数值计算方法课件_xutao_update
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数值计算方法37 45页PPT文档
华长生制作
12
方程组(4)便可化为
a 0 ( k ,0 ) a 1 ( k ,1 ) a n ( k ,n ) ( k , f )
k0,1, ,n
---------(7)
这是一(个 k,j)系 常 , 数 数 (为 k项 ,f)的 为线性方
将其表示成矩阵形式
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i0
i0
16
例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数
y(x)a0a1x
为拟合函数，其基函数为
0(x)1 1(x)x
建立法方程组
根据内积公式，可得
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17
(0,0)24 (0,1)12.57(1,1)82.691
(0,f)11.13 (1,f)73.61
法方程组为
12247.5
81229.7.651
a a
0 1
113.1 731.6
解得 a0 0.1505 a1 0.8587 y*(x)0.15050.858x7 即为所求的最小二
平方误差为
*
2 2
j0 i0
i0
k0,1, ,n
---------(4)
即
m
m
m
a0 0(xi)k(xi)a1 1(xi)k(xi) an n(xi)k(xi)
i0
i0
i0
m
yik(xi) i0
k0,1, ,n
华长生制作
11
显(4 然 )是一a 个 0,a1, 关 ,an的 于 n1元线性方
拟合函 S(x)数 Pn(x)的基函数为
计算方法第一章数值计算方法.ppt
x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息
…
…
第一章计算方法与误差
本章内容
§1 引言 §2 误差的来源及分类 §3 误差的度量 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则
小结
第一章计算方法与误差
要求掌握的内容
概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、 相对误差、相对误差限等
误差 截断误差、舍入误差的详细内容，误差种 类等
分析运算误差的方法和减少运算误差的若 干原则
常用的两种复杂性有：计算时间复杂性和空间复杂性。
二、算法的优劣
➢ 计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组:
n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？
n=100?
计算量大小是衡量算法优劣的一项重要标准。
在估计计算量时，我们将区分主次抓住计算过程中费时较多的 环节。比如，由于加减操作的机器时间比乘除少得多，对和式
例：求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0，则令计算机计算
数值计算方法课件
数值计算方法课件
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
《数值计算方法》课件1绪论
x
y
(
f
(
x,
y))
|
f
(x, x
y)
|
(x)
|
f
(x, y
y)
|
(
y)
r
(
f
(x,
y))
( f (x, y)) f (x, y)
(1 6)
x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
误差分析---- 数值计算的的误差
(a b) (a) (b)
r
(a
b)
(a) a
b
(b)
(ab) b (a) a (b)
两个例子 模型误差 方法误差
h 1 gt 2 2
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
x x* x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢设x是某个精确值x*的近似值，则称 x* x 为近似值x的 绝对误差，简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上
界 ，使得 x* x ，称 是近似值x的绝对误差界，
f
f
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢有效数字
• 若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位，则称精
确到该位，若从该位到的左起第一位非零数字一共有n位， 则称近似值有n位有效数字。
• 从定义可以看出，通常的“四舍五入”后得到的数字都是
1.2 误差分析
1.2.1 误差的来源
• 通常，解决一个实际问题需经过以下几个步骤。
实际问题
数学模型
数值算法
计算结果
《数值计算》课件
《数值计算》PPT课件
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
数值计算方法与算法-45页PPT文档资料
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
计算机数值方法课件
案例实现
使用Python编程语言实现插值 和拟合的应用。
06
总结与展望
本课程总结
内容全面
本课件涵盖了计算机数值方法的 多个领域，包括线性代数、微积 分、插值与拟合、数值积分与微 分、常微分方程数值解等。
实践性强
通过丰富的实例和实际应用案例 ，使学生能够更好地理解和掌握 计算机数值方法的应用。
易于理解
课件采用简洁明了的语言和图文 并茂的方式，帮助学生更好地理 解复杂的概念和算法。
未来发展与挑战
技术更新
随着计算机技术的不断发展，数值方法的应用范围和需求 也在不断扩大，需要不断更新课件内容以适应新的发展需 求。
理论与实践结合
数值方法的应用需要理论与实践相结合，未来应加强实践 环节的教学，提高学生的实际操作能力。
直接法实现
直接法的原理
直接法是一种通过直接计算得到解的方法，不需要通过迭代逼近 解。
直接法的步骤
直接法通常包括建立数学模型、选择合适的算法和编程实现三个步 骤，其中建立数学模型是关键。
直接法的优缺点
直接法具有精度高、稳定性好等优点，但也存在计算量大、计算时 间长等缺点。
优化算法实现
优化算法的原理
直接法
通过矩阵运算直接求解线性方程组，如高斯消元法、LU分解等 。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔 迭代法等。
共轭梯度法
结合直接法和迭代法的优点，在求解大型稀疏线性方程组时具有 较好的效果。
非线性方程的求解
牛顿法
通过迭代逐步逼近非线性 方程的根，具有较高的收 敛速度和精度。
05
案例分析
线性方程组求解案例
总结词
介绍线性方程组的数值解法，包括直接法和迭代法。
数值计算课件
7
效数字。
解 : 22 ＝ 3.1 42 85 7… … ，π ＝ 3 .1 41 59 2… … 。 7
22 0.00126 1 10 2 。 因 为 m = 1，
7
2
m-n=-2 ， 所 以 n=3， 有 3 位 有 效 数 字 。
1.用四舍五入得到的近似数的误差限是 末位的半个单位。近似数的误差限是末位 的半个单位，则有n位有效数字。因此用 四舍五入得到的近似数是有效数字。
3 四舍五入的误差限：设
x 0 . x 1 x 2 x n 10 m 其 中 x i (i 1,2, ) 是 0 ,1, , 9 中 的 数 字 ， 且 x1 0 ， m 为 整 数 ， n 为 正
整数。 四舍时 五入时
x * 0 . x 1 x 2 x n 10 m x* 0 .x1x2 xn1( xn 1) 1 0 m
两个定理。
定 理 若 近 似 数 x 0 .x1 x 2 x n 10 m 具 有 n 位 有 效 数 字 ，
则其相对误差
* r
1 2 x1
10 ( n 1)
证 因 x 0 .x1 x 2 x n 10 m ， 有 x .x1 10 m 1 ，
2.在公式运算中，要先区分准确量和近 似数。准确数有无穷多位有效数字.
3.有效数字位与小数点后有多少位数无 直接关系。
1.3.4 有效数字与相对误差
绝对误差、相对误差、有效数字三者关系。
*和 n 的 关 系
* 1 10 mn 2
*和
r
的
关
系
n
和
r
效数字。
解 : 22 ＝ 3.1 42 85 7… … ，π ＝ 3 .1 41 59 2… … 。 7
22 0.00126 1 10 2 。 因 为 m = 1，
7
2
m-n=-2 ， 所 以 n=3， 有 3 位 有 效 数 字 。
1.用四舍五入得到的近似数的误差限是 末位的半个单位。近似数的误差限是末位 的半个单位，则有n位有效数字。因此用 四舍五入得到的近似数是有效数字。
3 四舍五入的误差限：设
x 0 . x 1 x 2 x n 10 m 其 中 x i (i 1,2, ) 是 0 ,1, , 9 中 的 数 字 ， 且 x1 0 ， m 为 整 数 ， n 为 正
整数。 四舍时 五入时
x * 0 . x 1 x 2 x n 10 m x* 0 .x1x2 xn1( xn 1) 1 0 m
两个定理。
定 理 若 近 似 数 x 0 .x1 x 2 x n 10 m 具 有 n 位 有 效 数 字 ，
则其相对误差
* r
1 2 x1
10 ( n 1)
证 因 x 0 .x1 x 2 x n 10 m ， 有 x .x1 10 m 1 ，
2.在公式运算中，要先区分准确量和近 似数。准确数有无穷多位有效数字.
3.有效数字位与小数点后有多少位数无 直接关系。
1.3.4 有效数字与相对误差
绝对误差、相对误差、有效数字三者关系。
*和 n 的 关 系
* 1 10 mn 2
*和
r
的
关
系
n
和
r
相关主题
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e x x x—真值， x —近似值，
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因 此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差 不会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误 差限。 我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
三、误差
如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε 的条件下，近似值是准确的。
• 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要 占用许多工作单元（内存）。当计算一个大型的 数学问题时，内存的消耗量是很大的。因此，算 法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一 个标准。
二、算法
3）算法逻辑结构的复杂性 影响程序开发的周期以及维护
• 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问 题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序， 但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定， 因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的 编制、维修和使用比较方便。
三、误差
1、误差的来源： 在研究算法时，要进行误差分析，能估计误差的算法才 是有实用价值的算法。 引起计算误差的原因是多方面的。
1）模型误差 当解决一个工程实际问题时，常常需要用一定的数学表达 式来描述，即建立一个数学模型。建立数学模型时，通常 要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型 不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学 模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共 48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
代数方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只
总腿数 ：2＊17＝34
一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
设有x只小鸡，y只小兔 ，
(I)
x y 17 2x 4 y 48
实际问题 数学模型 数值方法 程序设计
真实、准确地反映实际工程问题的本质； 数学模型所用的数学算法能在计算机上实现。
数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继)*(i) +(ii) , 得
高斯消
x y 17 去法 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
例2：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
三、误差
3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有
限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称 为舍入误差。
舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿 整个课程之中。
三、误差
2、 误差的概念
1）误差 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误 差，又称绝对误差，用e表示。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex 1 x x2 xn
2!
n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn (x)
1
x
x2 2!
xn n!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
S1 输入 S2 计算 S3 如果
a11, a12, a21, a22,b1,b2 D a11a22 a21a12 D 0 则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如： 线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多种 方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
数值计算是应用数学一个重要分支,比如:微分方程,现代 物理.
新的数学,混沌理论(迭代法求非线性方程的根). 与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点：
数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来研 究。在进行算法研究时，注意算法与计算速度，计算 内存消耗的关系
在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收 敛性和数值计算的稳定性问题。
数值计算方法
徐弢 2014.04
课程安排
• 算法和误差 • 非线性方程 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 插值和多项式逼近 • 曲线拟合 • 数值积分 • 常微分方程
一、概述
数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术的飞 速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越广泛。 数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0 ，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
例2：求解二元一次联立方程组
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
二、算法
• 1） 算法的时间复杂性 计算机运行时间
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
当n=20时，需要运算？？ 当n=100时，需要运算？？
二、算法
2） 算法的空间复杂性 占据计算机存储空间的多少
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一 个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语 言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算 法，就称为程序设计。
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因 此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差 不会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误 差限。 我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
三、误差
如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε 的条件下，近似值是准确的。
• 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要 占用许多工作单元（内存）。当计算一个大型的 数学问题时，内存的消耗量是很大的。因此，算 法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一 个标准。
二、算法
3）算法逻辑结构的复杂性 影响程序开发的周期以及维护
• 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问 题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序， 但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定， 因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的 编制、维修和使用比较方便。
三、误差
1、误差的来源： 在研究算法时，要进行误差分析，能估计误差的算法才 是有实用价值的算法。 引起计算误差的原因是多方面的。
1）模型误差 当解决一个工程实际问题时，常常需要用一定的数学表达 式来描述，即建立一个数学模型。建立数学模型时，通常 要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型 不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学 模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共 48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
代数方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只
总腿数 ：2＊17＝34
一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
设有x只小鸡，y只小兔 ，
(I)
x y 17 2x 4 y 48
实际问题 数学模型 数值方法 程序设计
真实、准确地反映实际工程问题的本质； 数学模型所用的数学算法能在计算机上实现。
数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继)*(i) +(ii) , 得
高斯消
x y 17 去法 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
例2：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
三、误差
3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有
限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称 为舍入误差。
舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿 整个课程之中。
三、误差
2、 误差的概念
1）误差 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误 差，又称绝对误差，用e表示。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex 1 x x2 xn
2!
n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn (x)
1
x
x2 2!
xn n!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
S1 输入 S2 计算 S3 如果
a11, a12, a21, a22,b1,b2 D a11a22 a21a12 D 0 则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如： 线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多种 方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
数值计算是应用数学一个重要分支,比如:微分方程,现代 物理.
新的数学,混沌理论(迭代法求非线性方程的根). 与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点：
数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来研 究。在进行算法研究时，注意算法与计算速度，计算 内存消耗的关系
在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收 敛性和数值计算的稳定性问题。
数值计算方法
徐弢 2014.04
课程安排
• 算法和误差 • 非线性方程 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 插值和多项式逼近 • 曲线拟合 • 数值积分 • 常微分方程
一、概述
数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术的飞 速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越广泛。 数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0 ，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
例2：求解二元一次联立方程组
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
二、算法
• 1） 算法的时间复杂性 计算机运行时间
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
当n=20时，需要运算？？ 当n=100时，需要运算？？
二、算法
2） 算法的空间复杂性 占据计算机存储空间的多少
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一 个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语 言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算 法，就称为程序设计。