 公式】]3[若)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一 个原函数，则)(x f 在[a,b]上可积，且)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.这称为牛顿-莱布 尼茨公式，它也常写成 ⎰=ba ba x F dx x f |)()(. 例11 设)(x f 在[0,1]上有一阶连续导数，证明]1,0[,|))(||)((||)(|10∈'+≤⎰x dt t f t f x f . 证明： 由积分中值定理有：]1,0[|,)(||)(|10∈=⎰ξξf dt t f 因为⎰⎰'+='=-xx dt t f f x f dt t f f x f ξξξξ)()()(,)()()(即，故 )|)(||)(|(|)(||)(||)(|dt t f f dt t f f x f x x ⎰⎰'+'+≤ξξξξ或 ≤|)(|ξf dt t f t f dt t f |])(||)([||)(|1010'+='+⎰⎰. 证毕. 2.6 用泰勒公式证明如果不等式中包含函数本身和它的一阶导数，那么证明这个不等式需要运用拉格朗日中值定理.若不等式中包含函数本身和它的高阶导数，则需要运用函数的带有拉格朗日余项的泰勒公式.（带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）：如果函数)(x f 在包含点0x 的某个区间),(b a 内存在1到n+1阶的导数，则任意的),(b a x ∈，有+-++-''+-'+=n n x x x f n x x x f x x x f x f x f ))((!1))((!21))(()()(00)(200000 10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ ，其中ξ介于0x 与x 之间. 此方法的证明思路为：（1）写出)(x f 的泰勒展开式；（2）由定积分性质作不等式的适当放缩.例12 设函数)(x f 在区间],[b a 上具有2阶连续导函数，0)()(==b f a f . 证明存在dx x f a b f b a b a ⎰-≥'∈)()(4|)(|],,[2ξξ使得.证明：令⎰⎰===b ax a dt t f b F a F dt t f x F )()(,0)()()(，则，0)()(='='b F a F . 由泰勒公式得到 ),2(,)2)((21)2)(()()2(222b b a b a F b a b F b F b a F +∈-''+-'+=+ξξ 两项相减移项得⎰-=''-''b adx x f a b F F )()(4)]()([21221ξξ. 因为|)(|x f '连续，所以它在],[|,)(|max ],[b a f b a ∈'=ξξ上的最大值.则|])(||)([|21|])(||)([|21|)(|2121ξξξξξF F f f f ''+''='+'≥' |])(||)([|2121ξξF F ''-''≥⎰-=b adx x f a b )()(42，不等式得证. 注意：不等式右边暗示我们要设立一个新函数⎰=x a dx x f x F )()(.由)(x F 在 ],[b a 上二阶可导，且0)()(='='b F a F 联想到将)2(b a F +在a 和b 处的泰勒展开. 例13 设)(x f 在区间],[b a 上有二阶导数，|)(|max x f M bx a ''=≤≤，求证 3)(241|)()2()(|a b M a b b a f dx x f b a -≤-+-⎰. 分析：由于不等式中出现了函数)(x f 和它的二阶导数)(x f ''，所以需要将函数)(x f 作泰勒展开.问题是在哪点展开，以及展开成几阶泰勒公式，由于出现了函数)(x f 在点2b a +的值，因此必须在点2b a +展开.另一方面，题目只假定)(x f 二阶可导，所以只能展开成带有拉格朗日余项的一阶泰勒公式.证明：2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ 其中ξ介于2b a +与x 之间（顺便说明，将泰勒公式用于求00型不定式极限时，需 要佩亚诺余项.但是将泰勒公式用于证明积分不等式时泰勒展开必须是拉格朗日余项）.上式两端积分得到dx b a x f a b b a f dx x f b a b a 2)2()(21)()2()(+-''+-+=⎰⎰ξ 由此得到 |)2()(|21|)()2()(|2dx b a x f a b b a f dx x f b a b a +-''=-+-⎰⎰ξ 232)(241|)2(61)2(2a b M b a x M dx b a x M b a b a -=+-=+-≤⎰.证毕. 2.7 二重积分法重积分化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之，定积分的乘积往往又可化为重积分.所以对于蕴含累次积分的定积分不等式考虑利用二重积分证明，也是一种常用方法，下面会通过例子来说明.)2,(,)2)((21)2)(()()2(121b a a a b F a b a F a F b a F +∈-''+-'+=+ξξ【定理】]14[ 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，函数)(x g 在],[d c 上可积，则二 元函数)()(),(y g x f y x F =在矩形区域};|),{(:d y c b x a y x D ≤≤≤≤可积且⎰⎰⎰⎰⋅=dc D b a dy y g dx x f dxdy y x F )()(),(.例14 证明不等式,)()(1)(2a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰其中)(x f 是一正的连续函 数.分析：实际上不等式左方的积分可以写成⎰⎰⎰⎰=⋅=b a b a D dxdy y f x f dy y f dx x f I )()()(1)( ， 其中D 为正方形区域],;,[b a b a D =， 或写成dxdy x f y f I D ⎰⎰=)()(，即dxdy x f y f y f x f I D⎰⎰+=))()()()((2.对等式右方二重积分进行 估值即可得证.证明：设dx x f dx x f I ba ba ⎰⎰⋅=)(1)(，则 dxdy y f x f dy y f dx x f Ib a D b a ⎰⎰⎰⎰==)()()(1)( （由重积分的性质） 这里};{b y a b x a D ≤≤≤≤=，同理有dxdy x f y f dx x f dy y f I Db a b a ⎰⎰⎰⎰==)()()(1)(.因此 dxdy x f y f y f x f I D ⎰⎰+=])()()()([21dxdy y f x f y f x f D⎰⎰+=)()(2)()(22 因为)()()()(2022y f x f y f x f +≤<，故上式右端被积函数不小于1，从而⎰⎰-=≥Da b dxdy I 2)(.证毕.例15 设)(x p 是],[b a 上的正的连续函数.而)(x f 及)(x g 是],[b a 上的单调函 数，证明⎰⎰⎰⎰≤ba b a b a b a dx x f x g x p dx x p dx x g x p dx x f x p )()()()()()()()(. 证明：考虑差⎰⎰⎰⎰-=∆ba b a b a b a dx x g x p dx x f x p dx x p dx x f x p )()()()()()()(， 左右端两项的第2个因子中将积分变量x 换成y ，则⎰⎰⎰⎰-=∆ba b a b a b a dy y g y p dx x f x p dy y p dx x g x f x p )()()()()()()()( ⎰⎰⎰⎰-=D Ddxdy y g x f y p x p dxdy x g x f y p x p )()()()()()()()(⎰⎰-=Ddxdy y g x g x f y p x p )]()()[()()(其中],;,[b a b a D =.上式将y x ,的位置变换一下得⎰⎰-=∆D dxdy x g y g y f y p x p )]()()[()()(， 将上式相加得dxdy y g x g y f x f y p x p D)]()([)]()()[()(21-⋅-=∆⎰⎰.因为)(x p 是],[b a 上的正值函数，上的单增函数均为与],[)()(b a x g x f ，故上式被积函数为非负，因而，0≥∆得证.2.8 定积分的定义法【定积分的定义】设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数σ，使得对[a,b]的任何分割T ，以及在T 上的点集}{i ξ，只要σ≤T 就有εξ<-∆∑=|)(|1j x f i ni i 则称函数在区间[a,b]上可积或Riemann 可积；数J 称为在[a,b]上的定积分或Riemann 积分，记作J=⎰ba dx x f )(. 设)(x f 在],[b a 上连续，把],[b a 分成n 等分,分点（连同两端点）为n k n a b k a x k ,,2,1,0, =-⋅+=,记)(k x f 为k f ，则由定积分定义 )(1lim )(1lim 2121x f x f x f ab f f f n n n n n ∆++∆+∆-=+++∞→∞→ ⎰-=b a dx x f a b )(1 （这里用na b x -=∆）. （1） 若复合函数)]([x f ϕ上连续在],[b a .类似的有⎰-=+++∞→b an n dx x f a b f f f n )]([1)}()()({1lim 21ϕϕϕϕ . （2） 把有限的不等式经适当整理之后取极限∞→n ，利用（1），（2）便可得相应的不等式.例16 设)(x f 在],[b a 上为正，且)(x f 与)(ln x f 在],[b a 上连续，证明()}exp{,)(1})(ln 1exp{e dx x f a b dx x f a b b ab a 表示其中 ⎰⎰-≤-. 证明：由 )(12121n n n f f f n f f f +++≤ ,得 }{1}ln ln lnf n 1exp{2121n n f f f n f f +++≤++ ）（ 由于)}ln ln (ln 1exp{lim 21n n f f f n ++∞→ })(ln 1exp{)}ln ln (ln 1lim exp{21⎰-=+++=∞→b a n n dx x f a b f f f n ， ⎰-=+++∞→b an n dx x f a b f f f n )(1)(1lim 21 ，所以原不等式得证. 2.9 判别式法这种方法的基本思路是，建立一个正定的或非负定的二次型，使它的判别式满足的条件恰好为所需证明的不等式.所以这种方法称为正定二次型法，也常称为判别式法.例17 设函数)(x ϕ及ψ)(x 都在区间[a,b]上连续，证明不等式dx x dx x dx x x b ab a b a ⎰⎰⎰≤)()(})()({222ψϕψϕ.证明：取)()()(2)()]()([)(2222x x x t x t x x t t f ψψϕϕψϕ++=+=，则)(t f 对任意的t 都是非负的.因此0)()()(2)(222≥++⎰⎰⎰dx x dx x x t dx x t b ab a ba ψψϕϕ， 这是关于变数t 的不等式，左端是二次三项式，于是判别式 0)()(})()({222≤-⎰⎰⎰b ab a b a dx x dx x dx x x ψϕψϕ. 即所证不等式得证.此不等式即为柯西积分不等式.此方法的关键在于找出一个正定的二次三项式，利用二次函数的性质，可判断其判别式为非正，从而证得不等式.2.10 应用柯西积分不等式【定理】]2[ 若)(),(x g x f 在],[b a 上可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222. 应用柯西积分不等式证明定积分不等式的思路为（1） 利用柯西积分不等式；（2）找合适的)(x f 与)(x g .例18 设)(x f 在[0,1]上有连续导数，且)0f =)1(f =0,证明⎰⎰'≤102102)(41)(dx x f dx x f . 证明：)(00()()(0x f f dx x f x f x'='=⎰，），由于连续，所以由柯西积分不等式得⎰⎰⎰⎰'≤'≤'=1020202202)()(1))(()(dx x f x dx x f dx dx x f x f x x x ， 又由到利用柯西积分不等式得故,)()(),0()1(1⎰'==xdx x f x f f f dx x f x dx x f dx dx x f x f x x x⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=1021212212)()1()(1))(()(， 则 dx x f dx x dx x f xdx dx x f ⎰⎰⎰⎰⎰'-+'⋅≤121102102210102)()1()()(⎰'=102)(41dx x f .证毕. 例19 设)(x f 在[a,b]上导数连续，求证,0)(=a fdx x f b a dx x f b a b a 222)]([2)()(⎰⎰'+≤.证明：0)()(='a f x f 连续，，b x a x f dt t f x a≤≤='⎰),()(所以， 22]1)([)()()(⎰⎰⎰⋅'='⋅'=xa x a x a dt t f dt t f dt t f x f . 由柯西积分不等式有)(2x f =2]1)([⎰⋅'x a dt t f ≤dt dt t f x a x a ⎰⎰⋅'221)]([， 即)(2x f ≤b x a dt t f a x a x dt t f b a xa ≤≤'⋅-≤-⋅'⎰⎰,)]([)()()]([22.所以dx x f a b dx a x dx x f dx x f ba b a b a b a ⎰⎰⎰⎰'-=-⋅'≤2222)]([2)()()]([)(.证毕.说明：该方法一般适用于被积函数为)(x f 与基本初等函数的的复合函数且含被积函数的平方形式的情形.2.11 利用函数的凸性函数的凸性是证明积分不等式的一个重要方法.用函数的凸性证明不等式的主要思想是：函数)(x f 在区间],[b a 下凸的定义是对于],[b a 中任意两个点21,x x 以及任意两个满足121=+λλ的非负数21,λλ，都有)()()(22112112x f x f x x f λλλλ+≤+，如果函数在区间],[b a 下凸，则对于],[b a 中的任何一组点n x x x ,,21，都有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ . 如果)(x f 在上凸，即对于],[b a 中任意两个点21,x x 以及任意两个121=+λλ的非负数21,λλ，都有),()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≥+并且有n x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ . 例20 若,42,0,01π≥+≥≥≥⎰dx y x y x n c n n 证明不等式及其中c 是曲线 ）的一段弧，）到（，上从（22200sin 22ππ-=+x y x n . 证明：先证不等式n n n y x y x )2(2+≥+， （1） 时，不等式显然成立或当00==y x . n x x f y x =>>)(0,0时，考虑函数当.0)1()(2≥-=''-n x n n x f 因为， 故由n n n y x y x y x f y f x f )2(2)2()]()([21+≥++≥+得. 利用不等式（1）即知dx y x dx y x n c c n n ⎰⎰+≥+)2(2，而 4sin )2(202ππ==+⎰⎰xdx dx y x n c ， 所以最后得42π≥+⎰dx y x c n n ，不等式得证. 3 重积分不等式的证明方法本文主要介绍利用重积分的估值定理证明重积分不等式.【二重积分的估值定理】]12[若函数),(y x f 在区域D 上可积，且M y x f m ≤≤),(,则⎰⎰⎰⎰=≤=DD M Md d y x f m σσσσ),(，其中σ为区域D 的面积.以上给出重积分的估值定理，由估值定理可知，必存在,,M m ≤≤μμ使得等式μσσ=⎰⎰d y x f D),(成立.若),(y x f 在有界闭域D 上连续，由连续函数的介值定理可知，必存在点D ∈),(ηξ,使得等式σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰成立.这就是二重积分的估值定理.对三重积分也有类似结论.例21 设区域D 由直线0,0,0===+y x y x 围成，试证明⎰⎰≤≤D xydxdy 810. 分析：若能求出被积函数),(y x f =xy 在区域D 上的最小值m 和最大值M ，利用估值定理就可以证得积分不等式.证明：在区域D 上显然有),(y x f =xy 0≥，故0)0,0(=f 为函数),(y x f =xy 的最小值，即m=0.再求最大值M ，显然),(y x f =xy 的最大值落在D 的边界1=+y x 上，问题转化为求函数)1()(x x x g -=的最大值.其中10≤≤x ；得41)21,21(=f 为 函数的最大值.由估值定理得⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤D D D dxdy xydxdy dxdy m 410， 显然⎰⎰=D dxdy 21.最后证得⎰⎰≤≤Dxydxdy 810.证毕. 例22 证明不等式2)]sin()[cos(1≤+≤⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz xyz ，其中Ω为正方体10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x .分析：只需估计函数)sin()cos(),,(xyz xyz z y x f +=在区域Ω上的最大值和最小值，然后利用三重积分的估值定理证明不等式成立. 证明：故上并且在,10),4sin(2)sin()cos(≤≤Ω+=+xyz xyz xyz xyz π 2)cos()sin(1,1)4sin(21≤+≤≤+≤xyz xyz xyz 所以π， ⎰⎰⎰Ω=1dxdydz 又.所以原不等式得证.对于重积分介于两实数间的不等式证明，一般先考虑求出被积函数的最大最小值或是被积区间上的取值范围，然后再积分即可证得不等式.4 小结以上就是本文介绍的有关积分不等式的几种证明方法，在以上的一些例题中，虽然主要应用了一种方法证明积分不等式，但也还会与其他方法综合应用.而且，一道积分不等式的证明题，有时可用多种方法证明.下面就举个一题多解的例题.例23 设)(x f 在[0，1]上连续且单调减，试证对任何的∈a （0，1）有⎰⎰≥a dx x f a dx x f 010)()(.证明：（方法一）⎰⎰⎰⎰⎰--=-a a adx x f a dx x f a dx x f dx x f a dx x f 0010010)()()()()( )()1()()1()()()1(01βαaf a af a dx x f a dx x f a a a ---=--=⎰⎰（积分中值定理），其中1,0≤≤≤≤βαa a ，又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥.故原不等式得证. （方法二） ⎰⎰⎰⎰⎰--=-a a a dx x f a dx x f a dx x f dx x f a dx x f 0010010)()()()()( 0)()1()()1()()()1(01=---≥--=⎰⎰a aa f a a a af a dx x f a dx x f a ，得证. （方法三）令at x =，则⎰⎰⎰⎰=≥=1010010)()()()(dx x f a dt t f a dt at f a dx x f a ，得证. （方法四）设⎰⎰-=a dx x f a dx x f a F 010)()()(， ))1,0((,)()()()()(10∈-=-='⎰ξξf a f dx x f a f a F ， 故当)(,0)(,0a F a F a ≥'≤≤ξ单调增，0)0()(=≥F a F .当)(,0)(,1a F a F a ≥'≤<ξ单调减，0)1()(=≥F a F .则)(a F 的最小值只能在端点取得，故对一切的)1,0(∈a ，有0)0()(=≥F a F ，故原不等式得证.积分不等式的证明，读者需要仔细分析题中给出的已知条件，并且观察所要证明的结论，从中找出证明积分不等式的一种最简便的方法.更需要反复的练习，不断的总结，才会更精通积分不等式的证明方法.只有本文中介绍的积分不等式的证明方法是不够的，读者还需要继续深入研究，找出其它一些证明积分不等式的方法，从而使得证明思路更广阔.参考文献：[1]涂利治.大学数学解题诠释[M].安徽：安徽教育出版社，1999.[2]韩云瑞.微积分学习指导[M].北京：清华大学出版社，2000.[3]华苏，龚骄等.微积分学习指导[M].北京：科学出版社，2003.[4]龚漫奇.高等数学习题课教程[M].北京：科学出版社，2000.[5]王向东，徐海祥等.数学分析典型方法[M].北京：清华大学出版社，1998.[6]龚冬宝，武忠祥等.高等数学典型题[M].西安：西安交通大学出版社，2000.[7]王寿生，李云珠.微积分解题方法与技巧[M].西安：西安工业大学出版社，1987.[8]陈凤平，傅一平，杨立洪.高等数学（上）[M].广州：华南理工大学出版社，2004.[9]华东师范大学数学系.数学分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，1981.[10]任亲谋.数学分析习题解析[M].西安：陕西师范大学出版社，2004.[11]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003.[12]奇植兰.考研必读—高等数学[M].天津：天津大学出版社，2000.[13]蔡择林，陈琴.定积分不等式的几种典型证法[J].湖北师范学院报（自然科学版），2007，27：38.[14]张仁华.二重积分证明积分不等式的若干应用[J].景德镇高专学报，2008，23（2）：2.[15]Nichocas.J.De Lillo. Advanced Calculus With Applications[M].USA:United states of America,1982.。
关于不等式证明方法的探讨毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 本科生毕业论文（设计）册学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业班级：2010级B班学生：指导教师：河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2010级B班1、论文（设计）研究目标及主要任务本文对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法进行总结，意在引发我们对不等式证明方法及其他问题证明方法的注意和思考，以致对整个数学问题的思考，并希望能为读者全面系统的总结不等式证明方法提供帮助和借鉴。
学习不等式的对证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯，并为以后的教学奠定扎实的理论基础。
2、论文（设计）的主要内容对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法的概念、历史背景、书写步骤、运用情形、和基本分类等进行简单介绍，并对一些情况加以举例说明。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线在不等式证明方法的研究不断改进和发展的形势下，总结前人的经验和研究成果，对几种常见证明方法进行探讨，同时对其进行改进和创新，发表自己独特的见解，并举例加以解释和说明。
4、主要参考文献[1]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社，2004：23-34.[4]胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京：高等教育出版社，1998:45-50.指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书本科生毕业论文设计关于不等式证明方法的探讨作者姓名：曾海辉指导教师：张硕所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学专业班级（届）：2014届数学B班二〇一四年四月三十日目录目录 (1)摘要、关键字 (2)1 问题提出 (3)1.1 在现实生活中的意义及前景 (3)1.2 在数学教学中的现状和问题 (3)2 常用证明方法 (5)2.1 比较法 (5)2.2 分析综合法 (6)2.3 反证法…………………………………………………………………………………72.4 放缩法…………………………………………………………………………………82.5 换元法…………………………………………………………………………………112.6 数学归纳法……………………………………………………………………………142.7 判别式法………………………………………………………………………………152.8 函数单调性法…………………………………………………………………………162.9 几何证法 (17)2.10 面积体积法 (18)2.11 极值法………………………………………………………………………………193 教学建议与思考 (20)3.1 内容综述与建议………………………………………………………………………193.2 问题总结与思考………………………………………………………………………22参考文献 (23)Abstract (24)关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业指导教师：张硕作者：曾海辉摘要：不等式及其证明的内容极为丰富，在高中数学中占据了相当关键的主体地位，它贯穿于高中数学的几乎每一个章节之中，同时，他又是我们实践生活应用甚为广泛的一种集理论和技巧于一身的格式化计算性工具。
关于不等式证明方法的探讨 毕业论文
关于不等式证明方法的探讨摘要：不等式是高中数学中一个极为重要的内容，几乎贯穿整个高中数学的所有内容；人们在实际生活中也经常运用到它的一些知识，例如最常见的超市商场进货方案设计、旅店宾馆租赁方案设计、娱乐消费购买方案设计等。
然而在本文中，我总结了比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的证明方法。
对证明方法的学习，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯。
关键字：不等式；高中数学；方案设计；比较法；几何证明；函数。
The Discussion about A Lot of Methods about Inequality Proof Abstract:Inequality is a very important high school mathematics content, almost all of the content throughout the entire high school math; people in real life are often applied to some of its knowledge, such as supermarkets, shopping malls stocking the most common design, Inns hotel rental program design, entertainment, consumer purchase program design. However, as we use Inequality Inequality provided strong evidence. Therefore, the discussion of research on inequality proof considerable practical significance. In this article, I summarize the comparative method, analysis and comprehensive method, reductio ad absurdum, scaling law, change element method, the more common method of proof by mathematical induction, parabola method, geometric proofs, monotonic function, extremes and so on. By learning these proven methods that can help us solve some practical problems, the ability to develop logical reasoning and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good study habits .Keywords:inequality; school mathematics; program design; comparative law; geometric proof; function.前言不等式的在实际生活中的应用非常广泛,社会生活和生产的各个方面都有应用。
数学分析中探讨不等式证明方法论文
本科毕业论文（设计）题目：数学分析中不等式证明的若干方法学生：陈晨学号：201140510531学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学入学时间： 2011 年 9 月 17 日指导教师：刘敏职称：讲师完成日期： 2015 年 4 月 30 日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《数学分析中探讨不等式证明方法》的主要内容都由本人独立撰写，决无抄袭。
凡是参考的文献和材料，都一一作了注解，如果出现抄袭及侵犯他人知识产权的情形，愿意接受学校的批评和处罚。
承诺人年月日数学分析中探讨不等式证明方法摘要：不等式在数学分析中具有不可替代的作用，因此探讨数学分析中证明不等式的方法意义颇深。
本文探讨了用数学分析知识证明不等式的一些方法，主要有函数单调性法，函数极值法，微分中值定理法，函数凹凸性法，泰勒公式法，积分中值定理法，构造变限积分法，幂级数展开式法，以及常用不等式法，并通过典型例题加以分析验证，从中概括出一定的证明技巧。
关键词：不等式；证明策略；数学分析In mathematical analysis of inequality proof methodAbstract:Inequality plays an irreplaceable role in mathematical analysis, so the study in mathematical analysis to prove inequality method has deep meaning. This paper discusses some methods of proving inequalities in mathematical analysis, the main function is monotone method,function extremum method, differential mean value theorem, convex function method, Taylormethod, the mean value theorem of integral method, structure variable limit integral method,power series expansion method, and the commonly used inequality method, and analyzes the verified by typical examples, summarizes some proof techniques from.Key words:Inequality ；That strategy ；Mathematical analysis目录1. 引言 (1)2．证明不等式的几种方法 (1)2.1 函数单调性 (1)2.2 函数极值法 (1)2.3 微分中值定理 (2)2.4 函数凹凸性法................................. .. (3)2.5 泰勒公式法 (4)2.6 积分中值定理法 (5)2.7 构造变限积分法 (6)2.8 幂级数展开式法 (7)2.9 常用不等式法 (8)3. 结束语 (9)参考文献 (10)1.引言我们在学习初等数学时就接触到不等式的知识，并且在大学课程中的数学分析和高等数学中还继续研究不等式的证明，可见其在数学系统探究的过程当中一直拥有着不可逾越的地位。
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摘要在中学数学的教学中，不等式的证明始终是一个难点，也占有重要的地位，是数学中不可缺少的工具之一。
关于不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，从而不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用。
就其知识范围而言，涉及到代数、三角、几何等各个初等数学领域，有较强的综合性和多样性。
由于许多初等数学中的问题往往蕴含着数学中较高层次理论和再实践的问题。
为解决高等数学与初等数学的脱节现象，有意将高等数学的原理和方法应用于一些初等数学的证明与计算。
不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会用高等数学的原理和方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻熟驭的感觉。
因此，本文着眼于不同角度，应用不同的知识,从三个方面:1.不等式证明的基本方法；2.不等式证明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法对若干例题的讲解，初步概括一些证明不等式的若干方法。
关键词:不等式；初等数学；证明方法AbstractThe inequality proof has always been a difficult point in mathematics teaching in middle school. However, it also plays an important role, and is an indispensable mathematical tool in mathematics teaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and have no fixed principle to obey. Therefore, the inequality proof takes an important part in the development of the students’mathematical thinking, and logical thinking. A rage of knowledge including algebra, trigonometry, geometry and every area of primary mathematics, there is a strong integrated and diversity. Because many elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that higher mathematic alienated from the middle-mathmaticals. This paper will apply the principles methods of mathematics to some elementary mathematical proof and Calculation purposely. Doing like this: Not only to enlarge students’ range of knowledge, but also enable students to realize that using the principles of advanced Mathematics to solve Elementary Math problems just like doing a familiar job with ease. Therefore, this paper will use a variety of knowledge such as: 1 Inequality out the basic method; 2.Inequality out special methods; 3. Using advanced mathematics from different aspects to analysis some example to gain some methods of the inequality proof.Key words: Inequality; Elementary Math; Methods of proof目录摘要 (I)Abstract ........................................................... I I 引言. (1)1 不等式证明的基本方法 (1)1.1 综合法 (1)1.2 分析法 (2)1.3 比较法 (3)1.4 反证法 (4)1.5 数学归纳法 (4)1.6 放缩法 (5)2 不等式证明的特殊方法 (6)2.1 换元法 (6)2.1.1 代数换元法 (6)2.1.2 三角换元法 (7)2.2 参数法 (7)2.3 面积法 (9)2.4 化整法 (9)2.5 通项公式法 (10)3 利用高等数学证明不等式的方法 (10)3.1 函数单调性法 (11)3.2 函数图形的凹凸性进行证明法 (11)3.3 拉格朗日中值定理法 (12)3.4 柯西中值定理法 (12)3.5 函数的极值和最值法 (13)3.6 泰勒公式法 (14)4 结语 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)引言数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。
目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。
在 1882年 -1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。
于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
本文应用不同的知识从三个方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法综合对若干例题的讲解,初步概括一些证明不等式的若干方法。
1 不等式证明的基本方法不等式证明的一般方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等[1]。
1.1 综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：123AB B B …n B B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
例1分析 要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数c b a ,,的值，但应该注意到：所要求的结论也不是()x f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可()()0,1f f -和()1f 来表示c b a ,,.因为 ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,所以 ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=,()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 当11≤≤-x 时，2x x ≥，所以，根据绝对值不等式的性质可得2222x x x x +≤+，2222x x x x -=-，2211x x -=-. 所以()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论。
用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
1.2 分析法当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。
两个方法是密不可分的。
从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB 的逻辑关系为：123BB B B …n B A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题1B 为真，从而有…，这只需证明2B 为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。
这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
例 2 已知:.1a b >,01c <<, 且lg a +lg b 1=，求证:log a c +log b c ≤4lg c . 证明 欲证log a c +log b c ≤4lg c ,只需证bc a c lg lg lg lg +≤4lg c , 因为01c <<,故lg 0c >.所以只需证lg 0a >, lg 0b >.只需证lg a +lg b 4lg lg a b ≥.由已知lg a +lg b 1=,所以只需证4lg lg 1a b ≤. 而lg 0a >,lg 0b >.故4lg lg a b ≤2(lg lg )a b +1=.故原不等式成立。
1.3 比较法比较两个式子的大小，求差或求商（与0或1的大小关系）是最基本最常用的方法。
例3 如果用a kg 白糖制出b kg 糖溶液，则糖的质量分为b a ，若在上述溶液 中再添加m kg 白糖，此时糖的质量分数增加到mb m a ++将这个事实抽象为数学问 题，并给出证明。
解 可以把上述事实抽象为如下不等式问题：已知都是正数，并且b a ≠，求证：b a m b m a >++ 证明 )()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ 因为,,a b m 都是正数，并且a b <，所以0b m +>,0b a -<，0)()(>+-m b b a b m 即 ba mb m a >++. 比较法是证明不等式的基本思路。