线性代数知识点总结
自考本线性代数知识点总结
自考本线性代数知识点总结一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是有向线段的数学表示,通常用加粗的小写字母来表示,如a、b等。
向量有大小和方向,可以表示为一组有序的数值,例如a=(a1, a2, ..., an)。
2. 向量的运算向量可以进行加法、数乘和内积运算。
加法是指对应位置上的数值相加,数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘,内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵通常用大写字母来表示,如A、B 等,可以表示为一个矩形数表格。
4. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。
矩阵的加法是指对应位置上的元素相加,数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘,矩阵的乘法则是一种复杂的运算,需要满足一定的规则。
5. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵,用A^T表示。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A,存在一个n阶方阵B,使得A与B的乘积为单位矩阵。
二、行列式和特征值1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质,它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。
行列式的计算是一个重要的线性代数知识点,非常重要。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要性质,它是矩阵A的一个标量λ,使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。
特征向量是对应于特征值的非零向量,它可以用来描述矩阵线性变换的方向。
三、线性方程组和矩阵的应用1. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组,它可以用矩阵的形式表示为AX=B,其中A为系数矩阵,X为未知数向量,B为常数向量。
2. 矩阵的应用矩阵在各个领域都有着广泛的应用,如在工程学中可以用来描述结构的受力分布,计算机科学中用来表示图像和二维图形的变换,物理学中用来描述物质的状态等。
四、线性变换和空间1. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,它满足两个性质:对于所有的向量u和v以及标量c,有T(u+v) = T(u) + T(v),T(cu) = cT(u)。
线性代数知识点总结完整
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式;推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式 在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作:A n.. 行列矩阵:只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵:两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵:AB 同型;且对应元素相等..记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵:不在主对角线上的元素都是零..单位阵:主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作:E注意 矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=;()()2A A A λμλμ+=+;()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =; ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定:A 0=E 只有方阵才有幂运算注意 矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =;()()2T T T A B A B +=+;()()3T T A A λλ=;()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =;()2n A A λλ=;(3)AB A B B A BA ===对称阵 设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵:AB =BA =E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在;()求;求。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。
它是高等数学的基础课程之一,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
下面将全面总结线性代数的知识点。
1.向量向量是线性代数的基本概念之一,它表示有方向和大小的物理量。
向量可以表示为一个有序的元素集合,也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。
2.向量空间向量空间是一组向量的集合,其中的向量满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。
向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数,也称为向量空间的基的个数。
3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念,它是由若干个数排成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质,矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。
4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式,其中未知数对应为向量。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。
5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。
行列式的值可以通过一系列的数学运算求得,它可以表示方阵的一些性质,例如可逆性、行列式的大小等。
6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值表示线性变换后的方向,特征向量表示与特征值对应的方向。
通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质,例如对角化、矩阵的相似等。
7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,它满足线性性质。
线性变换可以通过矩阵的乘法表示,矩阵中的元素代表了向量的变换规则。
8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。
最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题,它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。
9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏(列)展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算:①(定义法)②(降阶法)⾏列式按⾏(列)展开定理:⾏列式等于它的任⼀⾏(列)的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论:⾏列式某⼀⾏(列)的元素与另⼀⾏(列)的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵(不必同阶),则⑤关于副对⾓线:⑥范德蒙德⾏列式:证明⽤从第n⾏开始,⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍,按第⼀列展开,重复上述操作即可。
⑦型公式:⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列,保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式,其中,,等结构相同,再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏(或列)的元素写成两数和的形式,再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和,使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式,恒有:,其中为阶主⼦式;3. 证明的⽅法:①、;②、反证法;③、构造齐次⽅程组,证明其有⾮零解;④、利⽤秩,证明;⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系:第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作:或①同型矩阵:两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为.c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则,其中注:矩阵乘法不满⾜:交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘:,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量;c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质:,⑤矩阵的转置:把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵:⑥伴随矩阵:,为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵:,矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:r(A)与r(A*)的关系若r(A)=n,则不等于0,A*=可逆,推出r(A*)=n。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1:行列式、逆序数知识点2:余子式、代数余子式知识点3:行列式的性质知识点4:行列式按一行(列)展开公式知识点5:计算行列式的方法知识点6:克拉默法则第二章矩阵知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8:矩阵的乘法运算及运算律知识点9:计算方阵的幂知识点10:转置矩阵及运算律知识点11:伴随矩阵及其性质知识点12:逆矩阵及运算律知识点13:矩阵可逆的判断知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15:矩阵方程的求解知识点16:初等变换的概念及其应用知识点17:初等方阵的概念知识点18:初等变换与初等方阵的关系知识点19:等价矩阵的概念与判断知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21:矩阵的秩的概念与判断知识点22:矩阵的秩的性质与定理知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25:向量的概念及运算知识点26:向量的线性组合与线性表示知识点27:向量组之间的线性表示及等价知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念知识点29:线性表示与线性相关性的关系知识点30:线性相关性的判别法知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33:求向量组的最大无关组知识点34:有关向量组的定理的综合运用知识点35:内积的概念及性质知识点36:正交向量组、正交阵及其性质知识点37:向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38:向量空间(数一)知识点39:基变换与过渡矩阵(数一)知识点40:基变换下的坐标变换(数一)第四章线性方程组知识点41:齐次线性方程组解的性质与结构知识点42:非齐次方程组解的性质及结构知识点43:非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44:用初等行变换求解线性方程组知识点45:线性方程组的公共解、同解知识点46:方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47:方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48:特征值与特征向量的概念与性质知识点49:特征值和特征向量的求解知识点50:相似矩阵的概念及性质知识点51:矩阵的相似对角化知识点52:实对称矩阵的相似对角化.知识点53:利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54:二次型及其矩阵表示知识点55:矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57:二次型的标准形知识点58:用正交变换化二次型为标准形知识点59:用配方法化二次型为标准形知识点60:正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支,研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结:1.向量和向量空间:向量是有方向和大小的量,可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合,具有加法和标量乘法运算,同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵:线性方程组是一组线性方程的集合,研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组,可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算:包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算,可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值:行列式是一个标量,表示矩阵的一些性质,如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值,表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性:向量的内积是一种二元运算,可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量,可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解:向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影,可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射:线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数,具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量:特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念,用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵:正交矩阵是一个方阵,其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵,其转置等于自身。
10.奇异值分解:奇异值分解(SVD)是一种矩阵的分解方法,用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法:最小二乘法是一种数学优化方法,用来找到一条曲线或超平面,使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支,主要研究向量、向量空间(也称为线性空间)、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结:1. 向量与向量运算- 向量的定义:向量可以是有序的数字列表,用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法:两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法:一个向量与一个标量相乘,每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积(点积):两个向量的对应分量乘积之和,用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积(叉积):仅适用于三维空间,结果是一个向量,表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义:一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法:对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法:第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数,结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置:将矩阵的行变成列,列变成行。
- 单位矩阵:对角线上全是1,其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵:所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关:如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示,则这组向量是线性相关的。
- 线性无关:如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量,则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间(线性空间)- 定义:一组向量,它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间:向量空间的子集,它自身也是一个向量空间。
- 维数:向量空间的基(一组线性无关向量)的大小。
- 基和坐标:向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义:保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示,矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值:对应于线性变换的标量,使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量:与特征值对应的非零向量,变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换,行列式变号。
推论:假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕,等于k 乘以此行列式。
推论:假设行列式中两行〔列〕成比例,则行列式值为零;推论:行列式中*一行〔列〕元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上,值不变行列式依行〔列〕展开:余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理:行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式时,有唯一解:0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 :当系数行列式时,则只有零解01≠=D 逆否:假设方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法:用把化为零,。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念:〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算:加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂:2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵:对角矩阵:假设AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵:相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置注:把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵:设A 是N 阶方阵,假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的,(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆,则满秩假设A 是非奇异矩阵,则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵,行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆;③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④假设A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法:归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注:矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵:可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的;矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型:若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量;向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示;线性表示的判定2线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵:二次型的定义;二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法;初等变换法;正交变换法;合同矩阵;二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换:即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
线性代数知识点简单总结
线性代数知识点简单总结线性代数是数学的一个分支,主要研究向量、向量空间(也称为线性空间)、线性变换以及线性方程组的理论。
以下是线性代数的一些核心知识点的简单总结:1. 向量与空间- 向量:可以视为空间中的点或箭头,具有大小和方向,可以进行加法和数乘运算。
- 零向量:所有向量加法的单位元,加任何向量结果不变。
- 单位向量:长度为1的向量。
- 向量空间:一组向量的集合,其中任意向量的线性组合仍然在这个集合中。
- 子空间:向量空间的子集,自身也是一个向量空间。
- 维数:向量空间的基的大小,表示为n维空间。
2. 矩阵与线性变换- 矩阵:一个由数字排列成的矩形阵列,可以表示线性变换。
- 行向量与列向量:矩阵中的行和列可以被视为行向量或列向量。
- 线性变换:保持向量加法和数乘的函数,可以用矩阵来表示。
- 单位矩阵:对角线为1,其他为0的方阵,与任何矩阵相乘结果不变。
- 转置:将矩阵的行变成列,列变成行的操作。
3. 线性方程组- 齐次线性方程组:形如Ax=0的方程组,其中A是矩阵,x是未知向量。
- 非齐次线性方程组:形如Ax=b的方程组,b不是零向量。
- 行列式:方阵的一个标量值,可以表示矩阵表示的线性变换对空间体积的缩放因子。
- 克拉默法则:使用行列式解线性方程组的方法,适用于小规模且系数矩阵行列式非零的情况。
4. 特征值与特征向量- 特征值:一个标量λ,使得存在非零向量x满足Ax=λx。
- 特征向量:与特征值对应的非零向量x。
- 特征多项式:用于求解特征值的多项式,定义为det(A-λI)=0。
- 对角化:将矩阵表示为特征向量和特征值的组合。
5. 内积与正交性- 内积(点积):两个向量的函数,满足Schwarz不等式。
- 正交:两个向量的内积为零,表示它们在空间中垂直。
- 正交基:一组向量,任意两个向量都正交。
- 正交补:对于一个向量空间的子集,所有与该子集中所有向量正交的向量组成的集合。
6. 奇异值分解- 奇异值分解(SVD):将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积,即A=UΣV*。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)—行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:(三)按行(列)展开 9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号)klXn7、n 阶(n 》2)范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义:B=A-1 AB=E或 BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为注:A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质:( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法:( 1 ) A 为抽象矩阵:由定义或性质求解(2) A为数字矩阵:(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c(3)一行(列)乘k 加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
线性代数 知识点总结
线性代数知识点总结一、向量1、向量的定义向量是指具有大小和方向的量,通常用定位矢量、力、速度、加速度等概念来描述,是线性代数的基础概念之一。
在向量的表示上,通常用箭头表示。
2、向量的加法向量的加法满足结合律和交换律,即对于任意两个向量a、b和任意数α,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),α(a+b)=αa+αb。
3、向量的数量积向量的数量积又称内积或点积,是指两个向量相乘后相加的结果。
表示为a•b,数值为|a||b|cosθ,其中θ为a、b之间的夹角。
4、向量的线性相关与线性无关若存在一组不全为零的实数α1、α2、…、αn,使得α1a1+α2a2+…+αnan=0,则向量a1、a2、…、an为线性相关。
否则为线性无关。
5、向量的外积向量的外积又称叉积,是指两个向量相乘后得到一个垂直于原两个向量的新向量。
其模长为两个向量长度的乘积与夹角的正弦。
6、向量的投影向量a在向量b上的投影是指垂直于b的向量a′,满足a=a′+a″,其中a″即为a在b上的投影。
7、标量标量是没有方向的,只有大小的量。
标量和向量共同构成线性代数的基础。
二、矩阵1、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按特定顺序排列的格式,通常用方括号表示。
其中m、n分别称为矩阵的行数和列数。
2、矩阵的运算矩阵的加法、数乘、矩阵乘法等运算是线性代数中矩阵的重要运算。
矩阵乘法中的常见性质有结合律、分配律、非交换性等。
3、矩阵的转置矩阵的转置是指行列互换,即对于矩阵A,其转置记为A',且满足(a')ij=(a)ji。
4、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵的列向量(或行向量)组成的矩阵的秩。
矩阵的秩有着一系列重要性质和应用。
5、矩阵的逆若矩阵A存在逆矩阵A-1,使得AA-1=A-1A=I,其中I是单位矩阵,则称矩阵A可逆。
良态矩阵的逆矩阵具有诸多性质。
6、矩阵幂矩阵的幂是指将矩阵连续乘积的运算。
矩阵幂在线性代数以及其他数学领域中有着广泛的应用。
线代知识点总结归纳
线代知识点总结归纳1. 基本概念线性代数的基本概念包括向量、矩阵、线性方程组、行列式等。
向量是线性代数中的基本概念,它是一个有向量在空间中的表示。
通常用n维实数或复数坐标表示一个n维向量,例如,一个三维向量可以表示为(x,y,z)。
矩阵是由若干个数排成若干行和若干列组成的数表,通常用大写字母表示,例如,矩阵A。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组,通常用矩阵形式表示,例如,Ax=b。
行列式是一个数学概念,用来判断矩阵是否可逆,是一个非零数值。
2. 矩阵运算矩阵运算包括矩阵加法、矩阵数量乘法、矩阵乘法等。
矩阵加法是将两个相同维度的矩阵进行对应元素的相加,例如,矩阵A和矩阵B相加得到矩阵C。
矩阵数量乘法是将一个数与一个矩阵的每一个元素相乘,例如,数k与矩阵A相乘。
矩阵乘法是将一个m×n的矩阵与一个n×p的矩阵相乘得到一个m×p的矩阵,例如,矩阵A与矩阵B相乘得到矩阵C。
3. 向量空间向量空间是一个由向量构成的集合,并且满足一定的线性运算和封闭性质。
向量空间包括零向量、线性组合、线性相关与线性无关等概念。
零向量是所有元素都为零的向量,通常用0表示。
线性组合是将向量乘以一个标量再相加得到一个新的向量,例如,向量u和向量v的线性组合是ku+lv。
线性相关是指向量集合中存在非零标量使得它们的线性组合为零向量,线性无关是指向量集合中不存在非零标量使得它们的线性组合为零向量。
4. 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个数,特征向量是一个非零向量,使得矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积,即Ax=λx。
通过求解矩阵的特征值和特征向量,可以得到矩阵的对角化与相似对角化等结果,进而解决一些重要的问题,例如,求解线性方程组、奇异值分解等。
综上所述,线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量空间、矩阵、线性变换等代数结构,并且在科学与工程领域广泛应用。
大学线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结1. 向量与空间- 向量的定义与表示- 向量的加法与数乘- 向量的内积与外积- 向量的模、方向与单位向量- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标表示- 子空间及其性质- 线性相关与线性无关的概念2. 矩阵- 矩阵的定义与表示- 矩阵的加法、数乘与转置- 矩阵的乘法规则- 矩阵的逆- 行列式的概念与性质- 行列式的计算方法- 秩的概念与求解- 矩阵的分块3. 线性方程组- 线性方程组的表示- 高斯消元法- 行列式法- 逆矩阵解法- 克拉默法则- 线性方程组的解的结构- 齐次与非齐次线性方程组 - 线性方程组的解空间4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征值与特征向量的计算 - 矩阵的对角化- 矩阵的Jordan标准形- 特征值与特征向量的应用5. 内积空间- 内积空间的定义- 正交与正交性- 正交基与正交矩阵- 格拉姆-施密特正交化过程 - 最小二乘法- 正交投影与正交补6. 线性变换- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示- 线性变换的核与像- 线性变换的不变子空间- 线性变换的复合与逆变换 - 线性变换的分类7. 广义逆矩阵- 广义逆矩阵的概念- 广义逆矩阵的计算方法- 广义逆矩阵的性质与应用8. 谱理论- 谱定理- 谱半径与谱半径估计- 谱聚类9. 线性代数在其他领域的应用- 计算机图形学- 数据分析与机器学习- 量子力学- 结构工程- 电路分析结语线性代数是数学的一个重要分支,它在科学、工程、经济等多个领域都有着广泛的应用。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法是解决实际问题的关键。
本文总结了线性代数的核心知识点,旨在为学习和应用线性代数提供参考和指导。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结一、向量空间向量空间是线性代数的核心概念,描述了向量的运算规则和性质。
一个向量空间必须满足以下条件:1. 封闭性:对于任意向量u、v属于向量空间V和标量c,有u+v和cu也属于向量空间V。
2. 相容性:向量空间中的向量和标量运算符必须相容,即对于任意u和v属于向量空间V和标量c,满足c(u+v) = cu + cv。
3.存在零向量:向量空间V中存在一个零向量0,满足对于任何向量v属于向量空间V,有v+0=v。
4.存在相反向量:对于任意向量v属于向量空间V,存在一个相反向量-w,满足v+(-w) = 0。
5.结合律:对于u、v、w属于向量空间V和标量c,满足(u+v)+w = u+(v+w)。
6.分配律:对于向量u和v属于向量空间V和标量a、b,满足(a+b)u = au+bu 和 a(u+v) = au+av。
二、矩阵与线性方程组1.矩阵的定义:矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数表。
一个m×n的矩阵有m行和n列,记作A=(aij)。
其中,i表示行索引,j表示列索引,aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.矩阵的运算:(1) 矩阵加法:对于两个具有相同维度的矩阵A和B,它们的和C记作C=A+B,定义为C的每个元素等于A和B对应位置元素的和。
(2) 矩阵乘法:对于两个矩阵A和B,如果A的列数等于B的行数,则矩阵A和B的乘积C记作C=AB,定义为C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素的内积。
3.线性方程组:线性方程组是以线性方程为元素的方程组,其中每个未知数的最高次数为1。
(1)增广矩阵:线性方程组可以表示为增广矩阵的形式,增广矩阵是将系数矩阵与常数矩阵相连接而成的矩阵。
(2)矩阵的初等行变换:矩阵的初等行变换包括将矩阵的某一行乘以一个非零常数、将矩阵的某两行互换、将矩阵的某一行加上另一行的若干倍。
(3)矩阵的行阶梯形和行最简形:通过矩阵的初等行变换,可以将矩阵变成行阶梯形和行最简形。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是一门重要的数学学科,它研究的是向量空间、线性映射和线性方程组等基本概念及其相互关系。
线性代数在数学、物理、计算机科学、经济学等各个领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的一些重要知识点的全面总结:1. 向量空间(Vector Space)向量空间由一组满足一些性质的向量组成。
向量空间的定义要求满足加法和数量乘法封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
在向量空间中,还可以定义线性组合、线性相关性、线性无关性等概念。
2. 矩阵(Matrix)矩阵是由一组数按照一个确定的规律排列成的矩形阵列。
矩阵的加法、数量乘法等运算满足线性运算的性质。
矩阵可以表示线性方程组、线性映射等。
3. 线性映射(Linear Mapping)线性映射是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素,并保持向量空间的加法和数量乘法运算。
线性映射可以用矩阵表示,并且具有一些重要的性质,比如保持零向量、保持加法和数量乘法等。
4. 线性方程组(Linear System)线性方程组是一组线性方程的集合。
线性方程组可以用矩阵和向量表示,形式为Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知向量,b是常数向量。
线性方程组的求解可以使用消元法、矩阵求逆等方法。
5. 特征值和特征向量(Eigenvalues and Eigenvectors)特征值和特征向量是线性映射中的重要概念。
对于一个线性映射,如果存在一个非零向量x,使得线性映射作用于x的结果等于x乘以一个常数λ(即f(x)=λx),那么λ就是这个线性映射的特征值,x就是对应的特征向量。
6. 内积空间(Inner Product Space)内积空间是向量空间中引入内积运算的概念。
内积可以用来度量向量的夹角和长度,并且可以定义向量的正交性、正交投影等概念。
内积空间可以是实数域或复数域上的。
7. 正交性和正交基(Orthogonality and Orthogonal Basis)正交性是指向量之间的夹角为直角。
线性代数重要知识点总结
线性代数重要知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量、向量空间以及线性变换等概念。
在科学、工程、计算机科学等领域中都广泛应用线性代数的知识。
下面是线性代数的一些重要知识点的总结。
1.向量:向量是表示大小和方向的量,可以用有序数组表示。
向量的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
2.向量空间:向量空间是一组向量的集合,在其中向量可以进行加法和数乘运算。
向量空间必须满足闭合性、加法逆元、加法交换律、加法结合律、数乘结合律和数乘分配律等性质。
3.线性相关与线性无关:向量组中的向量可以是线性相关的,也可以是线性无关的。
线性相关表示一些向量可以由其他向量线性表示出来,而线性无关表示所有向量不能通过线性组合得到零向量。
4.矩阵:矩阵是二维数组,也可以看作是向量的扩展。
矩阵的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
5.矩阵乘法:矩阵乘法是矩阵之间的一种运算,前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。
6.线性方程组:线性方程组是一组线性方程的集合。
可以使用矩阵的形式表示线性方程组,通过高斯消元法或矩阵求逆等方法求解线性方程组。
7.特征值与特征向量:在线性代数中,对于一个n维向量,如果它乘以一个n×n的矩阵后,仍然保持方向不变(可能会变长或变短),那么这个向量称为这个矩阵的特征向量,而乘以矩阵后的长度变化倍数称为特征值。
8.内积与外积:内积是向量之间的一种运算,满足交换律和分配律,内积为一个标量。
外积是向量之间的一种运算,满足反对称性和分配律,外积为一个向量。
9.正交与正交子空间:正交指的是两个向量的内积为零,正交子空间是由正交向量组成的向量空间。
10.线性变换:线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,保持向量空间的线性运算性质。
11.特征值分解:矩阵的特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
12.奇异值分解:矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解为奇异值和左右奇异向量的乘积的形式。
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线性代数知识点总结第一章行列式第一节:二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式,并记作11122112a a a a ,即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
(课本P1)同理,把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式,记作111213212223313233a a a a a a a a a 。
即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算:对角线法则(课本P2,P3)注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组:对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设111221220a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D x a a Da a ==,1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==(课本P2)对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠,1121312222333233b a a D b a a b a a =,1111322122331333a b a D a b a a b a =,1112132122231323a ab D a a b a a b =,则11D x D =,22Dx D =,33D x D=。
(课本上没有)注意:以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数全排列:把n 个不同的元素排成一列,叫做这n 个元素的全排列(或排列)。
n 个不同的元素的所有排列的总数,通常用P n (或A n )表示。
(课本P5)逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。
(课本P5)计算排列逆序数的方法:方法一:分别计算出排在1,2,,1,n n - 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n - 这n 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
(课本上没有)第三节:n 阶行列式的定义定义:n 阶行列式111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n p p np a a a 的代数和,其中p 1p 2…p n 是1,2,…,n 的一个排列,每一项的符号由其逆序数决定。
()()111211222211221122010n t n nnn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=也可简记为()det ij a ,其中ij a 为行列式D 的(i ,j 元)。
(课本P6)根据定义,有()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 说明:1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是!n 项的代数和;3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、1212n p p np a a a 的符号为()1t-,t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。
推论1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
即()()111211222211221122010n t n nnn nnnna a a a a D a a a a a a a ==-=推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于()()121n n --乘以其副对角线上各元的乘积。
即1212n nλλλλλλ=,()()1122121n n n nλλλλλλ-=-(上述二推论证明课本P7例6)第四节:对换定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换。
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换。
(课本P8)定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
(上述二定理证明课本P8)定理2n 阶行列式det()ij D a =的项可以写为12121122()()(1)n n n n t q q q t p p p q p q p q p a a a +- ,其中q 1q 2…q n 是行标排列,p 1p 2…p n 是列标排列。
(证明课本P9)推论设有n 阶行列式det()ij D a =,则1212()12(1)n n t q q q q q q n D a a a =-∑ 或12121122()()(1)+=-∑ n n n n t q q q t p p p q p q p q p D a a a 或1212()12(1)n n t q q q p p np D a a a =-∑ (行列式三种不同表示方法)推论在全部n 阶排列中()2n ≥,奇偶排列各占一半。
证明设在全部n 阶排列中有s 个奇排列,t 个偶排列,现来证=s t 。
将s 个奇排列的前两个数对换,则这s 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以s t ≤。
若将t 个偶排列的前两个数对换,则这t 个偶排列,全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有t s ≤。
综上有s=t 。
第五节:行列式的性质定义记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =,112111222212n n Tnn nna a a a a a D a a a =,行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。
(证明课本P9)说明行列式中行与列具有同等地位,因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。
性质2互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ,行列式变号。
(证明课本P10)推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ,等于用数k 乘此行列式;推论1D 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2D 中某一行(列)所有元素为零,则=0D 。
性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(证明课本P10)性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则1112111212222212()()()i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i n i ni n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+'性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。
(课本P11)计算行列式常用方法:①利用定义;②利用运算+i j r kr 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。
说明行列式中行与列具有同等的地位,行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。
第六节行列式按行(列)展开余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M 。
代数余子式()1i jij ij A M +=-记,叫做元素ij a 的代数余子式。
(课本P16)引理一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除(i ,j )(,)i j 元外ij a 都为零,那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即ij ij D a A =。
(证明课本P16)定理n 阶行列式111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ ,(1,2,,)i n = 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ 或,(1,2,,)j n = 。
(证明课本P17)扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()≥>≥---==-∏nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x 的证明见课本P18展开定理推论n 阶行列式111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应的代数余子式的乘积之和为零,即11220()i s i s in sn a A a A a A i s +++=≠ 11220()j t j t nj nt a A a A a A j t +++=≠ 或(证明课本P19)第七节克拉默法则如果线性方程组11112211211222221122+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零,即1112121222120=≠n n n n nna a a a a a D a a a ,那么该方程组有唯一解312123,,,,n n D D D Dx x x x D D D D==== 其中D i 是用非齐次项代替D 中第i 列元素后所得的行列式。