江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研

2012～2013学年度第一学期期中考试

高三数学试题

（考试时间：120分钟；分值：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．

1．已知点A(1,1)，点B(3,5)，则向量AB 的模为 ▲ ． 2．已知集合2{|230}M x x x =--=，{|42}N x x =-<≤，则M

N = ▲ ．

3．各项是正数的等比数列}{n a 中，2a ，32

1

a ，1a 成等差数列，则数列}{n a 公比

q= ▲ ．

4．已知函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛

⎫><≤ ⎪⎝⎭，且此

函数的图象如图所示，则点(),ωϕ 的坐标是 ▲ ．

5．已知x >1，则2

1

x x +

-的最小值为 ▲ ． 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，3

2

5=

b ，4

π

=

A ，则=

B cos ▲ ．

7．若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为 ▲ ． 8．已知1cos ,cos()7

14ααβ=-=

，且02

π

βα<<<，则cos β= ▲ ．

9．定义在R 上的函数f (x )满足⎩⎨

⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2

x x f x f x x x f ，则f (5)= ▲ ．

10． 已知数列{n a }的前n 项和n S 满足22n n S n a +=，则数列{n a }的通项公式为 ▲ ．

11．设函数()[)1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，则方程()2log f x x =有 ▲ 个根．

12．已知函数()31

23

f x x x =+，对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立，

则x 的取值范围是 ▲ ．

13．设等比数列{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列

{}n a 的前n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的n-1

项的乘积， 即()(),,n

n k

T T k n k N k n a *=

∈≤，则数列()()()

12n n n n n S T T T T n +++的前n 项的和

是 ▲ (用1a 和q 表示)

14．已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表．

x

－1 0 4 5 ()f x

1

2

2

1

()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示：

下列关于()f x 的命题：①函数()f x 是周期函数；

②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数

()y f x a =-的零点个数可能．．

为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ▲ ．

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =， 且137,,a a a 成等比数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫

⎨⎬⋅⎩⎭

的前n 项和，求2012T 的值.

16．（本小题满分14分）

已知(

)

3sin ,sin a x x =

，()sin ,cos b x x =，设函数()f x a b =⋅，π

[,π]2

x ∈

(Ⅰ)求函数()f x 的零点；

(Ⅱ)求函数()f x 的最大值和最小值.

17．（本小题满分14分）

已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||).f x g x = (Ⅰ)求实数a ，b 的值；

(Ⅱ)若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）定义在[p,q]上的一个函数

m （x ），用分法

01:i n T p x x x x q =<<

<<

<=将区间[p,q]任意划分成n 个小区间，

如果存在一个常数M>0，使得和式11

()()n

i i i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 为在[p,q]

上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求

M 的最小值；若不是，请说明理由。（参考公式：

121

()()()n

i

i f x f x f x ==

++∑……+()n f x ）

18．（本小题满分16分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上。已知

20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE 。

(Ⅰ)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；