勾股定理经典讲义

勾股定理讲义

考点1、勾股定理的内容和证明

勾股定理：

例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？

图1 图2

图3

图4

例2：

中，若∠C=︒

90，如下图1根据勾股定理可以得出：a2+b2=c2，

222

90，，则

中，若∠C=︒

例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

1、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；

(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；

(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

5、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

例4：如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且，点A 处有一所中学，AP =160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN 沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h ）

例5：以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：

五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).

小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，x

.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长. 参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：

五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2． 具体要求如下：

（1）设拼接后的长方形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为 ； （2

（3 30QPN ∠=

︒图④

图⑤

C

B

图① 图② 图③

2020

20

20

10

10

10

A

B

C

图3

图2

图1

C

6、有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）

7、现场学习题

问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 21317，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 ________．

思维拓展：（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC 2a 、25a 、

26(0)a a >，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积

是： ．

探索创新：（3）若△ABC 224m n +2216m n +、222m n +(0,0,)m n m n >>≠ ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC 的面积为： ．

8、如图，一架长25分米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗？用所学知识，论证你的结论．

9、如图，一个机器人从A 点出发，拐了几个直角的弯后到达B 点位置，根据图中的数据，

例6：如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

10、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

11、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

12、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移

考点4、勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理： 勾股数：

例7：如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =4

1

BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由．

例8：若△ABC 的三边的长为a 、b 、c ，根据下列条件判断△ABC 的形状 （1）c b a c b a 262410338222++=+++ （2）a 3－a 2b + ab 2－ac 2+ bc 2－b 3=0

（3）若三边长分别为2n 2+2n ，2n +1，2n 2+2n +1呢？（n 为正整数）

B