二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质

复习目标：

1. 能结合具体情境确定二次函数的表达式。

2. 根据表达式求顶点坐标、对称轴、最大（小）值。

3. 二次函数图像的性质、平移。 Ⅰ题组练习一（问题习题化） 1. 已知函数y ＝x 2＋2x -3.

（1）函数的图象是 ，开口方向 .

（2）函数的对称轴是 ，顶点坐标是_____.

（3）函数图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 _________.

（4）画出此抛物线的图象。 （5）观察图象回答：

①当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。

②当x 时，y>0，当x 时，y ＜0。

③当x 时，函数有最 值为 。 （6）将函数图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得到函数y ＝x 2

（7）试确定与y ＝x 2＋2x -3的图象关于y 轴对称的抛物线表达式。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图象如图所示，

试确定a,b,c, b 2-4ac,a+b+c 的符号。

Ⅱ知识梳理

1. 二次函数表达式：

一般式：y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k,(h,k)为抛物线的顶点坐标;

交点式：y=a(x-1x )(x-2x ),1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图

象与各项系数、顶点坐标、对称轴、b 2-4ac 之间的关系。

3. 二次函数图象平移规律。 Ⅲ题组练习二（知识网络化） 1. 对于抛物线1032-+=x x y ，开口

方向 ，顶点坐为 。

2.若二次函数k x x y ++-=22的部分图

象如图所示，关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另

一个解=2x ；

3. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)

的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >；

③80a c +>；

④930a b c ++<． 其中，正确结论

的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图

象经过A(0，1)，B(－1，0)，

C(1，0)，那么此函数的关系式

是 。如果y

随x 的增大而减少，那么自变量x

的变化范围是______。

5. 把抛物线y=x 2

+bx+c 的图象向右

平移3个单位，再向下平移2个单

位，所得图象的解析式为y=x 2

－

3x ＋5，下列正确的是（ ）

A ．b =3， c =7

B ．b =6， c =3

C ．b =-9，c =-5

D ．b =-9，c =21

6. 一个y 关于x 的函数同时满足两个

条件：①图象过（2，1）点；②当

x ＞0时y 随x 的增大而减小 ，这

个函数的表达式为 .

教师点拔

抓住函数性质与图象特征的关

系，及函数图象上特殊点坐标与线段

长度间的相互转化，利用数形结合思

想去解决二次函数的有关问题。

Ⅳ题组练习三（中考考点链接）

1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a

x

与正比

例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )

2.由于被墨水污染，一道数学题仅能

见到如下文字： “已知二次二函数y=ax 2+bx+c 的图

象过点(1,0)，…，

求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。”

根据现有信息，题中的二次函数不

具有的性质是（ ）。

A 、过点（3,0）

B 、顶点是(2,－2)

C 、在x 轴上截得的线段长是2

D 、与y 轴的交点是(0,c)

3.抛物线y=x²+4x+3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴

交x 轴于点E .

（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；

（2）在平面直角坐标系中是否存在

点P ，与A 、B 、C 三点构成一个

平行四边形？若存在，请写出点

P 的坐标；若不存在，请说明理

由

（3）连结CA 与抛物线的对称轴交于

点D ，在抛物线上是否存在点M ，

使得直线CM 把四边形DEOC 分成

面积相等的两部分？若存在，请

求出直线CM 的解析式；若不存

在，请说明理由.

O

D B

C

A

E