光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响

则 2.3 式可写为U ( ) U (0) sin 即有：
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I

I0
(
sin
)2
(2.4)
其中 I0 U*(0) U (0) 是衍射场中心强度。
2.3 单缝衍射因子的特点及衍射图样
2.3.1 单缝衍射因子的特点
我们通常称 2.4 式中的 (sin )2 为单缝衍射因子。从上面可以看出，单缝衍射的强度分布与单缝
数实验室激光器发出的光并不一定是纯粹的单色光，而是非单色光即波长范围在[ , ]的
连续光谱，这势必会对衍射效果产生一定影响，本文将把单色光源和非单色光源对衍射图样做以对 比，并对其产生原因做以研究[3,4]。
1 衍射基本理论
在日常生活中，人们对于水波和声波比较熟悉，在房间里，人们不能直接看到房间外发声的物 体，但能听到从房间外传来的声音；在一堵高墙两侧的人也能听到对方说的话。这种现象表明，声 波能绕过障碍物传播，当波遇到障碍物时，他将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射[1,5]。衍射现 象的鲜明特点：第一，光束在衍射屏上什么方位受限制，则接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展； 第二，光孔线度越小，对光束的限制也就越厉害，则衍射图样愈加扩展，即衍射效应愈强。
围在[ , ]的非单色性光源的双缝衍射图样进行了仿真模拟，在此基础上用白光做非单色
性光源，用波长 680nm、540nm、465nm 的光谱色为三原色匹配，计算出各色光的 RGB 代码，基于 Mathematica 软件绘制白光双缝衍射图样。
[关键词]:非单色光源；双缝；夫琅禾费衍射；RGB；Mathematica 仿真
对于非单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们把非单色性定为 [ , ] ，本文把[ , ]
的连续光谱均匀地分为 2000 份色光，由于 RGB 系统具有可加性，可使用矢量加法把多彩色光叠加 效果表现出来，本文的色光色彩代码使用 RGB 模型[6,7]表示，比如两彩色光进行合成， 1 和 2 对应 的 RGB 值分别为 [R1 G1 B1] 和 [R2 G2 B2] ，则合成的彩色光 RGB 值为 [R1 R2 G1 G2 B1 B2 ] ，由 于合成的彩色光的 RGB 值可能溢出[0,1]的范围，本文采用对 R、G、B 值分别进行归一化处理即可
题目 学生姓名 所在学院 专业班级 指导教师 完成地点
光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响
何川
学号 1210014026
物理与电信工程学院
物理 1201 班
潘峰
陕西理工学院
2016 年 6 月 4 日
陕西理工学院毕业论文
光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响
何川
（陕西理工学院 物理与电信工程学院 物理学 物理 1201 班， 陕西 汉中 723000）
次波在场点 G 产生的复振幅，则在 G 点的总扰动为
U (G) dU (G)
(1.1)
()
称上式为惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，为了进一步把公式具体化，菲涅耳做了如下假设：
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dU (G) d U0 (Q)

eikr r

F (0, )
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(1.2)
中心的球面情形，这时0 0 ，F (0, ) 只是 的函数，记作 f ( ) ，菲涅耳设想： 0 时 f ( ) 最 大可取 1；随 的增大， f ( ) 减小； / 2 时， f ( ) 0 ，即说明不存在倒退的次波。此时倾斜
因子应取 F(0, ) (cos0 cos ) / 2 。 基尔霍夫还导出了比例常数 K 的表达式为 K i / ei /2 / 。
式中 r 是波前上坐标为 x 的点到场点 P 的光程，由图可知光程差为 r x sin ，它与 y 轴无关， 在正入射的情况下U0 是与 x 、 y 都无关的常量，将 2.1 式先对 y 积分并把所有与 x 无关的因子归并
到一个常量 C 中，得到
U ( ) C a/2 eikr dx C e dx a/2 ikxsin
示。
-0.025
0.025
-0.02
0.02
-0.015
0.015
-0.01
0.01
-0.005
0.005
0
0
0.005
-0.005
0.01
-0.01
0.015
-0.015
0.02
-0.02
0.025
-0.025
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.5
1
图 3.2 双缝衍射图样和强度分布
3.3 非单色光源的双缝夫琅禾费衍射
U (G)

i r0
eikr
U0 (Q)
()
r
d
(1.5)
2 单缝夫琅禾费衍射
2.1 单缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
2.2 单缝衍射的强度计算公式 根据夫琅禾费单缝衍射，在傍轴条件下，按菲涅耳-基尔霍夫公式(1.5)有
U ( )

i f
U
eikr
0
dxdy
()
(2.1)
Ap

A0
sin( a sin a sin /
/ )

sin[N ( d sin sin( d sin /
/ )] )
(3.1)

A0
sin(u) u

sin[ Nv] sin(v)
式中 N 为缝数， u a sin / ， v d sin / .则光强为：
Ip

Ap2

I0
sin2 (u) u2

sin 2 [ Nv] sin2 (v)
(3.2)
上式第二项为单缝衍射因子，第三项为缝间干涉因子。 3.2.2 单色性光源双缝夫琅禾费衍射的衍射图样模拟
对于单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们只需考虑单一波长，我们取光波长 500nm，透光缝宽
取 0.2mm，光栅常数取 d 5a ，通过 Matlab 模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分布曲线如下图所
指导老师：潘 峰
[摘要]:以光学衍射基础理论为出发点，文章阐述了惠更斯-菲涅耳原理、菲涅耳-基尔霍夫衍射公 式的衍射基本理论，根据衍射公式计算出单缝夫琅禾费衍射和双缝夫琅和费衍射的强度，对单缝衍 射因子的特点做了简单分析，并用 Matlab 对单缝和双缝衍射图样及光强分布曲线进行了仿真实验。 本文着重讨论了光源的非单色性对双缝衍射的影响，利用 Mathematica 软件中的 RGB 代码对波长范
(2) 次级大——高级衍射斑 次级大出现在 d (sin ) 0 的位置上，他们是超越方程=tan 的根，其数值为： d
= 1.43 , 2.46 , 3.47 ,…. 各次级大的强度为： I1 4.7%I0, I2 1.7%I0, I3 0.8%I0,….
可知高级衍射斑的强度比零级小得多。 (3) 暗斑位置
由单缝衍射因子的函数形式可知，在 0 而 sin =0 的地方光强为 0 即暗斑位置会出现在下
列地方： , 2 , 3 , .sin , 2 , 3 , . aa a
(4) 亮斑的角宽度 亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度，中央亮条纹和其他亮条纹的角宽度不相等，中央亮
-a/2
-a/2
sin( ka sin )
Ceikxsin
/ ik sin
| xa/2
xa/2
2C
2 k sin
(2.2)
令 ka sin ，则有 2
U ( ) aCsin
(2.3)

在上式中取 0 ，于是有 0 ， sin / 1，U ( ) U (0) aC
引言
在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉，其原因是光的波长很短以及普通光源是不相 干的面光源。衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成，通常按照它们之间的距离分为两类：一类 是光源和接收屏幕或其中之一距离衍射屏有限远，被称之为菲涅耳衍射；另一类是光源和接收屏幕 都距离衍射屏无穷远，被称之为夫琅禾费衍射[1]。可以看出夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特例， 近年发展起来的傅里叶变换光学，赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义[2]。但由于一般光源特别是大多
为了求有障碍物时衍射场的分布，我们应把波前 分为两部分：光孔部分 0 和光屏部分 1 ，通 常假设 0 上的复振幅U0 (Q) 取自由传播时光场的值，而 1 上的U0 (Q) 取为 0，为了使 成为闭合 曲面，取半径为无穷大的半球面 2 和 0 、 1 构成闭合曲面， 2 上的积分值为零，称此做法为基尔
0
0.5
图 2.3 单缝衍射图样和强度分布
3 双缝夫琅禾费衍射
3.1 双缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
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1
该光栅有两条缝，透光的缝宽度为 a ，不透光的挡板宽度为 b ，光栅常数 d a b ，透镜 的 焦距为 f 。
3.2 单色光源的双缝夫琅禾费衍射
单色光源的双缝夫琅禾费衍射的实验装置如图 3.1，S 为单色点光源位于透镜 的焦点处，幕 L 放在物镜 的焦面上。
1.1 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳原理是研究衍射现象的理论基础。惠更斯-菲涅耳原理[1,5]是指在波前 上每一个
面元 d 都可以看成是新的振动中心，它们发出次波在空间某一点 G 的振动是所有这些次波在该点
的相干叠加。既然是相干叠加就可以利用复振幅的概念。设 dU (G) 是由波前 上的面元 d 发出的
条 纹 的 角宽 度 是其 他亮条 纹 角 宽度的 2 倍 为 2/a ， 屏 上 各级 最 小值 到 中心 的 角 宽度 满足 sink k / a ，当 很小时，它可以近似写成 k / a ，任何两相邻暗纹之间为亮纹，故两侧 亮纹的角宽度为 (k 1) / a k / a / a .
2.3.2 单缝衍射图样及光强分布曲线
我们取光波长 500nm，单缝宽度为 1mm，通过 Matlab 模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分
布曲线如下图所示。
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-3
x 10 -1.5
-3
x 10 1.5
-1
1
-0.5
0.5
0
0
0.5
-0.5
1
-1
1.5
-1.5
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
向同性的，1.2 式各量说明如图 1.2，根据以上假设，1.1 式可以写为：
U (G)

K
()
U0 (Q)F (0, )
eikr r
d
(1.3)
式中 K 是个比例常数，1.3 式称为菲涅耳衍射积分公式，后来基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，
证明了菲涅耳理论基本是正确的，只是他给出的倾斜因子不对，菲涅耳只考虑了 是以点波源 S 为
3.2.1 单色光源双缝夫琅禾费衍射的振幅分布和强度分布 与单缝衍射图样相比，多缝衍射图样中出现一系列新的强度最大值和最小值，其中那些较强的
亮线叫做主最大，较弱的亮线叫做次最大。仿照计算单缝衍射图样光强分布的方法，对应于衍射角
，在观察点 P 处的合振动的振幅为
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霍夫边界条件。综上所述，菲涅耳衍射积分公式可化为
U (G)
Fra Baidu bibliotek
i 2
(cos0
(0 )
cos )U0 (Q)
eikr r
d
(1.4)
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这里的积分范围已按照基尔霍夫边界条件改为透光部分 0 ，1.4 式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公 式，在夫琅禾费衍射中，光孔和接收范围都满足傍轴条件，即 0 ，0 0 ， r 是场点 G 到光孔 中心的距离记作 r0 ，则 1.4 式可简化为
衍射因子有关。
图 2.2 单缝衍射因子
由图2.2可知，在单缝衍射的强度因子中 =0 、 sin 0 的地方有个主极大，两侧都有一系列
次级大和极小，他们分别代表衍射图样的主极大、次级大和暗纹的位置。 (1) 主极大——零级衍射斑
零级斑出现在 =0 的地方， =0 相当各衍射线之间无光程差。
d 是面元的面积，U0 (Q) 是面元(次波源)上 Q 点的复振幅，取其等于从波源自由传播到 Q 时的复 振幅，r 是面元 d 到场点 G 的距离，k 2 / ，此关系默认次波源发射球面波，0 和 分别是源 点 S 和场点 G 相对次波源 d 的方位角， F (0, ) 称为倾斜因子，它表明由面元发射的次波不是各