极坐标系-PPT课件
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1.3极坐标系课件(上课)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ) k Z
作业
报纸1
为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），
y
极坐标是（，）。从图1 — 14可以得出他们之
间的关系： y
0
x
M y
Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin ①
2 x2 y2，tan y (x 0)
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点
39分，22英里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失 了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
例1：将点M的极坐标（5，2 ）化成直角坐标。
3
解：x 5cos 2 ，y 5sin 2 5 3
3
32
所以，点M的直角坐标（ 5，5 3 ）。 22
有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ) k Z
作业
报纸1
为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），
y
极坐标是（，）。从图1 — 14可以得出他们之
间的关系： y
0
x
M y
Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin ①
2 x2 y2，tan y (x 0)
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点
39分，22英里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失 了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
例1：将点M的极坐标（5，2 ）化成直角坐标。
3
解：x 5cos 2 ，y 5sin 2 5 3
3
32
所以，点M的直角坐标（ 5，5 3 ）。 22
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系公开课精品PPT课件
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be
《极坐标系的概念》课件PPT
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
(ρ,θ)
一 给定 就可以在极坐标平
面内确定唯一的一点M
O
X
二 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对 应原因在于：极角有无数个
如果限定ρ＞0 0≤θ＜二π
那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
ra(1sin)
事实上 笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情 不过 笛 卡尔是 一六四九 年 一0 月 四 日应克里斯蒂娜邀请 才来到的瑞典 并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典 女王 并且 笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学 问题 有资料记载 由于克里斯蒂娜女王时间安排很 紧 笛卡尔只能在早晨五点与他探讨哲学 天气寒冷 加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎 这才是笛卡尔 真正的死因 心形线的故事究竟几分是真几分是假 还是留给大家 自己判断吧
在生命进入倒计时的那段日子 它日夜思念的还 是街头偶遇的那张温暖的笑脸 它每天坚持给他写信 盼望着他的回音 然而 这些信都被国王拦截下来 公 主一直没有收到它的任何消息 在笛卡尔给克里斯汀 寄出第十三封信后 它永远地离开了这个世界 此时 被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里 思 念着远方的情人 这最后一封信上没有写一句话 只 有一个方程：r=a 一-sinθ 国王看不懂 以为这个方 程里隐藏着两个人不可告人的秘密 便把全城的数学 家召集到皇宫 但是没有人能解开这个函数式 它不 忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐 便把这封信给了他
小结
•
C
3 2
-
•
E
5 3
+
E(3,- )
极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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极坐标系 课件
A322，－322，B(－1，－ 3)，C－ 23，0，D(0，－4)．
(2)根据
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝yx得
A2
3，116π，
B 35，π2，C4，23π.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．把直角坐标化为极坐标的注意事项 设点 M 的直角坐标为(x，y)，极坐标是(ρ，θ)． (1)由于 ρ≥0，解得 ρ＝ x2＋y2. (2)tan θ＝yx(x≠0)，当 x＝0 时，点 M(x，y)在 y 轴上， 当 y>0 时，点 M 的极角可取π2；当 y＝0 时，点 M 的极角可 取 0；当 y<0 时，点 M 的极角可取32π. 当 x≠0 时，由 tan θ 的值确定 θ，要注意点 M 所在的象限．
极坐标系
1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 __极__坐__标__系____．设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的_极___径__，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终 边的角 xOM 叫做点 M 的__极__角__，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．
要点一 点的极坐标 1.求点 M 的极坐标的方法 (1)根据图形求点 M 到极点 O 的距离|OM|； (2)根据图形确定∠xOM 的一个值(一般取极轴 Ox 按逆时针 方向旋转到与 OM 重合时转过的角，即在[0,2π)内的一个角； (3)得点 M 的极坐标．
2．由极坐标确定点的位置的方法步骤
问题探究 1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联 系？
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
高中选修极坐标系课件
π 2kπ+ 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 4
关于距离问题 1.已知A,B的极坐标分别为 ,13 3, 和 3， 则A,B之间的距离等于 4 12 ___________
一般规律
在极坐标中，任意两点
间的距离
A1 ,1 , B 2 , 2
AB
应用余弦定理直接推得
极坐标和直角坐标的互化 y
在直角坐标系中, 以原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的 长度单位 点M的直角坐标为 (1, 3)
M (1, 3)
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 （ 3 ）2
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标系
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
关于距离问题 1.已知A,B的极坐标分别为 ,13 3, 和 3， 则A,B之间的距离等于 4 12 ___________
一般规律
在极坐标中，任意两点
间的距离
A1 ,1 , B 2 , 2
AB
应用余弦定理直接推得
极坐标和直角坐标的互化 y
在直角坐标系中, 以原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的 长度单位 点M的直角坐标为 (1, 3)
M (1, 3)
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 （ 3 ）2
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标系
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
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6
C (3, ) 2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5 3
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的 所有极坐标
P M
[1]极径是正的时候：
3， 2k O
X
4
[2]极径是负的时候：
（3， 2k)
4
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合
的点是( C )
A.(3, 6 )
6
6
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
A( 3, 0)
D(5, 4 )
3
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G (6,
)
3
B(6, 2 ) E ( 3, 5 )
3 2
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M
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E
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C
D
B
P
A
O
4
6
P( M(
3 5
, ,
) 36 4
)
N( 3 .5 ,
5 3
)
X
N
G
1 1 7 6
5 4
3
解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
建立极坐标系。
D实验楼 C图书馆
点A（0，0）
B（60，0 ）， C（120，3 ）
E
(5 0 ,
3
4
)
办
公
小结：
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角不惟一引起的。
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）
[4]一般地，我们都用在 0,02条件下
惟一与一个点对应。
作业
第12页
1,3
(ρ,θ) (ρ,θ)
(ρ,θ)
Y
y
· M (x，y)
O
x
X
目标在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
从这向北 2000米。
请问：去?? 中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中，这种用方向和距离表示平面上一 点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
某同学在教学楼处， （1）向东偏北60 °方向走
D实验楼 C图书馆
120m到达什么位置
（2）如果有人打听实验楼 和办公楼的位置，他应 如何描述？
办 公 楼
E
45°
120m
50m 60°
A 60m B
ห้องสมุดไป่ตู้
教
体
学
育
楼
馆
在平面内取一个定点O，叫极点。 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。
对于点M（，）负极径时的规定： P
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长 M
线上取一点M，使OM=
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
楼 E 45°
120m
50m 60°
（O）A 60m B x
教
体
学
育
楼
馆
D实验楼 C图书馆
C(1(12200,,3
)
2
)
3
办 公
(120, 4 )
楼 E 45°
120m
(120, 3 2 ) …
3
50m 60° （O）A 60m
教
Bx 体
(120,2k),kZ
3
学
育
楼
馆
极坐标系下点与它的极坐标的对应情
况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M
(ρ,θ)
O
X
(ρ,θ+2kπ )
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
C.
(3,
－
5 6
)
6
B. (－3, － 6 )
5
D. (－3, － 6 )
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称
的点是( )D
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关 于极点对称的点 的一个坐标是 ( A)
A.(8, )
6
C. (－8, 5 )
6
B. (8, － 5 )
6
D.(－8, － )
6
O X
|OMM是|叫平做面点内M一的点极，径，记为 ；
极以角点极xO轴o与MOM叫x为的做始距点边离M，|的O射M极线|叫角O做，M点记为M为终的边.极的径角，xO记M为 ；
叫做点M的极角，记为 .
M
有序数对（，）叫做M的极坐标，
记作M（ ， ）.
O
X
一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，
可取任意实数。
C (3, ) 2
F (4, )
2
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5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5 3
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的 所有极坐标
P M
[1]极径是正的时候：
3， 2k O
X
4
[2]极径是负的时候：
（3， 2k)
4
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合
的点是( C )
A.(3, 6 )
6
6
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
A(3, 0)
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D(5, ) 3
G(6, 5 )
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B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
A( 3, 0)
D(5, 4 )
3
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G (6,
)
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B(6, 2 ) E ( 3, 5 )
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P
A
O
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P( M(
3 5
, ,
) 36 4
)
N( 3 .5 ,
5 3
)
X
N
G
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解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
建立极坐标系。
D实验楼 C图书馆
点A（0，0）
B（60，0 ）， C（120，3 ）
E
(5 0 ,
3
4
)
办
公
小结：
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角不惟一引起的。
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）
[4]一般地，我们都用在 0,02条件下
惟一与一个点对应。
作业
第12页
1,3
(ρ,θ) (ρ,θ)
(ρ,θ)
Y
y
· M (x，y)
O
x
X
目标在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
从这向北 2000米。
请问：去?? 中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中，这种用方向和距离表示平面上一 点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
某同学在教学楼处， （1）向东偏北60 °方向走
D实验楼 C图书馆
120m到达什么位置
（2）如果有人打听实验楼 和办公楼的位置，他应 如何描述？
办 公 楼
E
45°
120m
50m 60°
A 60m B
ห้องสมุดไป่ตู้
教
体
学
育
楼
馆
在平面内取一个定点O，叫极点。 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。
对于点M（，）负极径时的规定： P
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长 M
线上取一点M，使OM=
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
楼 E 45°
120m
50m 60°
（O）A 60m B x
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育
楼
馆
D实验楼 C图书馆
C(1(12200,,3
)
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办 公
(120, 4 )
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(120, 3 2 ) …
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Bx 体
(120,2k),kZ
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学
育
楼
馆
极坐标系下点与它的极坐标的对应情
况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M
(ρ,θ)
O
X
(ρ,θ+2kπ )
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
C.
(3,
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B. (－3, － 6 )
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D. (－3, － 6 )
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称
的点是( )D
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关 于极点对称的点 的一个坐标是 ( A)
A.(8, )
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C. (－8, 5 )
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B. (8, － 5 )
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|OMM是|叫平做面点内M一的点极，径，记为 ；
极以角点极xO轴o与MOM叫x为的做始距点边离M，|的O射M极线|叫角O做，M点记为M为终的边.极的径角，xO记M为 ；
叫做点M的极角，记为 .
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有序数对（，）叫做M的极坐标，
记作M（ ， ）.
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一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，
可取任意实数。