平衡的临界条件和极值问题

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第二章
物体的平衡
高考调研
二、电磁中的平衡极限问题
高三物理 (新课标版)
【例 2】
(2013· 安微 ) 如图所示，足够长平行金属导轨
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第二章
物体的平衡
高考调研
高三物理 (新课标版)
求极值的方法 1．代数方法 常用方法有四种 (1)二次函数法： b 利用函数 y＝ax ＋bx＋c，图象的顶点坐标(x＝－ ，ymax 2a
2
4ac－b2 ＝ )求极值，例题：追及问题． 4a
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第二章
物体的平衡
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(2)判别式法：
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高考调研
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第6单元专题
平衡物体的临界状
态与极值问题
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第二章
物体的平衡
高考调研
高三物理 (新课标版)
考点及模型的构建
探秘规律·升华技巧
突破压轴·技压群雄
课时作业
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第二章
物体的平衡
高考调研
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考点及模型的构建
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第二章
物体的平衡
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一、临界状态问题
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1．临界状态
某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种状态 变化为另一种状态时，发生质的飞跃的转折状态叫临界状
态．
2．平衡物体的临界状态问题 平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的 状态，涉及到平衡物体的临界状态的问题称为平衡物体的临 界问题．
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第二章
物体的平衡
高三物理 (新课标版)
【例1】
(经典题)如图所示，不计重力的细绳AB与竖直
墙夹角为 60°，轻杆 BC与竖直墙夹角为 30°，杆可绕 C自由 转动，若细绳承受的最大拉力为200 N，轻杆能承受的最大压
力为300 N，则在B点最多能挂多重的物体？
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第二章
物体的平衡
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【解析】
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第二章
物体的平衡
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1 其中 tanφ＝μ，当 sin(α＋φ)＝1 时 μG Fmin＝ 1＋μ2 π 即 α＋φ＝ ，α＝arctanμ 2
【答案】 α＝arctanμ μG 1＋μ2
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第二章
物体的平衡
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3．数形结合求极值
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【例 3】
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，其判别式 Δ＝b2－4ac，Δ ＞0 时有实根，取等号时有极值． (3)配方法： 将原式通过加上并减去相同的项， 把式中某项配成完全平 方式，再分析判断求极值．例题：求电源输出功率． a＋b (4)不等式法：对两个非负数有 ＞ ab.由此得出推论： 2 若 a、b 之积为定植，仅当 a＝b 时其和最大；若 a、b 之和为 定植，仅当 a＝b 时其积最大．
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第二章
物体的平衡
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【例1】
一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，
小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于图示状态．设
斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时
刻小球的受力情况，下列说法正确的是( )
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第二章
物体的平衡
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N为零，故A项正确；
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第二章
物体的平衡
高考调研
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若小球向左加速运动，则加速度向左，此时重力与斜面 的支持力可以使合力向左，则绳子的拉力为零，故B项正确；
同理可知当小球向右时，也可能做加速或减速运动，故加速
度也可能向右或向左，故 N 和 T 均可以为零，故 C 、 D 项均错 误． 【答案】 AB
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【解析】 “终极速度”对应“匀速下落”即球形雨滴受 到平衡力的作用．对雨滴受力分析可知，其重力与阻力相等， 即 mg＝krvT① 4 3 m＝ πr ρ② 3 4πr2ρg 由①②式，得终极速度 vT＝ 3k 代入数值，得 vT＝1.2 m/s
【答案】
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vT＝1.2 m/s
第二章 物体的平衡
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【学法指导】
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(1)“ 终极速度 ” 这一说法在平时的解题
中是经常遇到，如 “ 达到最大速度 ”“ 速度不能再增加 ” 等，均表明以恒定速度运动．加速度为0，合外力为0.体现出 物理量出现最大值特点．理解最大速度这一概念时，要注意 结合物体存在的状态．如单摆振动的平衡位置，达到最大速
【答案】
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β＝90°
mgsinα
第二章 物体的平衡
高考调研
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【学法指导】 法．
数形结合求极值是一种形象、直观、减
小数学运算的有效方法．要掌握这种分析问题的思路和方
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第二章
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突破压轴•技压群雄
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第二章
物体的平衡
高考调研
一、承重极限
压力最小？
如图所示，质量为 m 的球，放在倾角为 α 的光
滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受
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第二章
物体的平衡
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【解析】
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对球受力分析如图所示，由前面所学动态平
衡知识，可知N1与N2的合力始终与G等大反向，且N1方
向不变．随β角增大， N2在减小，当 β＝90°时，即N2与 N1垂直时有最小值．即β＝90°，N2min＝mgsinα
【答案】
1 m1＝m2＝ M 2
1 Mg 4
第二章 物体的平衡
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高考调研
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2．三角函数法 利 用 正 、 余 弦 函 数 的 有 界 性 ， 即 － 1≤sinθ≤1 ， － 1≤cosθ≤1 求极值的方法，物理中的极值问题常见三种情况： (1)仅含有一个三角函数的，直接利用正、余弦函数极值 为± 1 的原理决定极值． (2) 不是同函数，但可以化成同函数的，常用倍角公式 2sinθcosθ＝sin2θ 进行化简．
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3．临界状态的特征
体现为“恰好出现”或“恰好不出现”的某种现象或状 态．平衡问题的临界状态，常常通过一些特殊词语来表达，
如“恰”“最大”“最多”“至少”等．如“刚好沿斜面匀
速下滑”，不仅隐含a＝0，还隐含μ＝tanθ的条件． 有些运动变化中，一些物理量变化到零的时刻常是一种 临界状态的表现．
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第二章
物体的平衡
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(3)含有正、余弦和差形式的三角函数式，可用和差化积， 变为一个三角函数式， asinθ± bcosθ ＝ a2＋b2 sin(θ± φ) ，其中 b tanφ＝a.
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第二章
物体的平衡
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【例 2】
高三物理 (新课标版)
(2013· 山东)如图所示，一质量 m＝0.4 kg 的小
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第二章
物体的平衡
高考调研
【例 1】
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如图所示，将质量为 M 的木块，分成质量为
m1、m2两部分，并用细线连接，置于光滑水平桌面上，m2通
过定滑轮竖直悬挂，m1和m2有何种关系才能使系统在加速运 动过程中绳的拉力最大？拉力的最大值是多少？
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第二章
物体的平衡
高考调研
比 例 系 数 ． 对 于 常 温 下 的 空 气 ， 比 例 系 数 k ＝ 3.4×10 － 4
N·s/m.已知水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，取重力加速度g＝10 m/s2.试求半径r＝0.10 mm的球形雨滴在无风情况下的终极速 度vT.(结果取两位数字)
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第二章
物体的平衡
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13 3 (2)30° N 5
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第二章
物Biblioteka Baidu的平衡
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【触类旁通】
木箱重为 G ，与地面间的动摩擦因数为
μ，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图
所示，问角α为何值时拉力F最小？这个最小值为多大？
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第二章
物体的平衡
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【解析】 对木箱受力分析如图所示 ， 物体做匀速运动， 有 Fsinα＋N＝G① Fcosα＝f② f＝μN③ 联立①②③式，得 μG μG F＝ ＝ cosα＋μsinα 1＋μ2· sinα＋φ
度，其合力为零是指沿振动方向的合外力，这也是全面理解
“平衡位置”这一概念所必需的． (2)本题求解的另一个训练目的在于培养自己严谨的解题 作风，从应试角度看，若vT＝1.2 m/s写成vT＝1.23 m/s，则不 能得全分，注意题目的要求．
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第二章
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探秘规律•升华技巧
物块，以 v0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t＝2 s 的时间物块由 A 点运动到 B 点，A、B 之间的距离 L＝10 m．已知斜面倾角 θ 3 ＝30° ，物块与斜面之间的动摩擦因数 μ＝ ，重力加速度 g 3 取 10 m/s2.
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A．若小车向左运动，N可能为零 B．若小车向左运动，T可能为零
C．若小车向右运动，N不可能为零
D．若小车向右运动，T不可能为零
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第二章
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【解析】
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对小球受力分析，一般情况下受力如图所
示，但小球是否同时受拉力及支持力要根据车的加速度情况
分析；若小车向左运动做减速运动，则加速度向右，小球受 重力及绳子的拉力可以使小球的加速度与小车相同，故此时
第二章
物体的平衡
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(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；
(2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最
小值是多少？ 【解析】 (1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度
的大小为v，由运动学公式，得
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第二章
物体的平衡
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【答案】
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346.4 N
第二章 物体的平衡
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【学法指导】
承重极限问题是历年高考考查的热
点．“ 承重极限 ” 的难点在于哪一个力为基准．解决这类题 目的方法很多．利用拉密定理判断的最大优势在于通过拉密
定理，将三力之间的相互制约关系显示得一目了然．由此判
断力的变化，既快又准．一旦找出基准量，代入拉密定理表 达式即得结果．
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第二章
物体的平衡
高考调研
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3 2 3 由数学知识，得 cosα＋ sinα＝ sin(60° ＋α)⑨ 3 3 由⑧⑨式，可知对应 F 最小的夹角 α＝30° ⑩ 联立③⑧⑩式，代入数据得 F 的最小值为 13 3 Fmin＝ N⑪ 5
【答案】 (1)3 m/s
2
8 m/s
以结点 B 为研究对象，受力如图所示．三力
作用的平衡，首先利用拉密定理找出各力间的制约关系．
TAB G ＝ ＝ sin180° －30° sin90° NBC ① sin180° －60°
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第二章
物体的平衡
高考调研
则有 NBC＝ 3TAB②
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若以 NBC＝300 N 为基准，由②式求得 TAB＝100 3 N＜ 200 N，可满足题设要求． 若以 TAB＝200 N 为基准，由②式求得 NBC＝200 3 N＞ 300 N，不满足题设要求． NBC 故应以 NBC＝300 N 为基准，代入①式可得 G＝ ＝ sin60° 200 3 N，即 B 点最多能挂重 346.4 N 的物体．
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【解析】
以 m2、m1 组成系统为研究对象，应用牛顿第
二定律，有 m2g＝(m1＋m2)a 隔离 m1，m1 受重力 G、支持力 N、绳拉力 T m1m2 m1m2 则 T＝m1a＝ g＝ M g m1＋m2 1 1 当 m1＝m2＝ M 时，T 有最大值 Tmax＝ Mg 2 4
1 2 L＝v0t＋ at ① 2 v＝v0＋at② 联立①②式，代入数据得 a＝3 m/s2③ v＝8 m/s④
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第二章
物体的平衡
高考调研
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(2)设物块所受支持力为 FN，所受摩擦力为 Ff，拉力与斜 面间的夹角为 α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律，得 Fcosα－mgsinθ－Ff＝ma⑤ Fsinα＋FN－mgcosθ＝0⑥ 又 Ff＝μFN⑦ 联立⑤⑥⑦式，得 mgsinθ＋μcosθ＋ma F＝ ⑧ cosα＋μsinα
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第二章
物体的平衡
高考调研
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二、极值问题 极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最
大值或最小值．
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第二章
物体的平衡
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【例2】
当物体从高空下落时，空气的阻力随速度的增
大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为 此物体下落的终极速度，已知球形物体速度不大时所受的空 气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f＝ krv， k是