(完整版)专题——平行线的有关证明

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平行线的性质及推导方法

平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。

一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。

证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。

由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。

2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。

证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。

先证明内错角相等，连接AC、BD。

由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。

同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。

二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。

证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。

若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。

由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。

又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。

由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。

同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。

综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。

《平行线的性质》平行线的证明PPT课件

C
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：
AD∥BC.
证法三：
A
D
3
如图，连接BD（构造一组内错角）
4
∵AB∥CD（已知）
B 12
C
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
所以∠BDF=∠EDF.
课堂小结
已知
同位角相等内错角相等同旁内角互补
得到
判定性质
得到两直线平行
已知
1ppt.
如果∠1 ≠ ∠2c，n AB与CD的位置P课P件T 关系会怎样呢/？kejia
存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直
n/ 语文
线平行”相矛盾.
课件
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，
/kejia n/yu
所以∠1 =∠2.
wen/
总结归纳
5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. D
C
于是∠D=180 °-∠A=180°-
100°=80°
A
B
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
第七章平行线的证明
平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）

平行线的相关证明

平行线的相关证明平行线是几何学中的基本概念，它有着广泛的应用和重要的性质。

平行线的相关证明主要涉及平行线的定义、性质和判定方法。

本文将详细介绍平行线的相关证明，包括平行线的定义、欧氏几何中平行线的性质以及平行线的判定方法。

一、平行线的定义平行线的定义是指在平面上的两条不相交且不相交的直线。

在欧氏几何中，我们可以通过两种常见的方式来定义平行线：1.两条直线在平面上无交点；2.两条直线在平面上有且只有一个公共点。

这两种定义是等价的，即一个定义成立时，另一个定义也成立。

这是因为如果两条直线在平面上无交点，则它们必定没有公共点；反之亦然。

二、欧氏几何中平行线的性质欧氏几何中的平行线具有以下性质：1.平行线具有传递性：如果直线a//直线b，直线b//直线c，则直线a//直线c。

即如果两条直线分别与一条第三条直线平行，则这两条直线之间也平行。

证明：假设直线a与直线b分别与直线c平行。

由于直线a与直线b 平行，根据定义，它们可以看作是两个垂直于直线c的平行线。

而直线b 与直线c平行，同理可以得到。

因此，根据两个平行线的定义，直线a与直线c也平行。

2.平行线与平行线的交线也是平行线：如果直线a//直线b，直线a 与直线c相交于点P，则直线b与直线c也平行。

证明：假设直线a与直线b平行，直线a与直线c相交于点P。

通过点P引直线d//直线a。

根据传递性的性质，直线d与直线b平行。

又根据两个平行线的定义，直线b与直线c平行。

3.平行线与一般直线之间的夹角为等角：如果直线a//直线b，直线c与直线a相交于点P，则直线c与直线b之间的夹角与直线a与直线b 之间的夹角相等。

证明：假设直线a与直线b平行，直线c与直线a相交于点P。

通过点P引直线d//直线b，直线d与直线c相交于点Q。

由于直线d与直线b 平行，根据等角三角形的性质可知角PAQ与角ABC相等。

又根据等角三角形的性质可知角ABC与角PAB相等。

因此，根据等角三角形的性质可知角PAB与角PAQ相等。

平行线的证明题及答案

平行线的证明题及答案关于平行线的证明题及答案平行线是几何的知识，关于平行线的证明该怎么解决呢?这类的证明蕴含着那些数学原理呢?下面就是店铺给大家整理的平行线的证明内容，希望大家喜欢。

平行线的证明方法一当∠BPD=∠B+∠D时可以判断AB∥CD过P作PE∥AB则∠BPE=∠B而∠BPD=∠B+∠D∴∠EPD=∠D故PE∥CD∴AB∥CD证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)平行线的证明方法二“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC 的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。

三条平行线平行的三种证法

三条平行线平行的三种证法哎，说到平行线，你是不是第一时间就想起那种在数学书上看得头都大、手都酸的题目？“这两条线平行，为什么再画一条出来还得证明它平行？”心里是不是想：“这不是显而易见的吗？就像我和我的沙发，永远是平行的！”平行线看似简单，但在数学里，平行这两个字可得讲清楚了。

今天就给大家讲讲，平行线这个事儿怎么证明，分成三种方式，不信你听我说完，包你也能听懂。

先说第一个方法，比较经典，也是最直接的，就是通过角度来证明。

想象一下，你坐在教室里，前面有两条平行的黑板，嗯，不管怎么坐，眼睛看着总是一条直线，那你能不能根据这个角度证明它们是平行的呢？答案是能的！我们有个定理叫做“同位角相等定理”。

啥意思呢？假设你画了一条横线把两条平行线给横穿了，哎，咱不管这横线怎么走，总会有几个角对上来。

有一个角，你站着看，就像两条平行线的“眼睛”，它们望着的角度是一样的。

如果这两个角相等，那么这两条直线就可以被认为是平行的了。

这就好比你和好朋友看同一场电影，感受一模一样，差不多就是同位角相等的意思。

别说，看着这些角，真就能把平行给证明出来。

你说，数学是不是挺神奇？然后，来点不一样的，你有没有想过通过利用平行线间的距离来证明平行？你可能会说：“啊？这也能证明？”没错！平行线之间的距离，理论上永远是一样的。

你想象一下两条平行线，就像是铁轨一样，你站在上面走，感觉始终不变的，哪怕走到天荒地老，那两条铁轨的距离也不会变。

这是因为平行线定义里就有这样的特性：它们之间的距离，永远保持一致。

所以如果你能测量两条直线之间的距离，发现每一处都一样，那这两条线肯定是平行的。

咋样？是不是觉得挺有意思的？想象一下，在生活中找找那些一直保持相同距离的事物，原来不止铁轨，很多东西都能让你联想到平行线呢！不过说到第三种方法，那可就有点“黑科技”了。

这种方法不光是直线，它还涉及了角度和平行线的位置。

你是不是有点摸不着头脑了？别急，我慢慢说。

这个方法的关键在于，如果你给我两条直线，我不单单看它们之间有没有相等的角度，也不只看它们之间的距离恒不恒定，我还得注意这些线的相对位置。

专题12 平行线的证明压轴题的三种考法(原卷版)(北师大版)

专题12平行线的证明压轴题的三种考法类型一、三角形折叠问题(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC '∠=︒，则C ∠＝，可以发现ADC ∠的数量关系是；(2)如图2，当点C 落在ABC 内部时，且42BEC '∠=︒，20ADC '∠=︒，求C ∠的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC 外部时，若设BEC '∠的度数为x ，ADC '∠的度数为y ，请求出C ∠与x ，y 之间的数量关系．(1)如图1，点P 与点E 重合时，用含α的式子表示DEF ∠；(2)当点P 与点E 不重合时，①如图2，若22.5,AP α=︒平分,BAE PD ∠交AB 于点G ，猜想,,AC AF DG 关系，并说明你的理由；②若BAD β∠=，请直接写出APD ∠的大小（用含,αβ的式子表示）．【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ．这时，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于同一点，如图2，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图3所示，直接写出1∠、2∠、3∠、4∠、5∠、6∠之间的数量关系_______；（4）折叠后如图4，直接写出1∠、2∠、3∠、4∠、5∠、6∠之间的数量关系：_______；【变式训练2】（1）如图，把ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点1A 处，试探究1∠、2∠与A ∠的关系；（2）如图2，若1140∠=︒，280∠=︒，作ABC ∠的平分线BN ，与ACB ∠的外角平分线CN 交于点N ，求BNC ∠的度数；（3）如图3，若点1A 落在ABC 内部，作ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点1A ，此时1∠，2∠，1BA C ∠满足怎样的数量关系？并给出证明过程．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠(2)当∠A′EB′=13∠B′EB时，设∠A′EB′=x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠由．类型二、三角形内角和定理与外角和定理(1)求证：CD AB ⊥；(2)若2ACB ABE ∠=∠，求证：AC BC =；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BE 至点G ，连接AG ，CG 求线段AB 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）(1)如图1，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个内角ABC ∠，ACB ∠的平分线，说明D ∠=的理由．【深入探究】(2)①如图2，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个外角EBC ∠，FCB ∠的平分线，D ∠间的等量关系是；②如图3，BD ，CD 分别是ABC 的一个内角ABC ∠和一个外角ACE ∠的平分线，类型三、平行线性质与判定例．如图①，已知AB CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，EFB B ∠=∠，FH FB ⊥，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知70EFD ∠=︒，求B ∠的度数；(2)求证：FH 平分GFD ∠．(3)在（1）的条件下，若30FQH ∠=︒，将FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH 与EBF △某一边平行？(4)在（3）的条件下，直接写出DFQ ∠与GFH ∠之间的关系．【变式训练1】如图，AB CD ，点P 在直线AB 上，作50BPM ∠=︒，交CD 于点M ，点F 是直线CD 上的一个动点，连接PF ，PE CD ⊥于点E ，PN 平分MPF ∠．(1)若点F 在点E 左侧且32PFM ∠=︒，求NPE ∠的度数；(2)当点F 在线段EM （不与点M ，E 重合）上时，设PFM α∠=︒，直接写出NPE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(3)将射线PF 从（1）中的位置开始以每秒10︒的速度绕点P 逆时针旋转至PM 的位置，转动的时间为t 秒，求当t 为何值时，FPM 为直角三角形．【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知AD BC ∥EF ∥，求证：AEB DAE CBE ∠=∠+∠；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．70AEB ∠=︒，30DAE ∠=︒，求CBE ∠的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点，若AE 平分DAC ∠，CAB ABC ∠=∠．①试求出BAE ∠的度数；②已知AEB ABE ∠=∠，30EBC ∠=︒，点G 是直线AD 上的一个动点，连接CG 并延长．2.1若CA 恰好平分BCD ∠，当CG 与四边形ABCD 中一边所在直线垂直时，ACG ∠=________；2.2如图4，若CG 是ACD ∠的平分线，与BA 的延长线交于点F ，与AE 交于点P ，且BFC α∠=︒，则ADC ∠=________︒（用含α的代数式表示）．课后训练4．（1）如图1，将ABC 纸片沿A A DC A EB ''∠∠∠、、之间的数量关系为：（2）如图2，若将（1）中“点A 落在四边形外点A '的位置”，则此时,A ∠∠（3）如图3，将四边形纸片ABCD （90C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若115D EC '∠=︒，45A FB '∠=︒，求ABC ∠的度数；（4）在图3中作出D EC A FB ''∠∠、的平分线EG 、FH ，试判断射线EG 、FH 的位置关系，当点E 在DC 边上向点C 移动时（不与点C 重合），D EC A FB ''∠∠、的大小随之改变（其它条件不变），上述EG ，FH 的位置关系改变吗？为什么？5．如图1至图2，在ABC 中，BAC α∠=，点D 在边AC 所在直线上，作DE 垂直于直线BC ，垂足为点E ；BM 为ABC 的角平分线，ADE ∠的平分线交直线BC 于点G ．(1)如图1，延长AB 交DG 于点F ，若BM DG ∥，30F ∠=︒．①ABC ∠=________；②求证：AC AB ⊥；(2)如图2，当90α<︒，DG 与BM 反向延长线交于点H ，用含α的代数式表示BHD ∠；(3)当点D 在直线AC 上移动时，若射线DG 与射线BM 相交，设交点为N ，直接写出BND ∠与α的关系式．。

八年级数学平行线的证明知识点

八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。

写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。

八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。

2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

平行线有关证明范文

平行线有关证明范文平行线是指在同一个平面上没有任何交点的两条直线。

在数学中，有一些经典的平行线性质可以通过证明来得到。

下面将介绍其中几个较为常见和重要的平行线性质的证明。

1.在一个平面内，如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线也必然相交。

证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F。

为了证明EF与BD不相交，我们假设它们相交，交点为G。

因为EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：BE/EA=BG/GF。

又因为EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：FD/DE=FG/GC。

我们将上面的两个等式相加，得到：(BE/EA)+(FD/DE)=(BG/GF)+(FG/GC)。

因为AB和CD是平行线，所以根据平行线的定义，BE/EA=FD/DE，所以上面的等式可以化简为：2(BE/EA)=2(BG/GF)。

由于左右两边相等，我们可以得到BE/EA=BG/GF。

根据相交线段定理，这意味着EF与BD平行，与我们的假设相矛盾。

因此，EF与BD不相交，证明了EF与BD平行。

2.平行线之间的夹角等于与这两条平行线相交的直线上所夹的对应角。

证明：设AB和CD是两条平行线，EF是与AB和CD相交的一条直线，交点分别为E和F，交线与AB、CD的交点分别为G和H。

与AG、CF平行的直线分别为JK和LM，交线与JK、LM交点为N。

我们需要证明∠EFG=∠JMH。

首先，根据平行线性质可知，∠FDC=∠HDC，∠DAF=∠GAF。

同理，根据平行线性质可知，∠EAB=∠GAB，∠CEF=∠CEF。

由于EF与AB相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(BE/EA)=(BF/FA)。

同理，EF与CD相交，根据相交线段定理，我们可以得到：(DF/DC)=(DE/EC)。

由于和之前的证明过程相同，我们可以得到：(BE/EA)=(DF/DC)。

根据等比例线段定理，我们可以得到：BF/FA=DF/DC。

(完整版)平行线知识点+四大模型

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

证平行线的方法

证平行线的方法证明两条直线平行是几何学中常见的问题。

这里将介绍10种证明直线平行的方法，并提供详细描述。

方法一：使用平行线定理平行线定理是证明两条直线平行的最常用方法之一。

该定理表明：如果两条直线在平面上被一条直线所截，使得同侧内角和小于180度，则这两条直线将平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。

2. 根据角度关系计算同侧内角和。

3. 如果同侧内角和小于180度，则这两条直线平行。

方法二：使用垂直线段的特性两条直线垂直时，它们是平行的直线之一。

我们可以使用两条垂直线段的特性来证明两条直线平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和两条垂直线段。

2. 如果两条垂直线段长度相等，则这两条直线平行。

方法三：使用相似三角形的特性相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。

我们可以使用相似三角形的特性来证明两条直线平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和相似三角形。

2. 如果这两条直线分别与相似三角形的两个平行边相交，则它们平行。

方法四：使用平移变换平移变换是一种几何变换，可以将图形平移或移动。

如果两条直线平移后仍平行，则它们是平行线。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们的中垂线。

2. 对图形进行平移变换，将其中一条直线平移至另一条直线的位置。

3. 如果两条直线在平移过程中一直保持平行，则它们是平行线。

方法五：使用对顶角的特性对顶角是指两条直线交叉形成的相对角。

如果这些角度相等，则这两条直线是平行线。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们之间的交点。

2. 计算对顶角。

3. 如果对顶角相等，则这两条直线是平行线。

方法六：使用欧几里德公理欧几里德公理是几何学中的三个基本公理之一，其中一个公理表明：如果一条直线被另一条直线截断，并且同侧内角和小于180度，则两条直线之间没有交点。

详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。

2. 根据欧几里德公理，如果同侧内角和小于180度，则这两条直线之间没有交点，因此是平行线。

证明平行线的判定定理

证明平行线的判定定理引言平行线是几何学中重要的概念之一。

本文将通过证明平行线的判定定理，深入探讨平行线的性质和判定方法。

目录1.定义和性质2.平等角定理3.平行线的判定定理4.证明1.情形一2.情形二5.结论1. 定义和性质在几何学中，我们把在同一个平面上没有交点的两条直线称为平行线。

平行线具有一些重要的性质： - 平行线永不相交，无论延长多远也不会相遇。

- 平行线与同一直线的截线之间的对应角相等。

- 平行线与同一直线的交线之间的内角互补，即互为补角。

2. 平等角定理在证明平行线的判定定理之前，需要先了解平等角定理。

平等角定理可以简单描述为：如果两条直线被切割形成的内角相等，则这两条直线平行。

3. 平行线的判定定理平行线的判定定理给出了几种方法来判断两条直线是否平行。

根据不同的情况，可以使用不同的方法来进行判定。

4. 证明本节将提供两种情况下平行线的判定定理的证明。

4.1. 情形一假设有两条直线AB和CD，我们想要证明这两条直线平行。

首先，我们需要证明其中一组内角相等，然后可以根据平等角定理得出结论。

证明过程： 1. 假设直线AB与CD相交于E点。

2. 延长直线AB至F点，使得AE=EF。

3. 连接CF。

4. 观察△ACF和△CED。

5. 根据三角形内角和定理，△ACF内角和为180°，而△CED内角和也为180°。

6. 由于∠ACF = ∠CED（原因见步骤4），且所对的边等长（AE=EF），根据三角形相似性质可知∆ACF与∆CED全等。

7. 由于已经证明了∆ACF与∆CED全等，根据全等三角形的性质，对应的角相等。

8. 因此，∠CAF = ∠CED。

9. 由于∠CAF与∠CED为内角，根据平等角定理，可以得出AB与CD平行。

4.2. 情形二假设有两条平行线AB和CD，我们需要证明这两条直线上的一组内角相等。

证明过程： 1. 假设直线AB和CD平行，并且相交于点E。

平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)

平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)
1. 平行线的定义
平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。

2. 平行线的判定条件
两条直线平行的判定条件有以下几种方法：
- 双曲线法：如果两条直线与第三条直线的交点分别为A、B 和C，且∠ABC = 180°，则AB与AC平行。

- 锐角法：如果两条直线分别与第三条直线的交点分别为A、B 和C，且∠CAB为锐角，则AB与AC平行。

- 平行线定理：如果两条直线被一条横向直线截断时，截断线上的对应角相等，则这两条直线平行。

3. 特殊平行线的性质
平行线有许多特殊性质，其中一些重要的性质为：
- 同位角性质：当一条截断线与两条平行线相交时，同位角相等。

- 内错角性质：当两条平行线被一条截断线截断时，内错角相等。

- 垂直平行线性质：两条平行线分别与一条横向直线相交，那
么它们分别与这条横向直线的垂直线也是平行的。

4. 平行线的应用
平行线在几何学和工程学中具有广泛的应用，包括但不限于以
下几个方面：
- 基础几何证明：平行线经常在几何证明中用于推导其他性质
和定理。

- 直角判定：通过观察两条直线是否平行来判断是否存在直角。

- 建筑与设计：在建筑和设计领域中，平行线被用于绘制平行
的墙壁、地板和天花板。

以上是关于平行线及特殊平行线的经典知识点，希望对您有所
帮助。

*注意：本文档中的内容仅供参考，详细信息请参考相关权威
教材或确认之后再引用。

*。

如何证明平行线的性质

如何证明平行线的性质平行线的性质是几何学中的基本概念之一，它们具有一些特殊的性质和定理，这些性质和定理在证明几何问题时起到了重要的作用。

本文将介绍如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明平行线的方法、相关的定理以及一些实际应用。

1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。

这意味着平行线之间的距离始终相等，且它们的斜率也相等。

2. 证明平行线的方法（1）使用平行线的定义证明：假设有两条直线AB和CD，要证明它们平行，则需要证明AB和CD的斜率相等。

首先利用两点间的斜率公式计算出AB和CD的斜率，然后比较它们的值，如果相等则可得出结论。

（2）使用平行线的性质证明：平行线具有一系列重要性质，例如在直线上的平行线上的任意一对相交的角度都相等，内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系。

可以根据这些性质来进行证明。

（3）使用横截线和平行线的性质证明：如果有一条直线与两条平行线相交，那么相交角的两边对应的内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系也成立，根据这些角度关系可以证明平行线。

3. 相关定理（1）同旁内角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁内角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。

（2）对顶角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得对顶角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。

（3）同旁外角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁外角对应的两个外角相等，则这两条直线平行。

4. 实际应用平行线的性质在实际生活和工作中有广泛的应用。

例如，在建筑设计和土木工程中，需要合理布置平行线来确保建筑物的结构稳定和施工的准确性。

在航空航天领域，平行线的性质也用于制定飞行路线以及预测天体运动。

此外，平行线还被应用于地图绘制、电路设计等众多领域中。

总结：本文介绍了如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明方法、相关定理以及实际应用。

通过深入理解平行线的性质和定理，可以更好地应用它们解决实际问题，并进一步推动几何学的发展与应用。

平行线几何证明范文

平行线几何证明范文1.平行线的定义和性质：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

平行线具有以下的性质：a.平行线与同一条直线的交线上的内角相等。

b.平行线与同一条直线的交线上的外角互补。

c.平行线之间的内角互补。

2.平行线证明的基本方法：平行线的证明可以采用多种方法，其中最常用的方法包括以下几种：a.利用平行线的性质和定理进行推理。

b.利用等角或等边关系进行推理。

c.采用反证法进行证明。

3.平行线的证明示例：下面我将通过两个具体的平行线证明示例来详细说明平行线的证明过程。

示例一：证明两直线平行的条件是它们的同位角相等。

已知：直线AB与直线CD相交于点O。

要证明：若∠AOC=∠BOD，则AB∥CD。

证明过程：a.假设直线AB与CD不平行，且交于点O。

b.由同位角定理可知，若∠AOC=∠BOD，则∠AOB=∠COD。

c.由直线AB与CD的交线上的内角相等性质可知，∠AOB=∠COD=∠COB=∠AOD。

d.由平行线的定义可知，直线AB与CD平行，与假设矛盾。

e.因此，若∠AOC=∠BOD，则AB∥CD。

示例二：证明两直线平行的条件是它们与同一条直线的交线上的外角互补。

已知：直线AB与直线CD相交于点O。

要证明：若∠AOD+∠COB=180°，则AB∥CD。

证明过程：a.假设直线AB与CD不平行，且交于点O。

b.由同位角定理可知，若∠AOD+∠COB=180°，则∠AOC+∠BOD=180°。

c.由直线AB与CD的交线上的外角互补性质可知，∠AOC+∠BOD=180°。

d.由平行线的定义可知，直线AB与CD平行，与假设矛盾。

e.因此，若∠AOD+∠COB=180°，则AB∥CD。

以上是两个具体的平行线证明示例，通过这些示例我们可以看出，在平行线的证明过程中，我们常常需要利用平行线的性质和定理，以及等角或等边关系进行推理和证明。

总结：平行线几何证明是平面几何中的一个重要内容，它是基于平行线的性质和定理进行推理和证明。

平行线的证明

平行线的证明平行线是几何学中的基本概念之一。

当两条直线在同一个平面上，且在任意一点处的夹角都相等时，我们称这两条直线为平行线。

平行线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。

本文将介绍平行线的证明及相关性质。

平行线的证明可以使用多种方法，其中最常见的方法是使用副角定理和对偶定理。

下面将分别介绍这两种方法。

1. 副角定理的证明副角定理是证明平行线的常用方法之一。

该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。

证明过程如下：假设AB和CD不平行。

那么它们必定会在某个点O相交。

根据副角定理，AOE和COF的内角之和为180度，BOE和DOF的内角之和为180度。

由于AOE和DOF是同旁内角，根据同旁内角定理，它们的外角之和等于180度。

但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。

这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。

根据副角定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。

2. 对偶定理的证明对偶定理是另一种证明平行线的方法。

该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。

证明过程如下：假设AB和CD不平行。

那么它们必定会在某个点O相交。

根据对偶定理，AOE和COF的同旁内角相等，BOE和DOF的同旁内角相等。

由于AOE和DOF是同旁内角，它们的外角之和等于180度。

但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。

这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。

根据对偶定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。

证明公理平行线性质定理

证明公理平行线性质定理一、证明：1.定理证明：假设有一条直线L和一点P，在平面上有且仅有一条经过点P且与直线L平行的直线。

证明：首先，假设存在两条经过点P且与直线L平行的直线，分别为直线m 和直线n。

由于直线m与直线L平行，所以它们不会相交。

同理，直线n也不会与直线L相交。

但是，根据两条直线的定义，直线m和直线n都必须经过点P。

这意味着直线m和直线n会相交于点P，与前提矛盾。

因此，不存在两条经过点P且与直线L平行的直线。

即有且仅有一条经过点P且与直线L平行的直线。

2.定义证明：定义一：线段线段是两个点之间的直线段。

证明：给定两个点A和B，通过这两个点可以画出一条直线，并且这条直线的两端分别是A和B。

这条直线上的点A和B就构成了一个线段。

因此，线段是两个点之间的直线段。

3.性质证明：如果两条直线平行，则它们不会相交。

证明：设有两条直线L1和L2，且L1，L2假设这两条直线相交于一点P。

由于L1和L2都是直线，所以它们在点P处交于同一条直线。

但是，根据定理证明的结论，两条平行直线只能有一个公共点，与前提矛盾。

因此，如果两条直线平行，则它们不会相交。

二、公理：公理是几何学中不需要证明但是被接受为真实的基本假设。

以下是一些几何学中常用的公理：1.点线公理：通过任意两点可以画出一条直线。

2.唯一性公理：通过一个点可以有且仅有一条直线平行于给定直线。

3.等距假设：给定一个线段，可以找到另一个线段，使得它们长度相等。

4.共线公理：给定一条直线上的三个点，它们一定共线。

这些公理形成了几何学的基础，用于推导其他几何学定理的证明过程。

三、平行线性质：平行线性质指的是平行线之间存在的一些特性和关系。

以下是一些平行线性质：1.同位角定理：当直线被一对平行线截断时，同位角相等。

2.内错角性质：直线被两条平行线截断时，内错角互补。

3.垂直平行线性质：如果一条直线与一条平行线垂直，则与这条直线平行的另一条直线也将与该平行线垂直。

(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案

平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。

平行线与平行四边形的性质证明

平行线与平行四边形的性质证明平行线和平行四边形是几何学中非常基础和重要的概念，它们之间存在着一些特定的性质和规律。

本文将对平行线和平行四边形的性质进行证明和讨论。

一、平行线的性质证明平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线的性质如下：1. 任意一条直线与平行线切割形成的对应角相等。

证明：设有一条平行线L1和一条与其相交的直线L2，分别交于点A和B，如图所示。

（插入图片）由于L1和L2是平行线，因此∠CAB和∠CBA是对应角，根据对应角的性质，∠CAB=∠CBA。

2. 平行线的任意一对内错角和外错角互补。

证明：设有一对平行线L1和L2，分别交于直线L3，如图所示。

（插入图片）∠A和∠E是内错角，∠B和∠G是内错角，∠A和∠G是外错角。

由于L1和L2是平行线，根据内错角和外错角的性质，∠A+∠E=180°，∠B+∠G=180°，且∠A+∠G=180°。

所以内错角和外错角互补。

3. 平行线的任意一对同旁内角互补。

证明：设有一对平行线L1和L2，分别交于直线L3，如图所示。

（插入图片）∠D和∠F是同旁内角，∠C和∠H是同旁内角。

由于L1和L2是平行线，根据同旁内角的性质，∠D+∠F=180°，∠C+∠H=180°。

所以同旁内角互补。

二、平行四边形的性质证明平行四边形是指四条边两两平行的四边形。

平行四边形的性质如下：1. 对角线互相平分。

证明：设有一个平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，如图所示。

（插入图片）由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。

根据平行线的性质，∠A=∠C，∠B=∠D。

又因为AO和CO是AC的两条边，所以AO=CO，同理BO和DO是BD的两条边，所以BO=DO。

所以对角线互相平分。

2. 相邻角互补。

证明：设有一个平行四边形ABCD，∠A和∠B是相邻角，∠C和∠D是相邻角，如图所示。

（插入图片）由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。