《概率论与数理统计》第二章 随机变量分析

1.引进随机变量（r.v)的目的 1).量化随机事件 随机事件：样本空间的子集。 例如：掷一次骰子出现的点数
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
建立一种函数关系：
A 1, 2
1, 1 2, 2 X 6, 6
B 2,3, 4.
A X 2
P{X 6} P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.08 ,
P{ X 10} P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.32 ,
即 X 的分布律为 X 于是
P{4 X 10} P{ X 4} P{ X 6} 0.56 ,
P{ X xi } pi , i 1, 2,
,
为 X 的概率分布或分布律(列).

第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
二. 离散型随机变量的概率分布
概率分布（分布律）也可以表示为表格形式：
X x 1 x2
xn
pn
P p1 p2
(1)非负性
由概率的定义,分布律具有以下性质:
pk 0 (k 1, 2, ) ;
第2章 随机变量
§2.1 随机变量的定义 §2.2 离散型随机变量 §2.3 连续型随机变量与 随机变量的分布函数 §2.4 随机变量函数的分布
§2.2 §2.3 §2.4
第2章 随机变量
§2.1 随机变量的定义
§2.2 §2.3 §2.4
第二章 随机变量
§2.1 随机变量的定义
一.随机变量的定义
例 2.2.1

第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
二. 离散型随机变量的概率分布
解
X 的所有可能取值为 0,4,6,10 (单位 :万元 ).设
Ai { 第 i 个 分 公 司 获 得 奖 金 }( i 1, 2 ), 则 P( A1 ) 0.8 ,
P( A2 ) 0.4 ,且 A1 , A2 相互独立.因此
B 2 X 4
2).引进微积分来研究随机试验

第二章 随机变量
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§2.1 随机变量的定义
一.随机变量的定义
引例：请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验 的结果对应起来. 例2.1.1 掷一枚硬币，观察朝上一面
0, 正 X 1, 反
例2.1.2 射击一个目标，击中为止，记录射击次数
P{ X 0} P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.2 0.6 0.12
P{X 4} P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.8 0.6 0.48

第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
二. 离散型随机变量的概率分布
X , 1, 2,
例2.1.3 从一批灯泡中任取一只，测其寿命
X t, t 0

第二章 随机变量
§2.1 随机变量的定义
一.随机变量的定义
定义2.1.1. 设随机试验的样本空间为 ，如果对 中的每一个元素 e ， 有一个实数 X e 与之对应，这样就得到了一个定义在 上的实值函数， 称为随机变量。
例如,掷骰子朝上一面的点数(1,2,3,4,5,6)、电梯在 一年内发生故障的次数（0,1,2，…)等均为离散型随机变 量。 连续型随机变量:其全部可能取得值虽然也是无限多， 但这些值充满了某个区间，不能一一罗列出来. 例如，而某元件寿命，零件的长度则的所有可能取 值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它 是一个连续型随机变量.
例：用 X 1 表示事件
2
.

第2章 随机变量及其分布
§2.2 离散型随机变量
§2.2 §2.3 §2.4
第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
一. 离散型随机变量
随机变量根据其取值，分为两类： 离散型随机变量 和 连续型随机变量.
离散型随机变量：随机变量 X,可能取有限个或可列无限个 （即虽然是无限个，但可以一个接一个地排列起来）值。
所以，概率分布体现了随机变量取各个可能值的 概率的分布情况。
一个贸易总公司分别为下设的两个分公 司下达销售任务 ,两个分公司完成任务的概率分别为 0.8 和 0.4 . 若完成任务 ,那么两个分公司将分别获得奖金 4 万元和 6 万元 .设 X 为总公司应付出的奖金 ,求 X 的分 布律并计算 P{4 X 10} 和 P{ X 6} .
二. 随机事件的表示
简写：将 X 记为 X 对于实数的每个子集 L， 将 量 X 来表述随机事件。
, , X () L 记为 X L ，则可用随机变
1
{币值面朝上}； X 0 表示事件 {币值面朝下}； 可以记随机变量 X 1 的概率为 P{X 1} 。
(2)归一性
p
k 1

k
1 .
注(1)上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个数列 具有以上 两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律.
(2)
P{ X I } P( { X xi })
xi I
xi I
P
i

第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
二. 离散型随机变量的概率分布
6 10 4 P 0.12 0.48 0.08 0.32

第二章 随机变量
§2.2离散型随机变量
二. 离散型随机变量的概率分布
问题：设离散型随机变量 X 所有可能取得值为： x1 , x2 , 仅知道 X 可能取值不够，还需要知道它取各值的概率, 即 P{X xk } pk , k 1, 2,
定 义 2.2.1 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 值 为 xi (i 1, 2, ) ,则称 X 取 xi 的概率
X , X() R
3
1
X 3

2
X
X 1
R
X 2
注 （1）随机变量是一个函数。定义在样本空间上。取值在实轴上； （2）与一般函数不同，它的自变量是随机实验的结果； （3）随机变量的取值具有随机性。

第二章 随机变量
§2.1 随机变量的定义