2021版新高考数学一轮复习第八章立体几何初步8.2平面的基本性质及两直线位置关系课件新人教B版
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第二节 平面的 基本性质及 两直线位置关系
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.四个公理 公理1：如果一条直线上的_两_点___在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在 这个平面内. 公理2：过_不__在__同__一__条__直__线__上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_有__且__只__有__一__条__过这个 点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线_互__相__平__行__.
①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两
条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面
有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上, 则两个平面相交,①③正确.
2.(必修2P38练习AT6改编)给出下列命题：
提示:(1)×.没有公共点的两条直线也可能平行. (2)×.两个平面α,β有一个公共点A,则α,β相交于过A点的唯一一条直线. (3)√.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α. (4)×.分别在两个平面内的两条直线可能是相交直线,也可能是平行直线,也可能是 异面直线. (5)×.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：
(2)异面直线所成的角：
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们 把a′与b′所成的_锐__角__(_或__直__角__)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； 范围：(0， ].
2
(3)等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
【易错点索引】
序号 1wk.baidu.com
2
3 4 5
易错警示 三点确定平面时忽视三点共线情况 一点一线确定平面时忽视点在线上的 情况
公理3理解不透致误 忽视异面直线所成角的范围致误
异面直线概念理解错误
典题索引 考点一、T1
考点一、T1
考点一、T3 考点二、T2 考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(必修2P38练习AT1改编)下列说法正确的个数为( )
4.选D.在图①中分别连接PS,QR,易证PS∥QR, 所以P,Q,R,S四点共面; 在图中③分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面. 在②图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面; 在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.
2.选A.如图,因为a∩b=P,所以P∈a,P∈b,
因为α∩β=a,β∩γ=b, 所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c, 所以P∈c.
3.选B.如图所示, 因为EF⊂平面ABC, HG⊂平面ACD,EF∩HG=P, 所以P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.
3.(必修2P56习题A组T7改编)若P是两条异面直线l，m外的任意一点， 则( ) A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
【解析】选B.因为若存在过点P的直线与l，m都平行，由传递性，知l，m也平 行，与已知l，m是异面直线矛盾，所以A错误，当点P在某些位置时，过点P不 存在直线与l，m都相交，所以C错误，过点P有无数多条直线与l，m都异面，所 以D错误，因为过点P分别作l，m的平行线l′，m′，则这两条直线确定一个平 面，过点P作这个平面的垂线是唯一存在的，所以过点P有且仅有一条直线与l， m都垂直，即B正确.
4.(必修2 P55习题1-2AT1改编)两两平行的三条直线可确定________个平面. 【解析】三直线共面确定1个,三直线不共面,每两条确定1个,可确定3个. 答案:1或3
考点一 平面的基本性质 【题组练透】 1. 下列说法正确的是 ( ) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线. ( ) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条 直线. ( ) (3)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α. ( ) (4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线. ( ) (5)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等. ( )
4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形 是 世纪金榜导学号( )
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直 线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相 交直线可以确定一个平面.
【常用结论】 1.公理的作用 公理1：可用来证明点、直线在平面内. 公理2：可用来确定一个平面. 公理3： (1)可用来确定两个平面的交线. (2)判断或证明多点共线. (3)判断或证明多线共点.
公理4： (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据. 2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行. ④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确.
2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,
则 ()
A.P∈c
B.P∉c
C.c∩a=∅
D.c∩β=∅
3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P ()
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.四个公理 公理1：如果一条直线上的_两_点___在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在 这个平面内. 公理2：过_不__在__同__一__条__直__线__上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_有__且__只__有__一__条__过这个 点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线_互__相__平__行__.
①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两
条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面
有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上, 则两个平面相交,①③正确.
2.(必修2P38练习AT6改编)给出下列命题：
提示:(1)×.没有公共点的两条直线也可能平行. (2)×.两个平面α,β有一个公共点A,则α,β相交于过A点的唯一一条直线. (3)√.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α. (4)×.分别在两个平面内的两条直线可能是相交直线,也可能是平行直线,也可能是 异面直线. (5)×.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：
(2)异面直线所成的角：
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们 把a′与b′所成的_锐__角__(_或__直__角__)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； 范围：(0， ].
2
(3)等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
【易错点索引】
序号 1wk.baidu.com
2
3 4 5
易错警示 三点确定平面时忽视三点共线情况 一点一线确定平面时忽视点在线上的 情况
公理3理解不透致误 忽视异面直线所成角的范围致误
异面直线概念理解错误
典题索引 考点一、T1
考点一、T1
考点一、T3 考点二、T2 考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(必修2P38练习AT1改编)下列说法正确的个数为( )
4.选D.在图①中分别连接PS,QR,易证PS∥QR, 所以P,Q,R,S四点共面; 在图中③分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面. 在②图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面; 在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.
2.选A.如图,因为a∩b=P,所以P∈a,P∈b,
因为α∩β=a,β∩γ=b, 所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c, 所以P∈c.
3.选B.如图所示, 因为EF⊂平面ABC, HG⊂平面ACD,EF∩HG=P, 所以P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.
3.(必修2P56习题A组T7改编)若P是两条异面直线l，m外的任意一点， 则( ) A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
【解析】选B.因为若存在过点P的直线与l，m都平行，由传递性，知l，m也平 行，与已知l，m是异面直线矛盾，所以A错误，当点P在某些位置时，过点P不 存在直线与l，m都相交，所以C错误，过点P有无数多条直线与l，m都异面，所 以D错误，因为过点P分别作l，m的平行线l′，m′，则这两条直线确定一个平 面，过点P作这个平面的垂线是唯一存在的，所以过点P有且仅有一条直线与l， m都垂直，即B正确.
4.(必修2 P55习题1-2AT1改编)两两平行的三条直线可确定________个平面. 【解析】三直线共面确定1个,三直线不共面,每两条确定1个,可确定3个. 答案:1或3
考点一 平面的基本性质 【题组练透】 1. 下列说法正确的是 ( ) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线. ( ) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条 直线. ( ) (3)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α. ( ) (4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线. ( ) (5)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等. ( )
4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形 是 世纪金榜导学号( )
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直 线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相 交直线可以确定一个平面.
【常用结论】 1.公理的作用 公理1：可用来证明点、直线在平面内. 公理2：可用来确定一个平面. 公理3： (1)可用来确定两个平面的交线. (2)判断或证明多点共线. (3)判断或证明多线共点.
公理4： (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据. 2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行. ④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确.
2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,
则 ()
A.P∈c
B.P∉c
C.c∩a=∅
D.c∩β=∅
3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P ()
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上