中南大学高等工程数学试题
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
中南大学高等数学下期末题及答案
--○○○○………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………一、填空题（每小题分，总计分）、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为（ ）、曲面42222-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为（ ）、设Ω是由曲面22z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则(),,d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ）、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑⎰⎰可化为二重积分为（ ）、微分方程212y x y'=-满足初始条件()10y =的解为（ ）--=1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ）152=z ； （）154222=+-z y x ； 152=z ； （）()15422=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,f f f fx y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，则（ ） 2fy x∂∂∂； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）⎰⎰-+2122y yxydx dy ；⎰⎰-+412xx xydy dx （）⎰⎰-+2122y yxydy dx2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则=⎰( )（）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（）.（）12y y -也是方程的解（）122y y -也是方程的解三、（分）设平面∏:2450x y z---=,且直线0 :30x y blx ay z++=⎧⎨+--=⎩在平面∏上，求,a b的值.------…………评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………四、（分）已知函数(,)f x y x y xy =++，曲线22:3C x y xy ++=，C 上的最大方向导数.----五、（分）计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面z =所围成的立体的体积.六、求解下列各题（每题分，共分）{},1d d xy x y ，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.sin )()y y dx x e dy +++，其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的--七、（分）计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是平面0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.--…………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………具有二阶连续导数，(cos )xz f e y =满足2cos )x xy e ，若(0)0,(0)0f f '==， ()f u 的表达式．(),()3y x b z x a x b =-+=-+-，代入平面∏方5,2a b =-=-.--解法二：过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= （或(3)0x y b x ay z λ++++--=），即(1)()30x a y z b λλλ+++--+= （或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=）， 由题意知11241a λλ++-==--（或11241a λλλ++-==--）， 解得5,1a λ=-=，将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程，求得2b =-.四．解：最大方向导数即为梯度的模，(,)(1,1),(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由222(1)(2)02(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪=+++=⎨⎪++-=⎩，解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，比较：(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=，(1,1)0gradf --=，所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为.五．解法一： 26222032(6)3xyr rD V dv rdrd dz d r r rdr πθθπ-Ω===--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 解法二：1226262120202832(6)833z zD D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.六．解： .123D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰--12221110221x xdx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰19ln 24=+ .因为1P Q y x∂∂==∂∂，所以该曲线积分与路径无关， 选择积分路径从(1,0)A 沿x 轴到(1,0)B -，易得11(10)2I dx -=+=-⎰七．解法一：利用高斯公式，3222200()333 2.6xx yI xydydz yzdzdx xzdxdy y z x dvx zdv dx dy zdz dx ∑Ω---Ω=++=++-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性（2）解法二：在平面0,0,0x y z ===上，积分值为，只需计算:2x y z '∑++=（取上侧）上的积分.因cos cos cos αβγ===(()dS I xydydz yzdzdx xzdxdy xy yz xz xy yz xz dxdy '''∑∑∑=++=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]22220(2)(2)()2xyxD xy y x y x x y dxdy dx x y xy x y dy -=+--+--=---++=⎰⎰⎰⎰.解法三：在平面0,0,0x y z ===上，积分值为，只需计算:2x y z '∑++=（取上侧）上的积分.2202(2)(2)3xyxD xzdxdy x x y dxdy xdx x y dy -'∑=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得23xydydz yzdzdx xzdxdy '''∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以，2323I =⋅=.--八．解：（）因为2222(cos )cos ,(cos )cos (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y x x∂∂''''==+∂∂ 2222(cos )sin ,(cos )sin (cos )cos ,x x x x x x zzf e y e y f e y e y f e y e y yy∂∂''''=-=-∂∂ 所以,已知条件22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂化为22(cos )4(cos )cos x x x x xf e y e f e y e y e ''⎡⎤=+⎣⎦，所以函数()f u 满足方程()4()f u f u u ''=+.（）方程()4()f u f u u ''=+的特征方程为240r -=，得特征根1,22r =± 所以，其对应齐次方程的通解为2212()uu f u C eC e -=+，设非齐方程的特解为*y Au B =+，代入原方程，得1,04A B =-=得非齐方程的一个特解为*4uy =-，故方程的通解为 2212()u u f u C e C e -=+4u-，由(0)0,(0)0f f '==得1212012204C C C C +=⎧⎪⎨--=⎪⎩,得1211,1616C C ==-, 故221()(4)16u uf u e e u -=--．。
中南大学高数c期末试题及答案
中南大学高数c期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. $y=x^2$B. $y=\sin x$C. $y=e^x$D. $y=\ln x$2. 若$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = L$，则$L$的值为：A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数$f(x)=x^3-3x+1$的极值点是：A. $x=1$B. $x=-1$C. $x=0$D. $x=2$4. 曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的切线方程是：A. $y=2x-1$B. $y=x-1$C. $y=2x+1$D. $y=x+1$二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=\ln(x)$的导数是_________。
2. 若$\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{1} x dx =$__________。
3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的法线方程是_________。
4. 若$\sum_{n=1}^{10} n = 55$，则$\sum_{n=1}^{10} n^2=$__________。
三、解答题（每题30分，共60分）1. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+15$的极值点和极值。
2. 计算定积分$\int_{0}^{2} (2x+1) dx$，并说明其几何意义。
答案：一、选择题1. B2. B3. A4. A二、填空题1. $\frac{1}{x}$2. $\frac{1}{2}$3. $y=-2x+3$4. 385三、解答题1. 函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+15$的导数为$f'(x)=3x^2-12x+9$。
令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$。
在$x=1$处，$f''(x)=6x-12=-6<0$，所以在$x=1$处有极大值；在$x=3$处，$f''(x)=18-12=6>0$，所以在$x=3$处有极小值。
中南大学高等数学复习题及答案
中南大学复习题及参考答案《高等数学》一、填空题1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim0=-=---→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--=Λ21, 则()=+1n y (1)!n + 8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
《高等工程数学》习题一参考答案
2 1 1 1 3 1 0 0 1 4 ，可得基础解系为 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5
f1 (0,1,1,0,0) , f 2 (1,1,0,1,0) ， f 3 (4,5,0,0,1) ，Schmidt 正交化得，
1
13.按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证， 1） 不满足第 （2 ） 条， （4） 条， 故不是欧氏空间; 不满足第（4）条，故不是欧氏空间；3）都满足，故是欧氏空间。 14. 按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证，都满足，故是欧氏空间。 15. 设向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 与三个向量正交，则有
所以对两组基有相同坐标的非零向量可取为 (c, c, c,c)(c 0). 5. 由第 7 页子空间定义可得，1）向量满足加法和数乘封闭，是子空间；2）向量不满足加 法或数乘封闭，故而不是子空间。 注：从几何上看，子空间过原点，而不过原点的都不是。 6. 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价， 即可以互相线性表示。 解：因对应分量不成比例，故 α1 (1,1,0,0), α2 (1,0,1,1) ， β1 (1,1,0,0), β2 (1,0,1,1) 线性
2
T1T2 ( x1 , x2 ) T1[T2 ( x1 , x2 )] T1 ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) T2T1 ( x1 , x2 ) T2 [T1 ( x1 , x2 )] T2 ( x2 , x1 ) ( x2 , x1 )
11.略。 12. 解：1）因为 T ( x1 , x2 , x3 ) ( 2 x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，按照 P18 (1.21)，可知
中南大学考试卷
中南大学第二学期期末考试试卷考试科目高等数学考试时间：100分钟 试卷总分100分一、填空题（每小题10分，总计60分）1、螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在xoy 上的投影曲线方程为 ．222()x y a += 2、设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂ ．1221()y yf f g y x '''+- 3、设()12sin cos x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ．(220)y y y '''-+= 4、二次积分10x y dx dy y =⎰ ．(1sin1)- 5、设L 为逆时针取向的圆周222x y R +=，则22L ydx xdy x y -=+⎰Ñ ．(2)π- 二、设平面π是过直线3220260x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面, 且点()1,2,1M 到平面π的距离为 1，求平面π的方程． 解：(22100;43160)x y z y z ++-=+-=三、设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y x y f x y x y ⎧++++≠⎪+=⎨⎪+=⎩（1）问(),f x y 在原点()0,0处是否连续？（2）问(),f x y 在原点()0,0处的偏导数是否存在？（3）问(),f x y 在原点()0,0处是否可微？解：(1)连续；(2)存在；(3)可微.四、设Ω是由z =及1z =围成的立体， 求221zdv x y Ω++⎰⎰⎰．解：1(ln 2)2π-五、（1）求函数23u x y z =-+在222236x y z ++=条件下的最大值与最小值.（2）求圆锥面222z x y =+被柱面222x y x +=截下有限部分的面积.解：（1）6±；（2）.六、计算333x y z I dydz dzdx dxdy r r r ∑=++⎰⎰Ò，其中∑取曲面2222x y z a ++=的外侧. 解：4π七、（1）计算23ydx xzdy yz dz Γ--⎰Ñ，其中Γ为曲面222x y z +=与平面2z =的交线，从z 轴正向看是逆时针方向.(20)π-（2）求方程()3232(3)30x xy dx y x y dy -+-=的通解.解：44226x y x y c +-=八、设()),0u f r r r ==>，其中f 具有二阶连续导数，且函数u 满足方程2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂，求函数()f r 求的表达式.解：112c r c -=+。
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
中南大学2021年期末《高等数学》试题及答案
一. 单选题（共25题,共100分）1. 若在为（）. （4分）2. 设（4分）C.D.3. 的值为（）. （4分）4. 下列无穷积分中收敛的是()。
（4分）A.B.C.D.5. 下列函数中为偶函数的是（）（4分）A.B.C.D.6. 下列说法正确的是（）（4分）A.若可导B.若不连续C.若极限不存在D.若不可导7. 若内（）. （4分）A.B.C.D.8. （4分）D.9. 设函数（4分）B.C.D.E.11. 设函数（4分）A.B.C.D.12. 若（4分）A.B.C.D.13. 设（4分）A.B.C.D.14. 设则（）. （4分）A.B.C.D.15. 二重极限（4分）C.等于16. 函数在点处（）．（4分）17. 函数处（）（4分）18. （4分）19. 函数（4分）20. 若函数（4分）A.B.C.D.21. 下列函数中，（）不是基本初等函数．（4分）A.B.C.D.22. 函数的连续区间是（）（4分）A.B.C.D.8af41950-b1bc-single23. 设可导的（）（4分）4459256a-f13b-single24. 设记，则有（）. （4分）A.B.C.D.1fd6c4b4-ecd9-single25. 已知（4分）第二套一. 单选题（共25题,共100分）ab25448a-4896-single1. 设齐次线性方程组的系数矩阵记为A，若存在3阶非零矩阵B，使AB=0，则（）（4分）A.B.C.D.084201bf-ec80-single2. 设向量组不能由线性表示，则对于任意常数k必有（）（4分）A.线性无关B.线性相关C.线性无关D.线性相关557467a0-4af9-single3. 向量组线性相关的充分必要条件是() （4分）A.中含有零向量B.中有两个向量的对应分量成比例C.中每一个向量都可由其余个向量线性表示D.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示fcd94325-e911-single4. 微分方程的通解为（）（4分）A.B.C.D.e063cd0e-b657-single5. A为3阶矩阵，（4分）A.B.2C.e8bc7257-565a-single6. 设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（）．（4分）d85d9502-509f-single7. 若的值为() （4分）7b5bb558-c1b2-single8. 设（4分）14f9b70c-b900-single9. 已知（4分）C.;D.-bdb4841d-7350-single10. M为n阶方阵，的一个特征值为(). （4分）设A、B均为n阶方阵，则必有（）. （4分）A.C.D.A是n阶正定矩阵的充分必要条件是（）. （4分）A.B.存在n阶矩阵C使094dae6c-371f-single13. 微分方程特解形式可设为（（4分）B.C.D.E.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有（）（4分）A.B.C.D.26c1c271-3ae6-single15. 方程是（）（4分）A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（）. （4分）A.D.f744a7dd-d0be-single17. ,则必有() （4分）A.B.C.D.0c63d9b9-2607-single18. 已知非齐次线性方程组是其导出组（4分）4a92f68a-ad91-single19. 二次型的矩阵表示为() （4分）A.B.C.D.5052f555-8f89-single20. 设级数（）. （4分）含s个向量的向量组线性无关的充要条件是() （4分）下列命题中正确的是（（4分）D.任何必然线性相关E.若只有才成立，且线性无关。
中南大学高等数学在线作业三
一. 单选题（共25题,共100分）1. 设的分布函数，则下列是分布函数的为（）。
（4分）A.B.C.D.2. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为则P{XY=0=（）（4分）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.83. 设A,B互为对立事件，且则下列各式中错误的是（）（4分）A.B.C.D.4. 随机变量X,Y相互独立，且。
下列式子中正确的反映随机变量的切比雪夫不等式的是( ) （4分）A.B.C.D.A.42378B.42379C.42380D.423816. 设分别为随机变量是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）（4分）A.B.C.D.7. 设随机变量(X,Y)的分布密度函数为则E(X)=（）（4分）A.1B.42372C.42371D.08. 设随机变量X服从参数为且（4分）A.42517B.42578C.42609D.426709. 设A,B是随机事件，且，则必有（）。
（4分）A.B.C.D.10. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（4A.B.C.D.11. 设离散型随机变量X的分布律为，则（）（4分）A.B.C.D.12. 设随机变量服从() （4分）A.B.C.D.13. 设，则下面正确的等式是（）（4分）A.B.C.D.14. 任何一个连续型随机变量的概率密度函数一定满足（）（4分）A.B.C.D.在定义域内单调不减15. 设X的分布律为则其分布函数为（）（4分）A.B.C.D.16. 掷两颗均匀的骰子，事件点数之和为3的概率是（）. （4分）A.B.C.D.17. 设随机变量必然（）。
A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零18. 设相互独立的（）（4分）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要19. 任何一个连续型随机变量的概率密度函数一定满足（）（4分）A.B.C.D.在定义域内单调不减A.B.C.D.A.B.C.D.22. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（）（4A.B.C.D.A.）B.C.D.E.A.B.C.D.25. 若随机变量X，Y相互独立，且=() （4分）A.-14B.-13C.40D.41。
中南大学高等数学复习题及答案
.
1 3
1
23. 1
1 1 1
1 x 是关于 x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 1
.
1
答案： 2;
3 1 x
24. f(x)= x
2 5是 x
次多项式，其一次项的系数是
。
1 4
解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为 4。 25. A、 B、 C 代表三事件， 事件 “A、 B、 C 至少有二个发生” 可表示为 AB+BC+AC 26. 事件 A、B 相互独立，且知 P A 0.2, P B 0.5 则 P A U B 解：∵A、B 相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 27. A，B 二个事件互不相容， P A 0.8, P B 0.1, 则 P A B . . .
故 2 x
当 x 2 时，幂级数成为数项级数 为 ( 2 , 2 ) .
1 1 1 1 19． y y 0 的满足初始条件 y1 , y 1 的特解为 y x . 12 4 12 2
2
3
20．微分方程 y 3 y 0 的通解为 y c1 c2 e 3 x . 21．微分方程 y 6 y 13 y 0 的通解为 y e 3 x c1 cos 2 x c2 sin 2 x . 22.设 n 阶方阵 A 满足|A|=3，则=| A A |= 答案： 1
2
）
2
2
B. x 2 ；
C. ( x 1) ； D. x 1 。
1 1 1 1 1 x 2 2 2 2 ( x ) 2 2 ，所以 f ( x ) ( x ) 2 2 2 x x x x x
中南大学高等工程数学试卷超全整理(免费提供)
祝大伙儿考试顺利！中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）一考试日期：2020年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L -1ε； 2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件（1）在每一个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上持续；（3）知足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
中南大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试中南大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．0sin 5lim 2x x x→= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy =。
4．不定积分⎰= 。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.函数的图形如图示，则（ ）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点2.若函数有一个原函数，则不定积分（）.A.B.C.D.3.若定积分（）.A.B.C.D.4.定积分A.B.C.D.5.曲线的凸区间是（）．2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试A.B.C.D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求函数的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）。
2. dx t A dy t A t f y e x t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设.3. 已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx .确定2x y e =2(x -2)的单调区间.4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。
5．求函数321x y x =-的单调区间，极值和拐点。
6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。
7．求不定积分3。
212x x y +=.四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．设函数f (x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，证明：方程在(0, 1)内至少有一个实根。
高等数学(专科)复习题及答案(2020年10月整理).pdf
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案《高等数学》（专科）一、填空题1．函数1142−+−=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+−−∞ 。
2．若函数52)1(2−+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62−x 3．________________sin lim =−∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=−=−=−=−∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=−−++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42−−=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=−−++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2−==b a 5.已知∞=−−−→)1)((lim0x a x be x x ，则=a _____, =b _____。
∞=−−−→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=−=−−−→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+−→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(−∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y −⋅⋅−−= 21, 则()=+1n y(1)!n +8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。
（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。
综上，认为工厂生产正常。
三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。
中南大学 高等工程数学 作业(数学建模题目)
六、分析结论 本实验证明了，采用非线性的插值方法，比如抛物线插值方法等，能更好的 对湖泊的边界曲线进行拟合。
4
二、城市居民用水量的估计模型
一、问题描述： 现在很多居民小区都有各自的水塔向用户供水。 当地的用水管理局几乎都会 要求社区物业管理处提供每月的总用水量。 但是由于测量水塔流入和流出水量的 装置比较昂贵很多物业管理都不会选择去安装这些装置， 而是使用每小时测量水 塔水位来代替。此外，不论什么时候，当水塔的水位下降到最低水位时，水泵就 会自动启动向水塔供水直到水位到达最高水位时，水泵自动停止供水，但我们无 法测量出水泵的供水量。 从以上描述可以看出， 我们不能直接去测量水塔的用水量，但可以通过出水 流量与时间相乘计算出一定时间内的用水量。
5
法得出，然后求其导函数，即得出连续时间的流速。 设水塔的直径为 d，面积为 s，水流速为 vs，流量为 vt，总的用水量为 vm。 测量的数据如下： D=17.4m 时间(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位(m) 9.6769 9.4788 9.3081 9.1253 9.0071 8.8144 8.6864 8.5030 8.3877 8.2201 时间(h) 9.98 10.93 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.96 16.83 17.94 水位(m) 水泵工作 水泵工作 10.8199 10.4998 10.2103 9.9573 9.6190 9.3904 9.1801 8.9211 时间(h) 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(m) 8.6620 8.4334 8.2201 水泵工作 水泵工作 10.5913 10.3292 10.1798
中南大学2021年《高等数学上》期末考试试题及答案
一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在 3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ).(A)()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦(C)()()220f f -⎡⎤⎣⎦(D)()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分b adx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc + ②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =。
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第一章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址： yangwq@ ） 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。
证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。
余略。
5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。
解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
高等工程数学试题-2020-12-校内专业硕士-A
中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷A （开卷）考试日期：2020年 12月30 日 时间100分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）算法21212(,)sin y f x x x x ==+，已知1x 和的2x 绝对误差限分别为001.0)(1<x ε和002.0)(2<x ε，则()y ε≤ ；（2）已知函数)(x f y =通过节点(-1,1),(1,2),(2,5),(3,1)，则相应三次Lagrange 插值多项式的插值基函数2()l x = ；（3）设01,,,[-1,1]n x x x ∈，数值积分公式10011-1()()()()n n f x dx A f x A f x A f x =+++⎰的代数精度不小于2，则=+++n n x A x A x A 1100 ；（4）若插值结点数为1=4n +，请写出在第一类边界条件下，用M 方法求三次样条插值函数()S x 需求解的线性方程组的系数矩阵 ；（5）设130124, 302A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则矩阵A 的Doolittle 分解 L = ,U = ； （6）解方程组123130412473025x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为G = ； （7）设总体X 服从[1,1]θ+上的均匀分布，则θ的矩法估计为 ，极大似然估计为 ；（8）如果,x y 有如下形式的一元线性回归模型20.8~(0,)Y a x N εεσ=++⎧⎨⎩，(,).1,2,,i i x y i n =为一组独立观测数据，则a 的最小二乘估计为 ， 2σ的无偏估计为 ；二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下表：用适当的多项式插值算法计算(1.2)f 的近似值，并估计截断误差。
三、（本题12分）设定积分⎰b a dx x f )(在将积分区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下表：请利用表中数据计算()ba f x dx ⎰足够高精度的近似值，并估计算法截断误差的上界。
高等工程数学试题.doc
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 ， 和 时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ；（4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞= ；1A = ；1x = 。
（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计 。
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法 。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。
二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n = ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）；5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）； 6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。
每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。
为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。
工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。
解：设微型车生产了x 1辆，中级车生产了x 2辆，高级车生产了x 3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：钢材：1.5x 1+2x 2+2.5x 3≤6000 人工：30x 1+40x 2+50x 3≤55000生产数量：x 1≥1500 x 2≥1200 x 3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c 1x 1+c 2x 2+c 3()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++1000120015005500050403060005.225.1321321321x x x x x x x x x 三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x N ，计算(6)f 的近似值，给出误差估计式。
解：因此32335.155.97.105.0)(x x x x N +-+=，而5.12)6()6(3==N f[]504.27)56()26()16(62292.0)()6(432103-=-⨯-⨯-⨯⨯-==x x x x x x f R ω四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,A A A 并假设2~(,)i i A N μσ，1,2,3i =，）后的存活日数，得到的数据 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =） 解：（1）见表中红色部分（2）设H 0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量)1()1(--=N SSE I SSAF ，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得89.3)12,2(05.0=F ，因为F=6.286>)12,2(05.0F ，所以拒绝H 0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。
五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解1231231213132max 2086832250250..43150,0,Z s t x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≤⎪⎪≥⎪⎩ 六、（本题10分）试确定求积公式 1012 1()(1)(0)(1)f x dx A f A f A f -≈-++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高。
解：将2,,1)(x x x f =分别代入式中得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=++=20202103202AA A A A A A ，因此得35,31120===A A A七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。
试解释什么是逐步回归法？（2）如果要考察因素A 、B 、C 及交互作用A ×B 、A ×C 、B ×C ，如何用正交表78(2)L 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。
表 78(2)L 两列间交互作用表解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y 影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y 的作用都显著是，才考虑引入新的变量。
再在剩下的未选因子中，选出对y 作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。
直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。
（2）如果因子A 放在第1列，因子B 放第2列，则A ×B 放在第3列。
如C 放在第4列，再查交互作用表，A ×C 和B ×C 应分别放在第5列和第6列。
表头设计如下：八、（本题14分）设方程组为1230259510430102014x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛； （2）取(0)0x =，用Gauss-Seidel 迭代法计算两步迭代值(1)x ，(2)x ； （3）取(0)0x=，估计用Jacobi 迭代求解(100)x 与准确解*x 的误差。
解：（1）将原矩阵变换为如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9301452041050210321x x x ，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛。
（2）由G —S 迭代公式得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-=+++++)29(51)4530(101)214(101)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x ，又由于(0)0x =，因此经两步迭代后得()88.03.24.1)1(=x ，()9288.0178.294.0)2(=x （3）由Jacobi 迭代公式得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-=+++)29(51)4530(101)214(101)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 因此⎪⎭⎫⎝⎛----=)29(51)4530(101)214(101)99(2)99(3)99(1)99(2)100(x x x x x14222231+-+--=+k k kkk k k x x x x x x x 1421422222231+--=+-+-⨯-=+k k kk k k k k k k x x x x x x x x x x 14221+--=+k k k k x x x x中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；解：由牛顿迭代公式得因其存在2重跟，故需对其进行修正得（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 φ(x)于[a,b]一阶导数存在， 当x ∈[a,b]时，有φ(x)∈[a,b] 和 |g ＇(x)|≤L ≤1，∀x ∈[a,b]时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ； 解：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=111323121l ll L ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=332322131211u u u u u u U ，⎪⎩⎪⎨⎧======112131312121111a u a u a u ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2121113131112121u a l u a l ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=2553122122222212313232u l a u u u l a l ，43,23232213212323=--=u u l u l a u ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡153211211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=20214325112U ()T 1112021233213313333=--=u l u l a u ,因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=153211211L ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=20214325112U ,()T x 111= （4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则：A ∞= {}564m a x =6 ；1A = {}564max =6 ；1x = 4+6+5=15 。