(甘志国)蒙日圆及其证明

图8 由此结论可得：在本题中，点在圆上.所以本题的题意即直线与圆 有公共点，进而可得答案. 注 本题的一般情形就是蒙日圆.
图3 由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得≌，所以点 H是FB的中点，得OH是的中位线.又，所以. 引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程). 引理4 设点是矩形所在平面上一点，则. 证明 如图4所示，设矩形的中心是点．
图4 由引理3，可得 即欲证成立． 注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相 对侧棱长的平方和相等． 定理1的证法3 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过 动点P的两条切线分别是.
图6 由椭圆的定义，得，所以. 由是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方 和，可得 (1)若，得，即三点共线. 又，所以，进而得 (2)若，得 所以. 同理，可得.所以三点共线.
得，即. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是.
定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性) 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是， 过动点P的两条切线分别是，切点分别是. 设点关于直线的对称点分别源自文库，直线与切线交于点，直线与切线交 于点.
图7 得，再由椭圆的定义，得，所以.
因为四边形为矩形，所以由引理4得，所以，得点P的轨迹方程是. 读者还可用解析几何的方法证得以下结论： 定理2 (1)双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆； (2)抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线. 定理3 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是； (2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是. 定理4 过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则
蒙日圆及其证明
甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)
高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程； (2)若动点
为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹
方程． 答案：(1)
；(2) ．
这道高考题的背景就是蒙日圆. 普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版 社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日 (G.Monge，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆. 定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜 率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设 点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是. 由，得 由其判别式的值为0，得 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 由此，得 进而可得欲证成立. 定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜 率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设 点P的坐标是且，所以可设两个切点分别是.
得直线，切线.所以： 因为点既在曲线上又在直线上，所以 所以
由此，可得 进而可得欲证成立.
再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理. 引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选 修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76 页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭 圆的另一个焦点上(如图1所示).
图1 证明 如图2所示，设为椭圆(其左、右焦点分别是)上任意给定的 点，过点作的外角平分线所在的直线.先证明和相切于点，只要证明上 异于的点都在椭圆的外部，即证：
图2 在直线上选取点，使，得≌，所以，还得 再过点作的平分线，易得，入射角等于反射角，这就证得了引理1 成立. 引理2 过椭圆(其中心是点O，长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的任 意切线的垂线，设垂足是H，则. 证明 如图3所示，设点分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上 的切点，又设直线交于点.
(1)当时，所作的两条切线互相垂直； (2)当时，所作的两条切线斜率之积是. 定理5 (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即圆(但要去掉四个点)； ②当且时，即椭圆(但要去掉四个点)； ③当时，即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)； ④当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)； ⑤当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点). (2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即圆； ②当时，即双曲线； ③当或时，即椭圆； ④当时，不存在. (3)抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： ①当时，即直线； ②当时，的方程为. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已 知. 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取 值范围是_________. 解 .在图8中，若小圆(其圆心为点，半径为)的过点的两条切线互相垂 直(切点分别为)，得正方形，所以，即点的轨迹是以点为圆心，为半径 的圆.
图5 连结，作，垂足分别是.过点作，垂足为，由引理2得. 再作于.记，得. 由Rt，得. 又作，垂足分别为.在Rt中，同理可得. (1)若，得矩形，所以 (2)若，得 由，得，所以. 同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所 以. 由(1),(2)得点P的轨迹方程是. 定理1的证法4 可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过 动点P的两条切线分别是，两切点分别为. 分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可得三点共线(用 反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点共线.