江苏省高三高考数学专题复习 多元变量的最值和范围问题(提高版)(共28张PPT课件)PPT课件

江苏省高三高考数学专题复习 多元变量的最值和范围问题（提高 版）( 共28张P PT课件 )PPT课 件
令 f(A)＝8（2 s3i－nAcosA），A∈(0，π)，
f′(A)＝8（1－s2in23AcosA），令
f′(A)＝0，解得
cosA＝ 2
1
， 3
sinA＝2
11，由单调性可知此时 3
f(A)取得最小值为
1)
2
sin2
2
11
2 cos2
3 2
1
sin2
3 2
1 2
sin2 cos2 cos2
3 2
sin2 cos2 sin2
3 2
1 2
1 2
sin2 cos2
3 2
cos2 sin2
1 2
3
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(t>1) 还可以怎么做？
当且仅当t=2时取等号 直接求导
二次函数
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还可以怎么做？
切化弦
cosA=cosBcosC+sinBsinC
例 3：已知 x，y∈R，满足 2≤y≤4－x，x≥1， 则x2＋xyy2－＋x2＋x－y－2y1＋2的最大值为________．
解：由题易知x2＋xyy2－＋x2＋x－y－2y1＋2＝（（x＋x＋1）1）2＋（（y－y－11））2＝xy－＋11＋yx－＋11，
令 t＝yx－＋11，则由线性规划知 t∈13，1，从而 t＋1t ∈2，130．答案：130
思考2：可以通过换元，转化为我们较为熟悉的问题.
解法
3：令
x 2a b
y
, b1
则有
x
0,
y
1，且
1 x
1 y
1
.解得
a
1 (x y 1) 2 b y 1
，
a 2b 1 (x 3y) 3 .而 x 3y (x 3y)( 1 1 ) 4 3y x 4 2 3 .
解法 6：由 1 1 1得 b2 2ab b 1，令 a 2b t ，则 a t 2b ， 2a b b 1
由 a 0 ， b 0 ，有 t a 且 t 2b .
由 b2 2ab b 1，有 3b2 (1 2t)b 1 0，当上述关于 b 的方程有正根时，令
3 ,a 1 ( 3
3
23
3 1)
a 2b 2 3 1 ( 3 3 1) 1 3
323
2
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斜率
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f
(b)
3b 2
(1
2t)b
1 ，∵
f
(0)
1
0
,∴有
(1
2t)2 1 2t
6
12 0
0
，解得
t 1 3 ，经检验满足 t a 且 t 2b . 2
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跟踪训练 1：已知 x>0，y>0，x＋y＋3＝xy ，
则 xy 的取值范围为________．
方可法以一从(消哪元些法角)：度由思考x＋这y＋个3问＝题xy？知 y＝xx＋ －31，
由1.消x>元0，y>0 得 2.基本不等式
x>1，则
xy＝x·xx＋ －31
x2 3x x 1
＝3.方(x程－1)＋x－4 1＋5≥9，当且仅当 x＝3 时取等号．
解后反思
追本溯源，分析条件和结论，盯紧目标，联想发散， 探寻联系，获取解题途径!
“1” 基本不 的代换 等式
消元 换元
三角 换元
方程
主元 函数
数形 结合
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则a 2b 的最小值为_______.
a
2b
(
a
2b
)(
1 2a
b
b
1 1
)
a 2b 2a b
a 2b b 1
1 (2a b) 3 (b 1) 3 3 (b 1) 1 (2a b) 3
2
2
22
2
2
接下来怎么办？ 2a b
b 1
2
3
3 2
(b
1)
1 2
(2a
b)
1
2 2a b
2
2
xy
xy
思考3：遇到两个非零实数相加为定值的时候可以想到 三角换元（减元），继续构造倒数和形式.
解法 4：
令 1 cos2 , 1 sin 2 ， b 1 1, a 1 ( 1 1 1)
2a b
b 1
sin 2
2 cos2 sin 2
a 2b
11
2 ( cos2
1
sin2
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方法二(基本不等式)：xy＝x＋y＋3≥2 xy＋3，
xy 2 xy 3 0 ，解得 xy 3，
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Z a 2b, a 2b Z , 表示此直线的纵截距的 最小值，即 a 2b Z与
a 1 (b 1 1)相切时最小。
2
b
a/
1 (1 2
1 b2
),
1 2
(1
1 b2 )
2, b
解：
由 S＝12bcsinA，得 bc＝sin4A.又 a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以 a2＋2b2＋3c2＝3b2＋4c2－2bccosA≥2 3b2·4c2－2bccosA
＝bc(4
3－2cosA)＝8（2
3－cosA）
sinA
.
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例2 在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC， 则tanAtanBtanC的最小值是________________．
思考1：看条件，sinA=2sinBsinC，你想到什么?
A+B+C=π
多元变量的最值和范围问题 （提高版）
复习要点
1．进一步熟悉掌握利用函数方法、基本不等式、几何意义等求 目标式的最值；
2．二元（多元）函数的最值问题典型类型探讨，在学习中体会、 整理，从整理、体会走向内化；
3．通过消元、换元、构造等手段，实现表象与本质的 转化、数与形的转化，体会数学学习中的转化思想.
思考6：多变量的的问题，也可以从函数的角度来理解，特 别是二元一次的线性函数.
解法 7：
a
1 2a b
1 b 1
1,
1 2a
b
b
b
1
,
2ab
b2
1b
a
1 2
(
b
1 b
1
),把
a
看作
b
的函数，函数的性质：
o
单调递减、过点（1， 1 ），图象如图：（因为 a ， b 为正）
b
2
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A+B+C=π sinA=2sinBsinC
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+4
当且仅当tanA=4时取等号
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还可以怎么做？ tanB+tanC=2tanBtanC
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解后反思
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所以 xy≥9，当且仅当 x＝y＝3 时取等号．
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方法三(方程思想)：令 k＝xy，则 y＝kx，代入 x＋y＋3＝xy，
解后反思 条件（已知） 多元
结论（目标） 减元
消元
代入
换元
整体 三角
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跟踪训练2 设△ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边 分别为a，b，c，则a2＋2b2＋3c2的最小值为___________．
8
11.
当且仅当 3b＝2c 且 cosA＝ 1 时取等号， 23
则 a2＋2b2＋3c2 的最小值为 8 11.
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例1
若
a
0, b
0,
且
1 2a
b
b
1
1
1,
则a 2b 的最小值为_______.
思考1：两个变量的问题，从结构特点上讲很容易想到基 本不等式，有整式有分式的结构可通过”1”的代换，然后相 乘的方法化为“倒数和形式”
解法 1：
1 2a
b
b
1
1
1,
例1
若
a
0,
b
0,
且
1 2a
b
b
1
1
1,
思考4：已知两个变量的等式，也可用代入来实现消元。
解法 5：
1 1 1, 1 b , 2ab b2 1 b a 1 (b 1 1),
2a b b 1
2a b b 1
2b
a 2b 1 (b 1 1) 2b 3 b 1 1 2 3 b 1 1 1 3
2b
2 2b 2 2 2b 2 2
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思考5：将问题中多个变量中的一个看作变量（主元），将其他的 量看作参量，运用函数、不等式、方程等相关知识来解决问题。
x>0， 得 x2＋(3－k)x＋k＝0，由y＝xx＋ －31>0，得 x>1，即一元二次方程
x2＋(3－k)x＋k＝0 有根且大于 1，
（3－k）2－4k≥0，
令 f(x)＝x2＋(3－k)x＋k，则 f（1）＝4， －3－2 k>1，
，则 k≥9．
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b1 2
3
一正 二定 三相等
解法 2：
a 2b 1 (2a b) 3 (b 1) 3 所以就转化为
2
2
2，
求 1 (2a b) 3 (b 1) 的最小值，
2
2
[
1 2
(
2a
b
)
3 2
(
b
1)]
(
1 2a
b
b
1
1
)
2
2a 2( b
b 1)
3( b 1) 2( 2a b )
2
3
sin(B+C)=2sinBsinC 目标
sinBcosC+cosBsinC=2sinBsi
nC tanB+tanБайду номын сангаас=2tanBtanC
齐次
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tanB+tanC=2tanBtanC
思考2：看目标，tanAtanBtanC最小值，你想到什么?
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(锐角三角形则t>1)
当且仅当t=2时取等号
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