【精选】八年级数学上册整式的乘法与因式分解单元培优测试卷

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为

2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：

2222211111125115115112411242224222

2x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；

（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）． ①正数②非负数 ③ 0

【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①

【解析】

【分析】

（1）根据材料所给方法解答即可；

（2）材料所给方法进行解答即可；

（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.

【详解】

解：（1）281x x +-

=2816116x x ++--

2(4)17x +-.

（2）原式=22118x x -+--

=2(1)9x --

=(13)(13)x x -+--

=(2)(4)x x +-．

（3）222416x y x y +--+

=()()22214411x x y y -++-++

=()()221211x y -+-+

＞11

故答案为①.

【点睛】

本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.

2．观察下列各式:

()()2111,x x x -+=-

()()23 111,x x x x -++=-

()()324 111,x x x x x -+++=-

()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-

······

()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=

(其中n 为正整数) ;

()()3029282(51)5555251-+++++

()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+

+-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213

-- 【解析】

【分析】

（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；

（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；

（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.

【详解】

（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；

（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5

()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+

⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦

-+ =2020(2)13

--- =2020213

-- 【点睛】

本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.

3．观察下列等式：

22()()a b a b a b -=-+

3322()()a b a b a ab b -=-++

443223()()a b a b a a b ab b -=-+++

55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++

完成下列问题：

（1）n n a b -=___________

（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.

（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.

【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.

【解析】

【分析】

（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；

（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得

出结果；

（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．

【详解】

解：（1）()()22a b a b a b -=-+，

()()3322a b a b a ab b -=-++，

()()44

3223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()

55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：

a n -

b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），

故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；

（2）由（1）的规律可得

（2-1）()

636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.

故答案是：264-1.

（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.

()()

3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]

∴33a b -=24431⨯+⨯（）

=76. 故答案是：76.

【点睛】

此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．

4．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.

例题：已知22

4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22

(21)(44)0x x y y -++++=