恒成立与存在性问题

1 2 1 2
1 2 1 2
求a
例3、已知f ( x) ax ln x, g ( x) x 2 x 2,
2
若对任意的x1 (0,)，均存在x2 0,1 ， 使得f ( x1 ) g x2 ，求a的范围。
转化为f x max g xmax的问题
1 3 2 2 ln x 例4、已知两个函数 f ( x) x e x m x 1, g ( x) , 3 x 若对任意的x1 , x2 (0,), 都有g ( x1 ) f ( x2 )成立，求m 的范围。
转化为g ( x) max f ( x) min的问题
x1, 对x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 )
f ( x)max g ( x)max
x1, x2 D, 使得f ( x1 ) g ( x2 )
f ( x)max g ( x)min
练习:已知函数f ( x) ax , g ( x) 2 ln x, (a>0)

例2。已知函数f ( x) ax2 , g ( x) 2 ln x, (1)若x

Hale Waihona Puke Baidu
2 , e , 使f ( x) g ( x)成立，求a.
(2)若x1 , x2 2 , e , 使f ( x1 ) g ( x2 )成立，求正 实数a的范围 .



两个变量
• 相等问题
• 大小问题
值域
g ( x)值域
x1, x2 D, 都有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)min g ( x)max 对x1, x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)min g ( x)min x1, x2 D, 使得f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)max g ( x)min
函数中的
恒成立和存在性问题
复习： 求参数
x D, a f ( x)恒成立 a f ( x)max ; x D, a f ( x)成立 a f ( x) min ;
x D, a f ( x)恒成立 a f ( x)min ; x D, a f ( x)成立 a f ( x)max
x1, x2 D, 都有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)min g ( x)max 对x1, x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)min g ( x)min x1, x2 D, 使得f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)max g ( x)min
x1, 对x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)max g ( x)max
恒成立和存在性问题
• 把含有相同变量的 移到同一侧 • 不同的变量 尽量拨开 分离开 放两侧 • 转化为两个函数 值域或最值的问题
x1, 对x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)max g ( x)max
对x1, x2 , 有f ( x1 ) g ( K x2 )
f ( x) min K
x2 , 有f ( x) min g ( x2 )
f ( x) min g ( x) min
例1 已知两个函数 f ( x ) x 1 , g ( x ) x a, 若x R, 使得f ( x) g ( x)成立，求a取 值范围。
例2。已知函数f ( x) ax , g ( x) 2 ln x,
2
若x

2 , e , 使f ( x) g ( x)成立，求a.
2
(2)若x , x 2, e, 使f ( x ) g ( x )成立，求 a (3)若x 2 , e, x 2 , e, 使f ( x ) g ( x )成立，
(1)若x1, x2 2, e , 使f ( x1 ) g ( x2 )成立，求 a
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D, 使得f ( x1 ) g ( x2 ) 两值域有交集 f ( x)值域 g ( x)值域 对x1, x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 )
x1, 对x2 , 都有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)
x1, x2 D, 使得f ( x1 ) g ( x2 ) 两值域有交集 f ( x)值域 g ( x)值域 对x1, x2 , 有f ( x1 ) g ( x2 )
x1, 对x2 , 都有f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x)
• 大小问题
值域
g ( x)值域