第十一章稳恒磁场习题课
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0 I 2 1 4a 2
1 4
a
L
a
S
A
a
AL 两端相对于R点所对应的
2 2
AL 在R点的磁感应强度大小为
0 I B2 sin sin 4a 2 4 0 I 2 1 L 4a 2
方向垂直于纸面向里
a
b
I
I 0 0 d m B dS BdS cos0 l1dx 2x 0 Il1 a l 2 dx 0 Il1 a l2 m ln a 2 x 2 a
0 I B 2x
a
d
l1
dx
c
x
例2.真空中一无限长载流
直导线LL在A点处折成
一.本章主要内容回顾
1.电流强度、电流密度
dI j n dS
dq I dt
2.电动势
l Ek dl
( E k为非静电场强)
3.磁通量
m s B dS
4.磁场的计算 1)毕奥---萨伐尔定理 2)电流产生磁场 0 Idl r B 3 4 r
大圆柱电流在O'出产生的磁感应强度为 0 I I a 2 2 R 1 0 Ia 即 B0 2 2
2 R1 R2
例5 一根很长的同轴电缆 , 由 一导体圆柱(半径为a)和一 同轴的导体管(内、外半径 分别为b、c)构成 , 使用时, 电流I从一导体流出去 , 从
0 I 2 1 4a 2
A
a
AL 两端相对于S点所对应的 2 1
4
2
R
a
L
AL在S点产生的磁感应强度
0 I B2 sin sin 4a 2 4
0 I 2 1 4a 2
B0
例6 发电厂的汇流条是两条 L=3.0m的平行铜棒. 它们相距 a=0.5m,接通电路时,棒中电流 是I=10000A,问此时汇流棒之 间的相互作用力多大.
1
2
X
dx df
a
o
解: 取如图示坐标. 在汇流棒2上 任取一电流元dx, 电流元dx所受安培力为
df IdlB
方向向左
其中B为1在dx处产生的磁感应强度
所取细环上的电荷运动速度相同 , 均为 r 其方向与半径垂直 , 所以旋转的细环在盘心O的 磁感应强度为
0 dqr 0 2rdr dB 2 4r 4 r
0 q r B 4 r 3
R
dr
0 dr 2
o r
(方向垂直盘面向外) 由于各细环在O处的磁感应强度方向相同,所以
0 Idl r dB 3 4 r
B dB 微观叠加 B Bi 场叠加 l B dl 0 I i
0 q r B 4 r 3
3)安培环路定理
4)运动电荷产生的磁场
5.磁场方程 1)磁场高斯定理
2)安培环路定理
2)圆盘的磁矩; 3)若此圆盘处在水平向右的匀强磁场B中, 求该圆盘所受的磁力矩.
解: (1)求圆盘中心的磁感应强度 可用两种方法求解. 方法1:根据运动电荷的磁场公式
0 q r B 4 r 3
R
dr
求解
o r
在圆盘上任取一半径为r,宽为dr的细环,
dq 2rdr
=q/ R2
0 I cos1 cos 2 B 4a
1
2
其中
cos1
L x 2 a2 L x 2
a
1
2 X dx
o
2
L x 2 cos 2 a2 L x 2
2
L x 2 0 I 2 df 4a a2 L x 2
N n 2R1
b
a
.........
c
B 0nI
d
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内 外
内
外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
静电场
E dl 0
比较
?
磁
场
i
B dl 0 I i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
1 E ds qi s 0
•无限长载流直导线
0 I B 2 a
0 I B 4 a
2
I
•半无限长载流直导线
1
B
•直导线延长线上
a
P
2. 圆电流轴线上某点的磁场 大小： B 2( R 2 x 2 )3 2 方向： 右手螺旋法则
0 IR 2
I
R
x
B
P x
(1) 载流圆环圆心处的 B
(2) 载流圆弧 圆心角
2
L x 2 a2 L x 2
2
dx
所有df方向相同(向左) 故
L x L x 0 I L 2 2 2 f df 4a L 2 a 2 L x 2 a2 L x 2 2
2
dx 2
R
a
L
直角,在LAL平面内,求R、
S两点出的磁感应强度的 大小.
a
L
a
S
A
解:对于R点,LA的两端相对于
a
R点所对应的
1 2
2 4
所以LA在R点的磁感应强度B1 的大小为
R
a
L
0 I B1 sin sin 4a 4 2
故R点的磁感应强度大小为
R
a
L
a a
S
A
0 I 2 2 BR B1 B2 4a
a
对于S点: LA在S点产生的磁感应强度
LA 两端相对于S点所对应的
1 2
2 4
R
a
L
a a
S
0 I B1 sin sin L 4a 4 2
积分 , 以L=3m，I=10000A , a=0.5m代入 , 得
f=102N
0 I 讨论:若磁场感应强度按 B 2a 计算f=?
试比较两者的误差
例7 一塑料薄圆盘,半径为R , 电荷q均匀分布于表面 , 圆盘绕通过盘心垂直面 的轴匀速转动 , 角速度
R
q
o
求 1)圆盘中心处的磁感应强度;
a
L
a
S
A
a
S点磁感应强度
2 0 I Bs B1 B2 4a
例3.两根导线沿半径方向引到铁环上的A、 B两点,并在很远处与电源相连,求环中心的 磁感应强度.
解: O点的磁感应强度为1、 2、3、4、5段载流导线在 O点产生的磁感应强度的 矢量和.
B0 B1 B2 B3 B4 B5
设为导线电阻率,S为截面积
0 I 1 l1 I 2 l 2 B0 2 Rl
0 S l1 l2 I1 I 2 2 Rl S S
0 S I1 R1 I 2 R2 2 Rl
R1、R2分别为1导线和2导线的电阻,显 然I1R1=I2R2=VAB ,因此 B0=0
例4.
一根外半径为R1的无限长圆柱
形导体管 , 管内空心部分的半
径为R2 , 空心部分的轴与圆柱 的轴相平行但不重合, 两轴间 距离为a(a>R2) , 现有电流I沿 导体管流动 , 电流均匀分布在
O O
a R2
I
管的横截面上 , 方向与管轴平
行. 求: 1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小.
R1
2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小.
0 dI
(方向垂直盘面向外)
o r
dr
积分结果与方法1相同.
2)根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为
dq dpm SdI r 2
2
r dr
3
由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为
p m dp m 0
R
1 1 2 4 r dr R qR 4 4
c
a
b
另一导体流回. 设电流都是
均匀地分布在导体横截面 上。
求: 空间各点处磁感应强度
大小的分布。
I 2 I r 1） r<a a 2 0 Ir 0 Ir 2 B B 2r 2 2 2 a a 2) a<r<b 0 I B 2r 0 I B 2 r
O
O
I
a R2
R1
1)圆柱轴线上的磁感应强度B0
大圆柱电流在轴线O上产生的磁场为零
0 I 小圆柱电流在轴线O上产生的磁感应强度为 2a
即
B0
0 IR2
2 2
2a R1 R2
2
O
2)空心部分轴线上磁感应强度B0' 小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零
O
I
a R2
R1
由于空心部分的存在,磁场的柱对称性被破坏 , 因而 解: 此题解法需用填补法.(应保持原有的电流密度不变.) 以电流I'填满空心部分
I 2 I R 2 2 2 R1 R2
然后再用- I'填一次,以抵消第一次填补的影响,因而整 个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个半径为R2的 反向圆柱电流-I'产生的磁场的叠加.
6.载流线圈的磁矩 P NISn m
7.电磁相互作用
1)安培定律
df Id l B
(稳恒磁场无源) S B dS 0 l B dl 0 I i (稳恒磁场有旋)
n
S
I
2)磁场对载流导线的安培力
f l Idl B
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
二.典型例题
例1. 一无限长直导线通有电流I,求通过矩形线框 l2 abcd(与直导线共面)的磁通量.
解:在abcd内任取一面积元dS=l1dx, 在此面积元内磁感应强度可看作常 量.
O点在3和4的延长线上,5离 O点可看作无限远,故:
B3 0 B4 0 B5 0
设1圆弧弧长l1,2圆弧弧长l2, 圆的周长为l l2 0 I 2 l1 0 I1 B2 B1 l 2R l 2R 故
0 I 1 l1 I 2 l 2 B0 B1 B2 2 Rl
3)磁场对载流线圈的作用力矩
M Pm B
4)磁场对运动电荷的洛仑兹力
5)磁力作功 8.霍耳电压
A
F q B
m2 m1
Id m
1 ( RH ) nq
UH
IB RH b
本章一些重要的结论
1. 直电流的磁场
0 I B (cos1 cos 2 ) 4a
0 I
2R
0 I B 2 R 2 4R
0 I
3. 长直载流螺线管
5. 环形载流螺线管
0 nI B 0
内 外
4. Βιβλιοθήκη Baidu限大载流导体薄板
0 NI B 2r 0
内 外
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
R1、R2 R1 R2
0 R 0 q 0 R B dB 0 dr 2R 2 2
(方向垂直盘面向外)
用圆电流公式计算 . 圆盘旋转时相当于不同 方法2: 半径的圆电流的集合.如上所取细环对应的 电流 dI dq 2 R 其中在O处的磁感应强度
0dq 0 dB dr 2r 2 4r
解: 根据 安培环路定理
l B dl 0 I
i
c
a
b
r
3)
2 2 I c r 2 2 I 2 I I r b 2 2 c b c b2
b<r<c
4) r>c
0 I c 2 r 2 B 2r c 2 b 2
I I I 0
1 4
a
L
a
S
A
a
AL 两端相对于R点所对应的
2 2
AL 在R点的磁感应强度大小为
0 I B2 sin sin 4a 2 4 0 I 2 1 L 4a 2
方向垂直于纸面向里
a
b
I
I 0 0 d m B dS BdS cos0 l1dx 2x 0 Il1 a l 2 dx 0 Il1 a l2 m ln a 2 x 2 a
0 I B 2x
a
d
l1
dx
c
x
例2.真空中一无限长载流
直导线LL在A点处折成
一.本章主要内容回顾
1.电流强度、电流密度
dI j n dS
dq I dt
2.电动势
l Ek dl
( E k为非静电场强)
3.磁通量
m s B dS
4.磁场的计算 1)毕奥---萨伐尔定理 2)电流产生磁场 0 Idl r B 3 4 r
大圆柱电流在O'出产生的磁感应强度为 0 I I a 2 2 R 1 0 Ia 即 B0 2 2
2 R1 R2
例5 一根很长的同轴电缆 , 由 一导体圆柱(半径为a)和一 同轴的导体管(内、外半径 分别为b、c)构成 , 使用时, 电流I从一导体流出去 , 从
0 I 2 1 4a 2
A
a
AL 两端相对于S点所对应的 2 1
4
2
R
a
L
AL在S点产生的磁感应强度
0 I B2 sin sin 4a 2 4
0 I 2 1 4a 2
B0
例6 发电厂的汇流条是两条 L=3.0m的平行铜棒. 它们相距 a=0.5m,接通电路时,棒中电流 是I=10000A,问此时汇流棒之 间的相互作用力多大.
1
2
X
dx df
a
o
解: 取如图示坐标. 在汇流棒2上 任取一电流元dx, 电流元dx所受安培力为
df IdlB
方向向左
其中B为1在dx处产生的磁感应强度
所取细环上的电荷运动速度相同 , 均为 r 其方向与半径垂直 , 所以旋转的细环在盘心O的 磁感应强度为
0 dqr 0 2rdr dB 2 4r 4 r
0 q r B 4 r 3
R
dr
0 dr 2
o r
(方向垂直盘面向外) 由于各细环在O处的磁感应强度方向相同,所以
0 Idl r dB 3 4 r
B dB 微观叠加 B Bi 场叠加 l B dl 0 I i
0 q r B 4 r 3
3)安培环路定理
4)运动电荷产生的磁场
5.磁场方程 1)磁场高斯定理
2)安培环路定理
2)圆盘的磁矩; 3)若此圆盘处在水平向右的匀强磁场B中, 求该圆盘所受的磁力矩.
解: (1)求圆盘中心的磁感应强度 可用两种方法求解. 方法1:根据运动电荷的磁场公式
0 q r B 4 r 3
R
dr
求解
o r
在圆盘上任取一半径为r,宽为dr的细环,
dq 2rdr
=q/ R2
0 I cos1 cos 2 B 4a
1
2
其中
cos1
L x 2 a2 L x 2
a
1
2 X dx
o
2
L x 2 cos 2 a2 L x 2
2
L x 2 0 I 2 df 4a a2 L x 2
N n 2R1
b
a
.........
c
B 0nI
d
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体
内 外
内
外
E 2 0 r r E 2 0 R 2 E 2 0 r
0 I B 2r 0 Ir B 2R 2 0 I B 2r
静电场
E dl 0
比较
?
磁
场
i
B dl 0 I i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
1 E ds qi s 0
•无限长载流直导线
0 I B 2 a
0 I B 4 a
2
I
•半无限长载流直导线
1
B
•直导线延长线上
a
P
2. 圆电流轴线上某点的磁场 大小： B 2( R 2 x 2 )3 2 方向： 右手螺旋法则
0 IR 2
I
R
x
B
P x
(1) 载流圆环圆心处的 B
(2) 载流圆弧 圆心角
2
L x 2 a2 L x 2
2
dx
所有df方向相同(向左) 故
L x L x 0 I L 2 2 2 f df 4a L 2 a 2 L x 2 a2 L x 2 2
2
dx 2
R
a
L
直角,在LAL平面内,求R、
S两点出的磁感应强度的 大小.
a
L
a
S
A
解:对于R点,LA的两端相对于
a
R点所对应的
1 2
2 4
所以LA在R点的磁感应强度B1 的大小为
R
a
L
0 I B1 sin sin 4a 4 2
故R点的磁感应强度大小为
R
a
L
a a
S
A
0 I 2 2 BR B1 B2 4a
a
对于S点: LA在S点产生的磁感应强度
LA 两端相对于S点所对应的
1 2
2 4
R
a
L
a a
S
0 I B1 sin sin L 4a 4 2
积分 , 以L=3m，I=10000A , a=0.5m代入 , 得
f=102N
0 I 讨论:若磁场感应强度按 B 2a 计算f=?
试比较两者的误差
例7 一塑料薄圆盘,半径为R , 电荷q均匀分布于表面 , 圆盘绕通过盘心垂直面 的轴匀速转动 , 角速度
R
q
o
求 1)圆盘中心处的磁感应强度;
a
L
a
S
A
a
S点磁感应强度
2 0 I Bs B1 B2 4a
例3.两根导线沿半径方向引到铁环上的A、 B两点,并在很远处与电源相连,求环中心的 磁感应强度.
解: O点的磁感应强度为1、 2、3、4、5段载流导线在 O点产生的磁感应强度的 矢量和.
B0 B1 B2 B3 B4 B5
设为导线电阻率,S为截面积
0 I 1 l1 I 2 l 2 B0 2 Rl
0 S l1 l2 I1 I 2 2 Rl S S
0 S I1 R1 I 2 R2 2 Rl
R1、R2分别为1导线和2导线的电阻,显 然I1R1=I2R2=VAB ,因此 B0=0
例4.
一根外半径为R1的无限长圆柱
形导体管 , 管内空心部分的半
径为R2 , 空心部分的轴与圆柱 的轴相平行但不重合, 两轴间 距离为a(a>R2) , 现有电流I沿 导体管流动 , 电流均匀分布在
O O
a R2
I
管的横截面上 , 方向与管轴平
行. 求: 1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小.
R1
2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小.
0 dI
(方向垂直盘面向外)
o r
dr
积分结果与方法1相同.
2)根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为
dq dpm SdI r 2
2
r dr
3
由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为
p m dp m 0
R
1 1 2 4 r dr R qR 4 4
c
a
b
另一导体流回. 设电流都是
均匀地分布在导体横截面 上。
求: 空间各点处磁感应强度
大小的分布。
I 2 I r 1） r<a a 2 0 Ir 0 Ir 2 B B 2r 2 2 2 a a 2) a<r<b 0 I B 2r 0 I B 2 r
O
O
I
a R2
R1
1)圆柱轴线上的磁感应强度B0
大圆柱电流在轴线O上产生的磁场为零
0 I 小圆柱电流在轴线O上产生的磁感应强度为 2a
即
B0
0 IR2
2 2
2a R1 R2
2
O
2)空心部分轴线上磁感应强度B0' 小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零
O
I
a R2
R1
由于空心部分的存在,磁场的柱对称性被破坏 , 因而 解: 此题解法需用填补法.(应保持原有的电流密度不变.) 以电流I'填满空心部分
I 2 I R 2 2 2 R1 R2
然后再用- I'填一次,以抵消第一次填补的影响,因而整 个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个半径为R2的 反向圆柱电流-I'产生的磁场的叠加.
6.载流线圈的磁矩 P NISn m
7.电磁相互作用
1)安培定律
df Id l B
(稳恒磁场无源) S B dS 0 l B dl 0 I i (稳恒磁场有旋)
n
S
I
2)磁场对载流导线的安培力
f l Idl B
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
二.典型例题
例1. 一无限长直导线通有电流I,求通过矩形线框 l2 abcd(与直导线共面)的磁通量.
解:在abcd内任取一面积元dS=l1dx, 在此面积元内磁感应强度可看作常 量.
O点在3和4的延长线上,5离 O点可看作无限远,故:
B3 0 B4 0 B5 0
设1圆弧弧长l1,2圆弧弧长l2, 圆的周长为l l2 0 I 2 l1 0 I1 B2 B1 l 2R l 2R 故
0 I 1 l1 I 2 l 2 B0 B1 B2 2 Rl
3)磁场对载流线圈的作用力矩
M Pm B
4)磁场对运动电荷的洛仑兹力
5)磁力作功 8.霍耳电压
A
F q B
m2 m1
Id m
1 ( RH ) nq
UH
IB RH b
本章一些重要的结论
1. 直电流的磁场
0 I B (cos1 cos 2 ) 4a
0 I
2R
0 I B 2 R 2 4R
0 I
3. 长直载流螺线管
5. 环形载流螺线管
0 nI B 0
内 外
4. Βιβλιοθήκη Baidu限大载流导体薄板
0 NI B 2r 0
内 外
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
R1、R2 R1 R2
0 R 0 q 0 R B dB 0 dr 2R 2 2
(方向垂直盘面向外)
用圆电流公式计算 . 圆盘旋转时相当于不同 方法2: 半径的圆电流的集合.如上所取细环对应的 电流 dI dq 2 R 其中在O处的磁感应强度
0dq 0 dB dr 2r 2 4r
解: 根据 安培环路定理
l B dl 0 I
i
c
a
b
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3)
2 2 I c r 2 2 I 2 I I r b 2 2 c b c b2
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0 I c 2 r 2 B 2r c 2 b 2
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