平面向量数量积及其应用

平面向量数量积（讲案）

一、平面向量数量积

【知识点】

1. 向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，记,OA a OB b ==，则(0180)AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做a 与b 的

夹角。

2. 数量积的定义：已知两个非零向量,a b ，它们的夹角为θ，则||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，

即||||cos a b a b θ⋅=。

3. 数量积的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

4. 平面向量数量积的性质：

两个非零向量,a b ，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则：①||cos a e e a a θ⋅=⋅= ②0a b a b ⊥⇔⋅=

③ 当a 与b 方向相同时，||||a b a b ⋅=，特别地2

||||a a a a ==

⋅；

当a 与b 方向相反时，||||a b a b ⋅=- ④cos ||||

a b

a b θ⋅=

⑤ ||||||a b a b ⋅≤

5. 平面向量数量积的坐标表示：

设1122(,),(,)a x y b x y ==，它们的夹角为θ，则： ①1212a b x x y y ⋅=+ ②21||a x y =

+

③

cos θ=

④121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 【例题讲解】

★☆☆例题1．已知(1,1),(1,2)a b =-=-，则(2)a b a +⋅=（ ）

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

答案：C

解析：(2)(1,0)(1,1)1a b a +⋅=⋅-=

★☆☆练习1．在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD =-=，则

AD AC ⋅=（

）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

答案：A

解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+，

()(2,1)(3,1)5AD AC AD AB AD ⋅=⋅+=⋅-=

★☆☆练习2．已知(1,3),(3,1)a b ==，则a 与b 夹角的大小为 ． 答案：30︒ 3

,2

||||a b a b a b ⋅<>=

=

⋅，,30a b >=︒ ★☆☆例题2. 设,x y R ∈，(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则||a b +=（ ）

A.

B.

10

C. D. 10

答案：B 解析：

,//2,2a c b c x y ⊥∴==-

(2,1)(1,2)(3,1),||10a b a b +=+-=-+=

★★☆练习1. 设向量,a b 满足||10,||6a b a b +=-=，则a b ⋅=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

答案：A

解析：使用极化恒等式221

[()()]14

a b a b a b ⋅=

+--= ★★☆练习2. 若非零向量,a b 满足||3|||2|a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为 。 3

解析：2

||3|||2|(2)(2)9||a b a b a b a b b ==+∴+⋅+=

化简得：222||44||9||a a b b b +⋅+=即2

4||||cos 4||0a b b θ⋅+=

★☆☆例题3. 已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则AB 在CD 方向上的投影为（ ）

A.

2

B.

2

C. 2

-

D. 2

-

答案：A

32

||||||||

AB CD AB CD AB AB CD CD ⋅⋅⋅

==★☆☆练习1. 设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为3

π

，若123a e e =+，12b e =，则a 在b 方向上的投影为 。

121(3)25

||||||||

e e e a b a b a a b b +⋅⋅⋅⋅

===

★☆☆练习2. 已知,a b 满足||1,||2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则

||a b -= 。

解析：因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，所以a b ⊥，||5a b -=

★☆☆例题4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅= 。 2

解析：2

3()||2

BD CD BC CD CD BC CD CD a ⋅=+⋅=⋅+=

★★☆练习1. 如图，在平行四边形ABCD 中，8,5AB AD ==，

3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅= 。

答案：22

解析：考察基底，选取,AB AD 为基底，则13,44

AP AD AB BP AD AB =+=- ∴221313

()()||||244216

AP BP AD AB AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-⋅-=

代入解得22AB AD ⋅=

★★☆练习2. 在平行四边形ABCD 中，||6,||4AB AD ==，若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）

A. 20

B. 15

C. 9

D. 6

答案：C

解析：选取,AB AD 作为基底，则311

,434

AM AB AD NM AB AD =+

=- 2231113

()()||||9434316

AM NM AB AD AB AD AB AD ∴⋅=+⋅-=-=

★★☆例题5. 在平行四边形ABCD 中，3

A ∠=，边,A

B AD 的长分别为2,1。若,M N 分别是边,B

C CD

上的点，且满足||||

||||

BM CN BC CD =

，则AM AN ⋅的取值范围是 。 答案：[2,5] ||||

(||||

BM CN BC CD λλ==，选取,AB AD 作为基底，则,(1)AM AB AD AN AD AB λλ=+=+-