2017届高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用计时双基练5函数的单调性与最值文北师大版

计时双基练五 函数的单调性与最值

A 组 基础必做

1．(2015·云南两校统一考试)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )

A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝2|x |

C ．f (x )＝log 21

|x |

D ．f (x )＝sin x

解析 函数f (x )＝x 2

是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝2|x |

是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝log 21|x |是偶函数，

且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f (x )＝sin x 是奇函数，不合题意。故选C 。

答案 C

2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

－2x ，x ≥2，

－x 2

＋2x ，x <2。

结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]。

答案 A

3．函数f (x )＝log 2(4＋3x －x 2

)的单调递减区间是( ) A.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，32

B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞

C.⎝

⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，4 解析 由4＋3x －x 2

>0得－1

又g(x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上递减，故f (x )＝log 2(4＋3x －x 2

)

应在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，4上递减，选D 。

答案 D

4．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有(x 1

－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

解析 因为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以

f (3)>f (2)>f (1)。因为f (－2)＝f (2)，所以f (3)>f (－2)>f (1)。

答案 B

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x 2

－ax －5，x ≤1，a

x ，x >1在R 上是增加的，则a 的取值范围是

( )

A ．[－3,0)

B ．[－3，－2]

C ．(－∞，－2]

D ．(－∞，0)

解析 要使函数在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧

－a

2

≥1，a <0，

－1－a －5≤a ，

解得－3≤a ≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]。 答案 B

6．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a

，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )

A ．－1

B ．1

C ．6

D ．12

解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1

－2。 ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3

－2在定义域内都为增函数。 ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6。 答案 C

7．已知函数f (x )＝x 2

－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________。

解析 函数f (x )＝x 2

－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如题图所示。

由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)。

答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)

8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2

－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________。

解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2

－a >0，a ＋3>0，

a 2－a >a ＋3，

解得－33。

所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)。 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 9．设函数f (x )＝

ax ＋1

x ＋2a

在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围为________。 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2

－1

x ＋2a

，

∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2a 2

－1>0

－2a ≤－2

⇒a ≥1。

答案 [1，＋∞) 10．已知函数f (x )＝－2

x ＋1

，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值。

证明 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1

2

x 1＋1

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2x 2＋1

＝－

x 2＋1－x 1－

x 1＋x 2＋

＝－

x 2－x 1

x 1＋x 2＋

。

由0≤x 10，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)