(完整版)相似三角形中的辅助线专题训练
相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
类似三角形中几种罕有的帮助线作法在添加帮助线时,所添加的帮助线往往可以或许结构出一组或多组类似三角形,或得到成比例的线段或出等角,等边,从而为证实三角形类似或进行相干的盘算找到等量关系.重要的帮助线有以下几种：一.添加平行线结构“A ”“X ”型例1：如图,D 是△ABC 的BC 边上的点,BD ：DC=2：1,E是AD 的中点,求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,则 ∴PE=EFBP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q,∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S,解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T,∵BD=2DC ∴∴BE ：EF=5：1. 变式：如图,D 是△ABC 的BC 边上的点,BD ：DC=2：1,E 是AD 的中点,贯穿连接BE 并延伸交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q,解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S,解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T,例2：如图,在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E,；TC BT EF BE =，DC BT 25=且使AD ＝AE,DE 延伸线与BC 延伸线订交于F,求证：（证实：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图,△ABC 中,AB<AC,在AB.AC 上分离截取BD=CE,DE,BC 的延伸线订交于点F,证实：AB ·DF=AC ·EF.剖析：证实等积式问题经常化为比例式,再经由过程类似三角形对应边成比例来证实.不类似,因而要经由过程两组三角形类似,应用中央比代换得到,为结构类似三角形,需添加平行线..办法一：过E 作EM//AB,交BC 于点M,则△EMC ∽△ABC （两角对应相等,两三角形类似）.办法二：过D 作DN//EC 交BC 于N.例4：在△ABC 中,D 为AC 上的一点,E 为CB 延伸线上的一点,BE=AD,DE 交AB 于F.求证：EF ×BC=AC ×DF证实：过D 作DG ∥BC 交AB 于G,则△DFG 和△EFB 类似, ∴∵BE ＝AD,∴ 由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 类似,∴ 即∴EF ×BC ＝AC ×DF.例5：已知点D 是BC 的中点,过D 点的直线交AC 于E,交BA 的延伸线于F,DG DF BE EF =DG DF AD EF=求证：剖析：应用比例式够造平行线,经由过程中央比得结论 .（或应用中点”倍长中线”的思惟平移线段EC,使得所得四条线段分离组成两个三角形.）例6：已知：在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是高,求证：BC2=2AC·CD剖析：本题的重点在于若何解决“2”倍的问题;让它归属一条线段,找到这一线段2倍是哪一线段.例7:如图,△ABC中,AD是BC边上中线,E是AC上一点,衔接ED且交AB的延伸线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.剖析：应用前两题的思惟办法,借助中点结构中位线,应用平行与2倍关系的结论,证实所得结论.找到后以比例式地点三角形与哪个三角形类似.例8：在∆ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延伸BP交AC于E,交CF于F,求证：BP²=PE·PF剖析：在统一向线上的三条线段成比例,可以经由过程中央比转化,也可以经由过程线段相等,把共线的线段转化为两个三角形中的线段,经由过程类似证实.别的在证实等积式时要先转化为比例式不雅察类似关系,有利于证实.二.作垂线结构类似直角三角形例9：如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂2⋅+⋅AB=ACAFADAE线CE 和CF,垂足分离为E.F,求证：证实：过B 作BM ⊥AC 于M,过D 作DN ⊥AC 于N ∴AM ：AE=AB ：AC （1）（1）+（2）得例10：∆ABC 中,AC=BC,P 是AB 上一点,Q 是PC 上一点（不是中点）,MN 过Q 且MN ⊥CP,交AC.BC 于M.N,求证：证实：过P 作PE ⊥AC 于E,PF ⊥CB 于F,则CEPF 为矩形∴ PF EC ∵∠A ＝∠B=45°∴Rt ΔAEP=Rt ΔPFB∴∵ EC=PF ∴（1） 在ΔECP 和ΔCNM 中CP ⊥MN 于Q∴∠QCN+∠QNC=90°又∵∠QCN+∠QCM=90°∴∠MCQ=∠CNQ∴Rt ΔPEC ∽Rt ΔMCN ∴ 即 （2）由（1）（2）得 三.作延伸线结构类似三角形例11. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,若∠BCD 的等分线CH ⊥AB 于点H,BH=3AH,且四边形AHCD 的面积为21,求△HBC 的面积.剖析：因为问题涉及四边形AHCD,所以可结构类似三角形.把问题转化为类似三角形的面积比而加以解决.解：延伸BA.CD 交于点P ∵CH ⊥AB,CD 等分∠BCDAMAC AE AB ⋅=⋅=//ECPE PF PE PB PA ==CN EC CM EP =CNCM EC EP =CN CM PB PA =∴CB=CP,且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC 例12. 如图,RtABC 中,CD 为斜边AB 上的高,E 为CD 的中点,AE 的延伸线交BC 于F,FG 交AB 于G,求证：FG=CF ·BF剖析：欲证式即 由“三点定形”,ΔBFG 与ΔCFG 会类似吗？显然不成能. （因为ΔBFG 为Rt Δ）,但由E 为CD 的中点,∴可设法结构一个与ΔBFG 类似的三角形来求解.无妨延伸GF 与AC 的延伸线交于H,则又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF ·BF四.应用中线的性质结构类似三角形例13：如图,中,AB ⊥AC,AE ⊥BC 于E,D 在AC 边上,若BD=DC=EC=1,求AC. 解：取BC 的中点M,连AM ∵AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C 又 BD=DC ∴∠DBC=∠DCB ∴∠CAM=∠C=∠DBC ∴ΔMAC ∽ΔDBC∴ 又 DC=1 MC= BC ∴（1） 又Rt ΔAEC ∽Rt ΔBAC 又∵ EC=1 ∴（2）由（1）（2）得, ∴ 小结：应用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形类似,取BC 中点M,结构ΔMAC ∽ΔDBC 是解题症结 91：：∴△△=PBC PAD S S EC FH ED FG AE AF ==EC FH ED FG =BF FH FG CF =BC AC DC MC =21221BC DC BC MC AC =⋅=BCBC CE AC =⋅=2421AC AC =32=AC。
答案相似三角形中的辅助线
相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ， 求证：BF CF BD CE = 证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G ∵CG ∥AB ∴△ADE ∽△CGE ∴AD/CG ＝AE/CE∵AD ＝AE ∴AD/CG ＝AD/CE ∴CG ＝CE∵CG ∥AB∴△BFD ∽△CFG∴BF/CF ＝BD/CG∴BF/CF ＝BD/CE∴BF ：CF ＝BD ：CE2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。
先作辅助线，从D 点作AC 的平行线交BC 于M 点则△FEC 与△FDM 相似∴EF/DF=EC/DM. (1)又∵DM ‖AC ，∴△BDM 与△BAC 相似∴AB/AC=BD/MD (2)∵BD=EC,∴式（2）为AB/AC=EC/MD （3）由式（1）和（3）得AB/AC ＝EF/DF∴AB*DF=AC*EF二、作垂线3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ， 求证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅。
B DA CF E三、作延长线4 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。
延长BA ，CD 交于E设AH=x ，BH=3x∵∠ECH=∠BCH ，CH ⊥BE∴RT △ECH ≌Rt △BCHEH=BH=3xAE=3x-x=2xS(EAD)/S(EBC)=(EA/EB)²=(2x/6x)²=1/9设S(EAD)=a ，S(EBC)=9aS(HBC)=S(ECH)=4.5aS(AHCD)=S(ECH)-S(EAD)=3.5a∴S(HBC)=9/7*S(AHCD)=275. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF∙BF证明：延长AF，过C做CH平行AB，交AF于H易证⊿CEH≌⊿DEA∴CH=AD∵CH/AB=CF/BF=AD/AB,则BF/AB=CF/AD三角形FGB与三角形ABC相似FG/AC=BF/AB=CF/AD,则CF/FG=AD/AC三角形FGB与三角形ACD相似FG/AD=BF/AC,则FG/BF=AD/AC=CF/FG即FG²=FC*FB四、作中线∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
相似三角形的辅助线技巧
︵
AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积．
九
【分析】延长 BA 与 CD，两延长线交于点 F，由 CH 垂直于 BF，得到一对直角相等，由
年
CH 为角平分线得到一对角相等，再由 CH 为公共边，利用 ASA 可得出三角形 CFH 与三
级
角形 CBH 全等，由全等三角形的对应边相等得到 CF＝CB，且 BH＝HF，由 BH＝3AH，
1
∴AE= 2AB＝1，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴
=
= ；
（2）∵△ADG 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△ADG 中，由勾股定理得：AG= √3 + 3 =3√2，
∵AB∥DC，
15
相似三角形的辅助线技巧
数
【解答】解：
（1）如图，连接 FC、AD．
学
∵点 F 是 AB 的中点，CD＝BC，
︵
∴FC 是△ADB 的中位线，
九
1
∴FC= 2AD，
年
∴△EFC∽△EDA，
级
∥
︶
∴
=
∴
= ；
=2，
（2）∵点 F 是 AB 的中点，AB＝18，FB＝EC，
1
∴EC= 2AB＝9．
由（1）知，
=2，则
=2，故 AE＝18，
∴AC＝AE+EC＝18+9＝27．
9
相似三角形的辅助线技巧
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似
三角形对应边成比例即可求得线段的比．
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 AD＝CE．DE
2024-2025学年度北师版九上数学-专题7-相似三角形中常作的辅助线【课件】
证明：如答图，延长 GF ，与 AC 的延长线交于点 H .
∵ CD ⊥ AB ， FG ⊥ AB ，∴ CD ∥ FG .
∴△ ACE ∽△ AHF ，△ ADE ∽△ AGF .
∴
＝
＝
∵ BH ＝3 AH ，
∴ S△PA D ∶ S四边形 AHCD ＝2∶7.
∴PA∶ AB ＝1∶2.
∵ S四边形 AHCD ＝21，
∴PA∶ PB ＝1∶3.
∴ S△PA D ＝6. ∴ S△ PBC ＝54.
∵ AD ∥ BC ，∴△PA D ∽△ PBC .
∴ S△ HBC ＝ S△ PBC ＝27.
.
又∵点 E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC .
∴ FG ＝ FH .
由题意知，∠ FCH ＝∠ FGB ＝90°，∠ CFH ＝∠ GFB ，
∴△ CFH ∽△ GFB . ∴
（2）过一点作垂线来构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否
能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、等线段，从而为证
明三角形相似或进行相关的计算与证明创造条件.
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数学 九年级上册 BS版
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典例讲练
数学 九年级上册 BS版
类型一 作平行线构造“A”型或“X”型
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如图，已知 BD 为△ ABC 的高，点 E 在边 AB 上，∠ BEC ＝60°， BE ＝2 CD ， CE
与 BD 相交于点 F ，求
相似三角形地性质典型例题3--辅助线地作法
相似三角形的性质--添加辅助线的方法二. 与相似三角形有关的辅助线（一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线 （二）其他辅助线的做法举例例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ，∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC ∴BC CE CD BC =即BCACCD BC 2=∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法三（构造BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．BCEBCBC∴BC AC CD CE =即BCAC CD BC=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ．∴EC AC CD BC =J 即BC AC CDBC 21=． ∴BC 2＝2CD ·AC ．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值 （1）设k AE =，则k BE 3=解法1 如图，延长BA 、CD 交于点FBC AD //，AD BC 3=， ∴AF BF 3= ∴k AF 2=，E 为BF 的中点 又BF CE ⊥ CF BC =，又BF CF = ∴BCF ∆为等边三角形 故︒=∠60B解法2 如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥，得平行四边形ABFDBC同解法1可证得CDF ∆为等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法3 如图作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥，得矩形AEHGCE AF // ∴3==AEBECF BC ， 又AD BC 3= ∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形，故︒=∠60B 解法6 如图（补形法），读者可自行证明CDF ∆是等边三角形， 得︒=∠=∠60F B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设S S BCE 3=∆，则S S AECD 2=四边形 解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =∆，则x S S ACE -=∆2，x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 45=∴s x s S ACE 432=-= ∴4433===∆∆ss S S AE BE ACE BCE 解法2 （补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91=∆∆ABC FAD S S∴sSS S FAD ABCD FAD 581∆∆==梯形 ∴s S FAD 85=∆，s s s S FEC 821285=+=∆，又s S EBC 3=∆ ∴87==∆∆BEC FBC S S BE EF 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AF∴m 2=AE ，∴4==AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆，故AF AB 3=（1）ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形 ∴23===∆∆∆AECD BCE FEC BEC S S S S EF BE 四边形 故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2） 由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABGEBC ⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC ∴5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．解法1： 延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BCAD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵ADAF31=，∴BCAF31=，即CHAF41=．∵ AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴ AG：GC=AF：CH，∴ AG：GC=1：4，∴ AG：AC=1：5．解法2：如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，DCAB//，即AB∥MC，∴ AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵ADAF31=，∴ AF：FD=1：2，∴ AE：MD=1：2．∵DCABAE2121==．∴ AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴ AG：AC=1：5例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.解析：取CF的中点G，连接BG．∵ B为AC的中点，∴ BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，∴ F为DG的中点．∴ EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4，∴ AF：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE 交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．解法1： 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴ M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴ OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE OMBF =， 即cacb BF +=221，∴c a bc BF 2+=. 解法2： 如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a cBF b BF +=-， ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3： 延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BECF BF =．解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =．分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决． 证法1： 如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴AE BADC BD = ① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE ．代入②式得AC ABDCBD =． 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2： 如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3． 于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴CD BDAC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3： 如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DC BD =，∴CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证． 证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BEDF BE DC BD ==． 又∵ AC AB DE BE =，∴DC BDAC AB =.。
相似三角形的性质典型例题-辅助线的作法
相似三角形的性质--添加辅助线的方法.与相似三角形有关的辅助线（一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线（二）其他辅助线的做法举例例1 :已知：如图，△ ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.求证：BC2= 2CD- AC.BC A C分析：欲证BC= 2CD- AC,只需证-BC二•但因为结论2CD BC中有“ 2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似•由“2”所放的位置不同，证法也不同.证法一（构造2CD）:如图，在AC截取DE= DC,•/ BD丄AC于D,••• BD是线段CE的垂直平分线,• BC=BE •/C=/ BEC,又••• AB= AC,• / C=/ ABC.•••△ BCE^A ACB.• BC _ AC BC AC"CE BC ，…2CD BC• B C2= 2CD- AC.证法二（构造2AC）:如图，在CA的延长线上截取AE= AC,BE,•/ AB= AC,•AB= AC=AE•••/ EBC=90 , 又••• BD 丄AC.•••/ EBC=/ BDC=Z EDB=90°, •••/ E=Z DBC,•△ EB3A BDC.BC CE BC 2AC…即CD BC CD BC•B C2= 2CD- AC.1证法三（构造一BC ）:如图，取BC的中点E,连结AE,则2EC」BC .2又••• AB=AC,•AE 丄BC,/ ACE=/ C•••/ AEC=/ BDC=90°•△ ACE^A BCD.丄BC••• CE .AC 即2^ = AC .CD BC CD BC •BC2= 2CD- AC.1 1证法四(构造—BC )：如图，取BC 中点E ,连结DE,贝U CE^BC .2 2•/ BD 丄 AC,「. BE=EC=EB•••/ EDC=/ C又••• AB=AC, ABC=Z C, • △ ABBA EDC. .BC AC… J 即CD EC如果 CE_AB ，AB 二 CD ，BE = 3AE ，求.B 的度数; AE =k ，贝V BE =3k 如图，延长BA 、CD 交于点FF卢.旷-CAD//BC ，BC =3AD , BF =3AF AF =2k ，E 为 BF 的中点 又CE_BFBC=CF ，又CF 二BF BCF 为等边三角形故 B = 60 解法2 如图作DF // AB 分别交CE 、CB 于点G 、 则CE _ DF ，得平行四边形 ABFD 同解法1可证得 CDF 为等边三角形 故 B —1 =60解法3 如图BCCDAC1 丄BC 2••• BC 2= 2CD ・ AC.说明：此题充分展示了添加辅助线, 开阔.例2 •已知梯形 ABCD 中，构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路要 AD//BC ，BC=3AD ，E 是腰 AB 上的一点, 连结CE(1) (2) :BCE 和四边形AECD 的面积分别为S i 和S 2，且2S =3S 2，试求业的值AE（1）D作AF // EC 交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作GI//AB ，分别交CE 、BC 于点H 、I 则CE _GI ，得矩形 AEHG AF//CE . BC 二匹=3，CF AE又BC=3AD CF 二AD ，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得. CGI 是等边三角形 故.B =/1 =60 解法4 如图，作AF//CD ，交BC 于F ，作FG//CE ，交AB 于G ，得平行四边形 AFCD ，且FG _ AB 读者可自行证得.ABF 是等边三角形，故.B=60 解法5 如图读者可自行证明 CDF 是等边三角形,得 B F =60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等） （2）设SBCE - 3S ，则 S 四边形 AECD - 2S 解法1 （补形法）如图补成平行四边形 ABCF ，连结AC ，贝U DF = 2AD延长CE 、DA 交于点F ，作AG//CD ，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD可证得A 为FD 的中点，则得ABG 为等边三角形，故 解法6 如图（补形法），AH =2k ，故.1 =60B =60设SACD = x ，则 S ACE = 2S- X , S'C DF = 2x由 S ABC 二 S ACF 得，3s 2s - x = x 2x , x 二S A CE解法BE -SBCE壬4AES ACE3 s4延长BA 、 CD 交于点F ,sFAD —丄S ABC 91S FADS FAD 8 S 梯形ABCD5sSFAD = 8 S ,SFEC 二EF S FBC 7BES.BEC 88 s ，又 S *BC = 3S 设 BE =8m ，则 EF =7m ,BEAE =2m , ■二竺=4AEBF = 15m , AF = 5mR连结AC ，作DF // AC 交BA 延长线于点F 连结FC 则 FAD s . ：ABC ，故 AB = 3AF (1)S.A CD - S .A CF , S四边形 AECDBE_ S.E EC _ S.B CE ■ n -----EF S F EC S 四边形AECDSFEC3故 2BE =3EF =3(AE AF)=3AE 3AF (2)BE由(1)、(2)两式得BE=4AE 即壬=4解法4 （割补法）如图（补形法）如图,5 s 44D3s5s 2S0 8E说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线， 构造相似三角形•AF =丄 AD例3.如图4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是AB 的中点，3 ，连E 、F 交AC 于G .求图4」解法1:延长FE 交CB 的延长线于H , •••四边形 ABCD 是平行四边形，••• ，•••/ H=Z AFE, / DAB=Z HBE又 AE=EBAEF^A BEH,即卩 AF=BH,1 1 1AF AD AF BC AF CH •/ 3 ,• 3 ，即 4•/ AD// CH,/ AGF=Z CGH / AFG=Z BHE,「.A AFG^A CGH • AG: GC=AF CH, • AG : GC=1: 4,「. AG : AC=1: 5.1AF = — AD• AF: FD=AE MD, AG: GC=AE MC.v 3 , • AF: FD=1: 2,• AE: MD=1 : 2.连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高hi 、h 2 , 则CG = AD且S四边形AECD= S 四边形AECG , 11 BC h BC2 _______ 又 _BC1 ， BG ①2 BE 上，故AB 5S pBG = S 弟形 ABCD = 5S3S.EBC S.ABGBG h ih 2BE =4AE4 —2，延长EF 与CD 的延长线交于 M ,由平行四边形 ABCD 可知,AB//DC ，即--iC解法2:如图1 1AE AB DC2 2 . • AE: MC=1 : 4,即AG: GC=1: 4,图4-5解析：取CF 的中点G ,连接BG.v B 为AC 的中点， • BG : AF=1: 2，且 BG// AF ,又 E 为 BD 的中点， • F 为DG 的中点. • EF : BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4, • AF : AE=4: 3.例5、如图4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于0点，E 为AB 延长线上一点,0E 交 BC 于 F ,若 AB=a , BC=b, BE=c,求 BF 的长.MB• M 是AB 的中点，即• △ BEF^A MOE,• OM 是厶ABC 的中位线， 且 OM //BC,Z EFB=/ EOM ,BFOM1 BC 2EBF=/ EMO .BEE 为BD 的中点，贝U AF : AE= ____________••• AG : AC=1:解法1:过O 点作OM // CB 交AB 于M , •/ O 是 AC 中点，OM // CB,BF c1 a b c 即22,• OM EM ,BF 叵a 2cG,则可得△ AOG^A COF,BF • AG=FC=b-BF T BF/ AG,「. AG BEAE .BF即b - BF a c ,BF _ BE 解法3:延长EO与CD的延长线相交于”，则厶BEF与厶CNF的对应边成比例，即CF 一CNAB BD例6、已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证：AC CD .分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证法1:如图4—9,过C点作CE// AD,交BA的延长线于E.图4-9BD BA在厶BCE中，T DA / CE, . DC AE ①又••• CE// AD,./ 仁/3,7 2=7 4，且AD 平分/ BAC,•••/ 1 = 7 2,于是7 3=74,BD AB.AC=AE代入②式得DC AC .分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线.证法2:如图4—10,过D作DE// AC交AB于E,则7 2= 7 3.•••7 1 = 7 2,.7 1 = 7 3.于是EA=EDBE _ BD AB _ BE _ BE 又• EADC ,. AC ED EA 分析3欲证式子左边为AB: AC,而ABAB _ BD.AC CD .AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AC平行的位置.证法3:如图4—11,过B作BE/ AC,交AD的延长线于E,则7 2=7 E.BFbca 2cBFbea 2e图4-L0解得BFbea 2eAB转移到与S4 H•••/ 仁/2,：丄仁/ E, AB=BEBD BE AB BD又:DC 一AC，•: AC 一CD .分析4由于AD是/ BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证. 证法4女口图4—12,过D点作DE// AC交AB于E, DF// AB交AC于F.图4-12易证四边形AEDF是菱形.则DE=DF.BD BE BE 由厶BDE^A DFC,得DC DF DE .BE AB AB BD又••• DE - AC，•: AC 一DC .。
相似三角形中的辅助线归纳总结
相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=BDA CFE证明：过点C 作CG//FD 交AB 于GF∴=AD AG AEAC又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CEGC DF //，∴=BD DG BFCF∴=BD CE BF CF小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB ECAC EM AC AB EC 即， ∴=AB AC EM EC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EMBD=∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF，∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN EC DN （为中间比），∴=∴⋅=⋅AB AC EF DFAB DF AC EF ，二、作垂线3. 已知：如图两个等积ABC ∆、DBC ∆，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
北师大版九年级数学上思维特训(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF.图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E .(1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出ADAB的值；(2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出ADAB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AFAE的值．图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BMDM ＝______；(2)若n ＝2，如图②，求证：BM ＝6DM ；(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S－66．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．……请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，ABBC＝m，请你用尺规作图在图②中作出AD的垂直平分线交AC于点N(不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FNAC的值．图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BCAC；(2)若BC ＝6，AC ＝8, CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图①，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值，并说明理由．图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF ∥CA ，求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．图11－S－10详解详析1．解：如图，过点O 作OM ∥BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ， ∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ，∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b .∵OM ∥BC ， ∴△BEF ∽△MEO ， ∴BF MO ＝BEME， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点， ∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF .∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AFBF.3．解：(1)甲同学的想法：如图①，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF . ∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CFCB .∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图②，过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG . ∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CFCB.∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF .∵E 为DF 的中点， ∴ED ＝EF ， ∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13.∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图④，过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝EDEF .∵DEEF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DG BC. ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG . ∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG ∥AF .又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点， ∴EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA . ∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°. 又∵∠AMD ＝60°， ∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC －∠MAD ＝30°， 即∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BECE＝1.在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)．∵∠BAM ＝∠ABM ＝30°，∴AM ＝BM ， ∴BM DM＝2. (2)证明：∵∠AMD ＝∠ABD ＋∠BAE ＝60°， ∠CAE ＋∠BAE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CAE . 又∵BA ＝AC ，∠BAD ＝∠ACE ＝60°， ∴△BAD ≌△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF ∥BD 交AE 的延长线于点F ， ∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②， 由①×②得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM .(3)∵M 为BD 的中点，∴BM ＝MD . ∵△BAD ≌△ACE ， ∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ， ∴AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·MEBM④，由③×④得CD＝5－12DA，∴n＝5－12.6．解：(1)思路1：如图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG.∵AD＝CE，∴DG＝CE.又∵∠DFG＝∠EFC，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF.思路2：如图②，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H.∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.∵EH∥AB，∴∠A＝∠H.∵∠ECH＝∠BCA，∴∠H＝∠ECH，∴CE＝EH.∵AD＝CE，∴AD＝EH.又∵∠AFD＝∠HFE，∴△DF A≌△EFH，∴DF＝EF.(2)结论：MF＝AM＋FC.证明：如图③，由思路1可知：DA＝DG，△DFG≌△EFC，∴FG＝FC.∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM . ∵MF ＝FG ＋GM ， ∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图④所示．连接DN ，过点D 作DG ∥CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2∠BAC ，设∠BAC ＝x ，则∠B ＝∠ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝∠ADN ＝36°.∵∠ADG ＝∠B ＝72°，∴∠NDG ＝∠A ＝36°. 又∵∠DGN ＝∠AGD ，∴△GDN ∽△GAD ， ∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG ∶FC ＝DG ∶DA ＝1∶m . ∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )，∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1，∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝∠DPN ＝90°.又∵∠C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即∠MDQ ＋∠MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即∠MDP ＋∠NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝∠NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQDP.∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN ＝BCAC .(2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1， DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4.∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43.又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53.8．解：(1)1∶2 BD ∶BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ， ∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE ∶AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ，∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE ∶AF ＝OD ∶AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OFBF的值是1.理由如下：由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1.9．解：(1)∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF . ∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝∠BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5.(2)连接AM 交EF 于点O ，如图①，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠MFE ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ， ∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ， ∴四边形AEMF 为菱形． 设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x . ∵四边形AEMF 为菱形， ∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ， ∴CM CB ＝CE CA ＝EMAB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103.∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ，∴EF ＝2×43×2094103＝4109.(3)如图②，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ，∴CN ∶NH ＝CE ∶FH ，即1∶NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4∶7.设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH ∶AC ，即(4－7x )∶3＝4x ∶4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。
相似三角形证明题解法之添加辅助线
相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE证明：过点C作CG//FD交AB于GF小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB EC ACEM AC AB EC 即，∴=AB AC EMEC 同理可得∆∆EMF DBF ~∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EM BD =∴=（为中间比），EM BD∴=AB AC EFDF，∴⋅=⋅AB DF AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BDDN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDFBD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN ECDN （为中间比）， ∴=∴⋅=⋅AB AC EFDFAB DF AC EF ，二、作垂线证明：过B 作BM ⊥AC 于M ，过D 作DN ⊥AC 于N ∴ABM ∆∽ACE ∆∴ACABAE AM =∴AM AC AE AB ⋅=⋅（1） 又 ADN ∆∽ACF ∆∴ACADAF AN =∴AN AC AF AD ⋅=⋅（2） （1）+（2）)(AN AM AC AN AC AM AC AF AD AE AB +=⋅+⋅=⋅+⋅ 又 BCM ADN ∆≅∆∴ AN=CM∴2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。
相似三角形中的辅助线归纳总结
相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=BDA CFE证明：过点C 作CG//FD 交AB 于GF∴=AD AG AEAC又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CEGC DF //，∴=BD DG BFCF∴=BD CE BF CF小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB ECAC EM AC AB EC 即， ∴=AB AC EM EC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EMBD=∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF，∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN EC DN （为中间比），∴=∴⋅=⋅AB AC EF DFAB DF AC EF ，二、作垂线3. 已知：如图两个等积ABC ∆、DBC ∆，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
第4讲 相似三角形中常见的辅助线
第4讲相似三角形中常见的辅助线第一部分：作平行线构造“A”型或“X”型1．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．（1）求证：AD＝3GD；（2）若△CDG的面积是1，求△ABC的面积．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝．3．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是．6．已知：在△ABC中，点D在BC边上，过点C作一直线与边AB及AD分别交于点F、E．（1）如图，当＝时，求证：＝AF2FB3；（2）如图，当＝时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．第二部分：过一点作垂线来构造“垂直型”1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为．2．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD 于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．3．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M是边AB上的动点（不与A，B重合），MQ⊥BC于点Q，MN ∥BC，交AC于点N，连接NQ．（1）求证：△QBM∽△AMN；（2）若点M为AB的中点（如图2），求QB的长；（3）若四边形BMNQ为平行四边形（如图3），求QB的长．第三部分：相似三角形中的动点问题（存在性）1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．2．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△ADE与△CMN相似．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．4．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），若使以A、P、Q为顶点的三角形与Rt△ACB相似，t的值等于．5．如图，已知点E，F分别为三角形纸片ABC的边AB，BC上的点，将三角形纸片ABC沿EF所在直线折叠，点B的对应点B′恰好落在边AC上．已知AB＝AC＝3，BC＝4．若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是．。
(完整版)相似三角形中的辅助线专题训练【可修改文字】
可编辑修改精选全文完整版相似三角形中的辅助线专题训练一、基本图形：二、基本方法：证相似，实不难，A字字仔细看；如没有，辅助线，各种情况常相见。
三、实例演习：（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。
1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF（二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。
2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。
3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG（四）直角多，垂线作，再难题目你能做。
4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2HDCBAEDCBAGEDCBAA BCDEF四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。
） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2＝CF ·BF 5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2＝PE ·PF6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2＝EB ·EC7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED 9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长10、AB ＝AC ，BD 为高，求证：BC 2＝2AC ·CDFE DC BA G F E DC B A A BC DE FA B C D E F G PA BC D E F AB CD EF AB CD E F P AB C D E PAB CDEA BCDPA B CD E。
相似三角形常用辅助线
• 1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB 延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
• 求证：EF×BC=AC×DF
.
1、证明： 过D作DG∥BC交AB于G， 则△DFG和△EFB相似，∴
DG DF BE EF
∵BE＝AD,∴
ED EC
CF FH FG BF
∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
.
四、作中线
• 例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D 在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
.
解：取BC的中点M，连AM
∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC
Rt AE∽C Rt BAC
相交于F，求证：BF
B
CF
BD CE
G
D
证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎
样使用。由这道题还可以增加一种证明线
段相等的方法：相似、成比例。
A
EC
.
F
• 例2. 如Biblioteka ，△ABC中，AB<AC，在AB、 AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线 相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
• 2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是 PC上一点（不是中点），MN过Q且 MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
P:A P B C:M CN
.
2、证明：
过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，
则CEPF为矩形∴ PF //
EC
∵
A B45
RtAEP ∽ RtPFB
专题10 巧添辅助线，构造相似三角形（含答案）
专题10巧添辅助线，构造相似三角形知识解读相似三角形是几何与图形中的重要内容，是证明角相等和求线段长度的重要依据；有关问题也是中考、竞赛的主要考点之一.近年来的中考数学压轴题、竞赛的解答题中，经常出现以几何、函数知识为背景的探索性问题，特别是有关相似三角形的四边形、圆、抛物线等多方面知识，既考查学生的基本运算能力，又考查学生识图能力、逻辑推理能力和表达能力.若能巧妙添加辅助线，则往往有助于这类问题的迅速解决.因此，构造相似三角形解决问题是数学解题中的重要方法，而添加辅助线的目的是“构造”满足条件的图形，即“构造相似三角形”.在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系.下面结合例题谈谈怎样构造相似三角形，并运用其性质解决数学问题。
培优学案典例示范例1 如图1-10-1，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F .求证：BF BDCF CE＝. 【提示】过点C 作CG ∥FD 交AB 于点G ，如图1-10-2. 【解答】图1-10-2图1-10-1FEBDCA GFEDCBA跟踪训练如图1-10-3，△ABC 中，AB ＜AC ，在AB ，AC 上分别截取BD ＝CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF ＝AC ·EF .【提示】证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明.欲证AB ·DF ＝AC ·EF ，需证AB EFAC DF＝，而这四条线段所在的两个三角形显然不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线.方法1：过E 作EM ∥AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）. 方法2：过D 作DN ∥EC 交BC 于N .图1-10-3EDBA例2 如图1-10-4，从□ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E ，F . 求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC ².【提示】过B 作BM ⊥AC 于M ，过D 作DN ⊥AC 于N . 【解答】图1-10-4FED CBA跟踪训练如图1-10-5，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC ，BC 于M ，N .求证：PA :PB ＝CM :CN .【解答】图1-10-5QP N MC BA例3 如图1-10-6，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G .求证：FG ²＝CF ·BF .【提示】欲证式可化为FG CFBF FG＝，由“三点定形”，△BFG 与△CFG 会相似吗？显然不可能（因为△BFG 为直角三角形），但由E 为CD 的中点，可设法构造一个与△BFG 相似的三角形来求解，不妨延长GF 与AC 的延长线交于H .G FED CBA 图1-10-6跟踪训练 如图1-10-7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH 垂直AB 于点H ，BH ＝3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积.【提示】因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形，把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决.【解答】图1-10-7HDCBA例4 如图1-10-8，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC . 【提示】利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC 中点M ，构造△MAC 与△DBC 相似是解题关键。
相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)-精选.pdf
相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ，CD AB ，AE BE 3，求B 的度数；（2）设BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S ，试求AEBE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，ADAF31，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．ABCD例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD ACAB．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCAC CDBC 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ，∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线，∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵AB ＝AC ，∴∠C=∠ABC ．∴△BCE ∽△ACB ．∴BCAC CEBC ，∴BCAC CDBC 2∴BC 2＝2CD ·AC ．证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC=AE ．∴∠EBC=90°，又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC ，∴△EBC ∽△BDC ∴BCCE CDBC 即BCAC CDBC 2∴BC 2＝2CD ·AC ．证法三（构造BC 21）：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE ∽△BCD ．∴BC AC CDCE 即BCAC CDBC21．∴BC 2＝2CD ·AC ．证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21．∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∴△ABC ∽△EDC ．A BCDE ABCDEABCDEABCDEABCD∴EC ACCDBC J 即BC ACCDBC 21．∴BC 2＝2CD ·AC ．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC3，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ，CD AB ，AE BE 3，求B 的度数；（2）设BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S ，试求AEBE 的值（1）设k AE ，则kBE 3解法1如图，延长BA 、CD 交于点FBC AD //，AD BC 3，AF BF 3k AF 2，E 为BF 的中点又BF CE CF BC ，又BFCF B C F 为等边三角形故60B 解法2如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE，得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF 为等边三角形故601B 解法3如图作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE，得矩形AEHGCEAF //3AEBE CFBC ，又AD BC 3AD CF ，故G 为CD 、AF 的中点以下同解法1可得CGI 是等边三角形故601B解法4如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且ABFG 读者可自行证得ABF 是等边三角形，故60B 解法5如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD可证得A 为FD 的中点，则k AH 2，故601得ABG 为等边三角形，故60B解法6如图（补形法），读者可自行证明CDF 是等边三角形，得60FB （注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设S SBCE3，则SS AECD2四边形解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则ADDF2设x S ACD ，则x S S ACE2，xS CDF2由ACFABCSS 得，x xx s s 223，sx45sxsS ACE4324433s s SS AEBE ACEBCE解法2（补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91ABCFAD SS sS S SFAD ABCDFAD581梯形s SFAD85，s ss SFEC821285，又sS EBC387BECFBC SS BEEF 设m 8BE，则m 7EF ，m 15BF ，m5AF m 2AE，4AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC 则FAD ∽ABC ，故AF AB3（1）ACFACDSS ，FEC AECDS S 四边形23AECDBCE FECBEC S S S S EFBE 四边形故AF AEAF AEEFBE33)(332（2）由（1）、（2）两式得AEBE 4即4AEBE 解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则ADCG且AECG AECDS S 四边形四边形，sS S ABCDABG 5梯形21212153h BG h BC SS ABGEBC ，又43BG BC 5421h h ，54ABBE ，故4AEBE 说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，ADAF31，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．解法1：延长FE 交CB 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD//，∴∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB ，∴△AEF ≌△BEH ，即AF=BH ，∵ADAF31，∴BCAF31，即CHAF41．∵AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴△AFG ∽△CGH ．∴AG ：GC=AF ：CH ，∴AG ：GC=1：4，∴AG ：AC=1：5．解法2：如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，DC AB//，即AB ∥MC ，∴AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ．∵ADAF31，∴AF ：FD=1：2，∴AE ：MD=1：2．∵DCABAE2121．∴AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，∴AG ：AC=1：5例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵B 为AC 的中点，∴BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点．∴EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1：过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ，∵O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴M 是AB 的中点，即aMB21，∴OM 是△ABC 的中位线，bBCOM2121，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴△BEF ∽△MOE ，∴EM BE OMBF，即ca cb BF 221，∴c abc BF2.解法2：如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴AG=FC=b-BF ，∵BF ∥AG ，∴AE BE AGBF．即c ac BFbBF ，∵cac bBF2∴c abc BF2.解法3：延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BE CFBF．解得c abc BF2.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD ACAB．分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．证法1：如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵DA ∥CE ，∴AEBA DCBD①又∵CE ∥AD ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE ．代入②式得AC AB DCBD．分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2：如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED ．又∵DC BD EABE，∴EA BE EDBE ACAB ，∴CD BD ACAB .分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3：如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵∠1=∠2，∴∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DCBD，∴CD BD ACAB .分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证．证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BE DFBE DCBD．11 又∵AC AB DEBE，∴DC BD AC AB .。
相似三角形添加辅助线的方法举例(有规范标准答案)
相似三角形添加辅助线的方法举例例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．ABCD例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC∴BC CE CD BC =即BCAC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法三（构造BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．∴BC AC CD CE =即BCACCD BC=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ．BCEBCBB C∴EC AC CD BC =J 即BC ACCDBC 21=． ∴BC 2＝2CD ·AC ．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值 （1）设k AE =，则k BE 3=解法1 如图，延长BA 、CD 交于点FBC AD //，AD BC 3=， ∴AF BF 3= ∴k AF 2=，E 为BF 的中点 又BF CE ⊥ CF BC =，又BF CF = ∴BCF ∆为等边三角形 故︒=∠60B解法2如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥，得平行四边形ABFD 同解法1可证得CDF ∆为等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法3 如图作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥，得矩形AEHGCE AF // ∴3==AEBECF BC ，又AD BC 3= ∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD 可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形，故︒=∠60B 解法6 如图（补形法），读者可自行证明CDF ∆是等边三角形， 得︒=∠=∠60F B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等） （2）设S S BCE 3=∆，则S S AECD 2=四边形 解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =∆，则x S S ACE -=∆2，x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 45=∴s x s S ACE 432=-= ∴4433===∆∆ss S S AE BE ACE BCE解法2（补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91=∆∆ABC FAD S S∴sSS S FAD ABCD FAD 581∆∆==梯形 ∴s S FAD 85=∆，s s s S FEC 821285=+=∆，又s S EBC 3=∆ ∴87==∆∆BEC FBC S S BE EF 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AF∴m 2=AE ，∴4==AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆，故AF AB 3=（1）ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形 ∴23===∆∆∆AECD BCE FEC BEC S S S S EF BE 四边形 故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2） 由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABGEBC ⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC ∴5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．解法1： 延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BCAD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB ，∴ △AEF ≌△BEH ，即AF=BH ，∵AD AF 31=，∴ BC AF 31=，即CH AF 41=．∵ AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴ △AFG ∽△CGH ．∴ AG ：GC=AF ：CH ，∴ AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5．解法2： 如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，DCAB //，即AB ∥MC ，∴ AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ． ∵ AD AF 31=，∴ AF ：FD=1：2，∴ AE ：MD=1：2．∵DC AB AE 2121==．∴ AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵ B 为AC 的中点， ∴ BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点， ∴ F 为DG 的中点． ∴ EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴ AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1： 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴ M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴ OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE OMBF =， 即cacb BF +=221，∴c a bc BF 2+=. 解法2： 如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a cBF b BF +=-， ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3： 延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BECF BF =． 解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =． 分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决． 证法1： 如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴ AE BADCBD =① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE ．代入②式得AC ABDCBD =． 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2： 如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3． 于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴CD BDAC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3： 如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DCBD =，∴ CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证．证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BEDF BE DC BD ==．.\又∵ AC AB DE BE =，∴ DC BD AC AB =.。
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相似三角形中的辅助线专题训练一、基本图形：
二、基本方法：
证相似，实不难，A字
字仔细看；如没有，辅助线，各种情况常相见。
三、实例演习：
（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。
1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF
（二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。
2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。
3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG
（四）直角多，垂线作，再难题目你能做。
4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2
H
D
C
B
A
E
D
C
B
A
G
E
D
C
B
A
A B
C
D
E
F
四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。
）
1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC
2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC
3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC
4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2＝CF ·BF
5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2＝PE ·PF
6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2＝EB ·EC
7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF
8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED
9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长
10、AB ＝AC ，BD 为高，求证：BC 2＝2AC ·CD
F E D
C B A G F E
D C B A A B C D
E
F A B C D E F
G P A B C D E F A B C D E F A B C D E F P A B C D E P A B C D E A B C D P A B C D E。