数值计算方法课件_xutao_update
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e x x x—真值， x —近似值，
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因 此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差 不会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误 差限。 我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
三、误差
如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε 的条件下，近似值是准确的。
数值计算是应用数学一个重要分支,比如:微分方程,现代 物理.
新的数学,混沌理论(迭代法求非线性方程的根). 与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点：
数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来研 究。在进行算法研究时，注意算法与计算速度，计算 内存消耗的关系
在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收 敛性和数值计算的稳定性问题。
• 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要 占用许多工作单元（内存）。当计算一个大型的 数学问题时，内存的消耗量是很大的。因此，算 法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一 个标准。
二、算法
3）算法逻辑结构的复杂性 影响程序开发的周期以及维护
• 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问 题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序， 但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定， 因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的 编制、维修和使用比较方便。
Leabharlann Baidu
S1 输入 S2 计算 S3 如果
a11, a12, a21, a22,b1,b2 D a11a22 a21a12 D 0 则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如： 线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多种 方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
(i) (ii)
(-2)*(i) +(ii) , 得
高斯消
x y 17 去法 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
例2：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
实际问题 数学模型 数值方法 程序设计
真实、准确地反映实际工程问题的本质； 数学模型所用的数学算法能在计算机上实现。
数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继续研究。
三、误差
3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有
限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称 为舍入误差。
舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿 整个课程之中。
三、误差
2、 误差的概念
1）误差 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误 差，又称绝对误差，用e表示。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex 1 x x2 xn
2!
n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn (x)
1
x
x2 2!
xn n!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
三、误差
1、误差的来源： 在研究算法时，要进行误差分析，能估计误差的算法才 是有实用价值的算法。 引起计算误差的原因是多方面的。
1）模型误差 当解决一个工程实际问题时，常常需要用一定的数学表达 式来描述，即建立一个数学模型。建立数学模型时，通常 要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型 不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学 模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一 个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语 言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算 法，就称为程序设计。
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0 ，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
例2：求解二元一次联立方程组
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
二、算法
• 1） 算法的时间复杂性 计算机运行时间
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
当n=20时，需要运算？？ 当n=100时，需要运算？？
二、算法
2） 算法的空间复杂性 占据计算机存储空间的多少
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共 48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
代数方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只
总腿数 ：2＊17＝34
一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
设有x只小鸡，y只小兔 ，
(I)
x y 17 2x 4 y 48
数值计算方法
徐弢 2014.04
课程安排
• 算法和误差 • 非线性方程 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 插值和多项式逼近 • 曲线拟合 • 数值积分 • 常微分方程
一、概述
数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术的飞 速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越广泛。 数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因 此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差 不会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误 差限。 我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
三、误差
如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε 的条件下，近似值是准确的。
数值计算是应用数学一个重要分支,比如:微分方程,现代 物理.
新的数学,混沌理论(迭代法求非线性方程的根). 与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点：
数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来研 究。在进行算法研究时，注意算法与计算速度，计算 内存消耗的关系
在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收 敛性和数值计算的稳定性问题。
• 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要 占用许多工作单元（内存）。当计算一个大型的 数学问题时，内存的消耗量是很大的。因此，算 法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一 个标准。
二、算法
3）算法逻辑结构的复杂性 影响程序开发的周期以及维护
• 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问 题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序， 但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定， 因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的 编制、维修和使用比较方便。
Leabharlann Baidu
S1 输入 S2 计算 S3 如果
a11, a12, a21, a22,b1,b2 D a11a22 a21a12 D 0 则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如： 线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多种 方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
(i) (ii)
(-2)*(i) +(ii) , 得
高斯消
x y 17 去法 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
例2：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
实际问题 数学模型 数值方法 程序设计
真实、准确地反映实际工程问题的本质； 数学模型所用的数学算法能在计算机上实现。
数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继续研究。
三、误差
3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有
限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称 为舍入误差。
舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿 整个课程之中。
三、误差
2、 误差的概念
1）误差 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误 差，又称绝对误差，用e表示。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex 1 x x2 xn
2!
n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn (x)
1
x
x2 2!
xn n!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
三、误差
1、误差的来源： 在研究算法时，要进行误差分析，能估计误差的算法才 是有实用价值的算法。 引起计算误差的原因是多方面的。
1）模型误差 当解决一个工程实际问题时，常常需要用一定的数学表达 式来描述，即建立一个数学模型。建立数学模型时，通常 要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型 不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学 模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一 个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语 言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算 法，就称为程序设计。
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0 ，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
例2：求解二元一次联立方程组
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
二、算法
• 1） 算法的时间复杂性 计算机运行时间
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
当n=20时，需要运算？？ 当n=100时，需要运算？？
二、算法
2） 算法的空间复杂性 占据计算机存储空间的多少
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共 48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
代数方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只
总腿数 ：2＊17＝34
一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
设有x只小鸡，y只小兔 ，
(I)
x y 17 2x 4 y 48
数值计算方法
徐弢 2014.04
课程安排
• 算法和误差 • 非线性方程 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 插值和多项式逼近 • 曲线拟合 • 数值积分 • 常微分方程
一、概述
数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术的飞 速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越广泛。 数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。