第五章 静定平面桁架

结构力学教案 第五章 静定平面桁架
简图与实际的偏差：并非理想铰接；并非理想直 杆； 并非只有结点荷载； 主内力:按计算简图计算出的内力 次内力:实际内力与主内力的差值
二. 桁架分类
按几何组成分为： 1）简单桁架
结构力学教案 第五章
2）联合桁架
1ห้องสมุดไป่ตู้
静定平面桁架 A
2
1
3
3）复杂桁架
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RA=6 ３ｍ
第五章 静定平面桁架
q = 1kN / m
F
G
C
B 0.5m
-3.5
D
３ｍ
15
３ｍ
E
３ｍ
0.75m
RB=6
q = 1kN / m
F 15 A
α
3.5 2.5
0.75 0.75
C 15 0.25m
Y=0
弯矩,由F以右
MF
= 15× 0.25 −
1 3×3 = 2
−0.75kN
⋅m
0.75
结构力学教案 第五章 静定平面桁架
20kN
FyDC FNDC
C
30 5 D A
4m
FNDF 2m F FyDF
FxDF FNDF
51
2
∑ Fy = 0
FyDC + 30 − 20 − FyDF = 0
(FyDF = −10kN )
FyDC = −30 + 20 −10 = −20kN
FNDC = FyDC (l / ly ) = −20( 5 /1) = −44.72kN (压)
F
解： 1) 求支座反力
2) 求FN1、FN2
先取结点B为隔离体
FNBE
D
FNBC
B 60kN
80kN
A 60kN 2m
1
2 C 2m 2m
80kN G
2m
2m E
2m
B 2m 60kN
∑ Fy = 0
∑ Fx = 0
FyBE = −60kN FxBE = −60kN
FNBC = −FxBE = 60kN (拉)
结构力学教案 第五章 静定平面桁架
第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 结点法 §5-3 截面法 §5-4 结点法和截面法的联合应用 §5-5 各式桁架的比较 §5-6 组合结构的计算 §5-7 零载法分析体系的几何构造
结构力学教案 第五章 静定平面桁架
本章重点： 平面桁架的受力特点 平面桁架内力计算方法 各类桁架受力性能比较
FxAB
FNAB
3m
51 2
B
FyAC 4m
FyAB 2m
13 3 2
∑MC = 0
FyAB = (−FP × 6) / 4 = −1.5FP FxAB = FyAB (2 / 3) = −FP FNAB = FyAB (l / ly ) = −1.5FP ( 13 / 3) = −1.803FP (压)
∑MC = 0
FxDF × 2 + 20 × 2 = 0 FxDF = −20kN
20k FNDC C
5
1
FyDF = FxDF (ly / lx )
N 30 5 D A
4m
FND 2m
2
F F FxDF
FyDF FND
F
= −20(1/ 2) = −10kN FNDF = FxDF (l / lx ) = −20( 5 / 2) = −22.36kN (压)
α
y
A
α
FN2 FN4
FN1＝ -FN2
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FP
FP
FP
FN2 0
y 0 FN1
FN3
αα
A
FN4
12
αα
3 A4
∑Fy＝0 FN1＝ FN2=0 ∑Fx＝0 FN3＝ FN4
¾小结： 1) 支座反力要校核；
2) 判断零杆及特殊受力杆； 3) 结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力 按实际方向标注； 4) 运用比拟关系 FN = Fx = Fy ；
NTD
E ΙΙ F
TΙ
P
CD
d
a
d
K
GH
ΙΙ Ι
2d
由截面Ι- Ι右 2 P
P
∑Y = 0
4D
NDG = −1.25P NDG
由截面ΙΙ - ΙΙ上
∑ M F = 0 Na = 0.05 2P
A
B
2d
2d
2d
0.5P T
P
1.3P
CD
F
Na
1.25P
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例 求FN1、FN2 。
∑ Fx = 0
FNAE
=
− FxAD
=
60kN (拉 ) 60kN
结点E ∑ Fx = 0 F N E F = 6 0 k N (拉 )
51
2
0 FNEF E
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20kN D
AE
20kN C 20kN
G 1m 1m
F HB
2m 2m 2m 2m
结点D
将FNDF延伸到F结点 分解为FxDF及FyDF
本讲难点： 结点法和截面法联合应用 组合结构的计算
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§5-1 平面桁架的计算简图
一.桁架的计算简图
桁架----直杆铰接体系.荷载只在结点作用，所有杆 均为只有轴力的二力杆 . 基本假设：（1）各杆均为直杆，且位于同一平面内； （2）铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦； （3）荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面 内。
结点C ∑ Fy = 0
20kN
FNCF + 20 − 40 = 0 FNCF = 20kN (拉)
20 5
C 20 5 FNCF
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将所求的各杆内力标在图示各杆上
20kN
20kN D
-67.08 0
-44.72 -22.36
C 20
20kN
G 1m
0
1m
0 A 60 E 60 F H B
30kN 2m 2m 2m 2m 30kN
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例5-2 用结点法求AC、AB杆轴力。
FP D
C E
G
FP A 3m
B 3m
F
4m H
2m 4m 2m
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解： 取结点A，将FNAC延伸到C分解，将FNAB延伸
到B分解。
FP
FxAC C
FNAC A
Ｐ
５ ６
N1 ⋅ X + NP = 0
X = − NP N1
６
１ Ｐ
５
NP
１
４ ６
３
２
５
４
Ｘ
３ Ｘ ０
１
２
４ ６
３
２
５
４
Ｘ＝１
N1
３
Ｘ＝１
１
２
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§5-6 组合结构的计算
下面讨论组合结构的内力计算。 所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只受 轴力作用的二力杆。
钢筋混凝土,受弯
4.列方程求内力
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§5-3结点法和截面法的联合应用
为了使计算简捷应注意：
1）选择一个合适的出发点； 2）选择合适的隔离体； 3）选择合适的平衡方程
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例： 计算桁架中a杆的内力。 1.3P 0.5P
由结点T
N DT = −
2P 4
0.5P T
型钢,二力杆
钢筋混凝土,受弯
型钢,二力杆
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在计算组合结构时，要分清杆件的受力性质。一般说 来，用截面法取隔离体时，不能随意切断梁式杆，可 以切断二力杆，也可以拆开铰结点，如下图示。
A B
E
FP C
D
Ｅ
FxB B
FP
E
C
FyB
FNED
Ｅ
结构力学教案
例
A
3.5 + 15
1
1
1
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P 2F P 1 Ι G
例 求图示桁架指定杆件的内力
I
N1
E
a/3
A
3
2
2a / 3 N2
YA 解:
C
2
D
ΙH 5×a
J
B D NHD
1.求支座反力
YB YA = 7P / 5(↑),YB = 3P / 5(↑)
2.作1-1截面,取右部作隔离体
∑ F y = 0, N2 = 3 2P / 5
§5-2 结点法
为求各杆轴力，需要用到隔离体的平衡。若所取 隔离体只包含一个结点，则称为结点法。
结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。
结点法所取隔离体为平面汇交力系，由于平面汇 交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零， 故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。
平衡方程为：
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 或 ∑ M A = 0 ∑ M B = 0
2）拱式桁架—— 在竖向荷载作用下不仅产生 竖向反力而且产生水平反力的桁架。
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三. 轴力正负号
轴力以拉力为正，压力为负。 在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实 际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。
10kN
A
FN1
FN2
15kN
B
FN1
5kN
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按外形来分 1）平行弦桁架—— 上下 弦杆互相平行的桁架。
2）折弦桁架—— 下弦杆 在一条直线上而上弦杆在 一条折线上桁架。
2）三角形桁架—— 上下 弦杆在外形上构成一个三 角形的桁架。
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按有无水平推力来分 1）梁式桁架—— 在竖向荷 载作用下只产生竖向反力而 不产生水平反力的桁架。
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注：几种特殊结点的受力情况
1）L型结点
FN1 0 90。 0 FN2
s
FN1＝FN2＝0
2）T型结点
FN1
FN2
0
FN3 = 0, FN1 = FN2
3）X型结点 FN1
FN3 FN4 FN2
FN1 = FN 2 , FN 3 = FN 4
4）K型结点 FN3
FN1 FN3
l lx ly
5) 注意利用力矩平衡方程。
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§5-3截面法
截面法是截取的隔离体包含两个或两个以上结点 的方法。 隔离体上的力系是平面一般力系，可以建立三个平衡
方程∑Fx＝0、 ∑Fy＝0、 ∑M＝0。所以作一个截面
隔离体最多可以求出三个未知轴力。
对于联合桁架，应首先切断联系杆。
剪力与轴力
Q = Y cosα − H sinα
N = −Y sinα − H cosα
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20kN
20kN C 20kN
FyAD FNAD
D AE
G 1m 1m A
F HB
FxAD FNAE
2m 2m 2m 2m
30kN
结点A
∑ Fy = 0
FyAD = −30kN FxAD = FyAD (lx ly ) = −60kN
FNAD = FyAD (l ly ) = −67.08kN
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截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。
B
D
E 几何组成顺序：A、B 、C、D、E
C A
取结点隔离体顺序 ：E、D、C、B、A
应熟练运用如下比拟关系：
FN = Fx = Fy
l
lx
ly
FN
= Fx
l lx
=
Fy
l ly
Fx
=
Fy
lx ly
Fy
=
Fx
ly lx
l
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FxAC C
FP FNAC A
FNAB FxAB
B
FyAC
FyAB
4m 2m
3m
51 2
13 3 2
∑MB =0
FyAC = (FP × 2) / 4 = 0.5FP FxAC = FyAC (2 /1) = FP FNAC = FyAC (l / ly ) = 0.5FP ( 5 /1) = 1.118FP (拉)
O
A
∑ M D = 0, N1 = −6P / 5
YA
P
YB
N3 X3 C Y3 D
3.作2-2截面,取左部作隔离体
∑M O
=
0,Y3
⋅
3a
+
P
⋅
2a
− YA
⋅a
=
0,Y3
=
−P
/
5
N3 = −
13 P 10
2a 2a / 3
13a / 3 a
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截面法计算步骤: 1.求反力； 2.判断零杆； 3.合理选择截面，使待求内力的杆为单杆；
如果在某个截面所截的轴力均为未知的各杆中，除 某一杆外其余各杆都交于一点(或彼此平行)，则该杆 称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列两种情况
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1) 截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此平行)的三
根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。
1 2
1
1
3
23
2
3
2) 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都 交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是单杆。
20 2kN
∑MF
= 0, Fy1
=
1 (20 4
2×4
2) = 40kN
FN1 = 40 2 = 56.57kN (拉)
II
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练习:求图示桁架指定杆件内力(只需指出方法即可)
P
a
b
P
P
b
P
P c
P
b
b
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复杂桁架的计算 杆件代替法
Ｐ
lx FN
FN ly FN Fy
Fx
结构力学教案 第五章 静定平面桁架
例5-1 用结点法求各杆轴力。
解：
20kN
1）支座反力
20kN
C 20kN
FyA=FyB=30kN(↑)
D
FxA=0 2）判断零杆 见图中标注。
0A 30kN 2m
0
E
2m
G
0
F HB
2m 2m
1m 1m
30kN
3）求各杆轴力 取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。 结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
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I
D
80kN A
60kN 2m
F II
2 2m 取截面I－I以左为隔离体
FN2 2m
C 60kN I
2m 2m
∑MD = 0
FN2
=
1 22
(−60×2
− 60×
2
+80×2)
= −80 = −28.28kN(压) 22
80kN
G
取截面II－II以右为隔离体：
FN1 E