2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷(一)数学(理)试题(解析版)
2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)及解析
湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的■ 1.（ 5分）设复数Z i , Z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z i = 1+i ，则Z i Z 2=（ ）A . 2B.- 2C. 1+i D . 1 - i2. （5分）设全集U=R,函数f （x ）=lg （| x+1| - 1）的定义域为A,集合B={x| sin n x=0 则（？U A ）G B 的子集个数为f ） A . 7B. 3C. 8D . 93. （5分）函数f f x ） =sin （3X©）（3> 0，Ov X n ）的图象中相邻对称轴的距 离为…，若角©的终边经过点’「，则丄〕的值为f ）2 4 A .比 B.乙 C. 2 D ..乙2 4.（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m ，n 分别是 （ ）367 X()1233 689 001344667889 0 1224 566678 899 00244569 0 I 68开始 王结柬 图1 用二即土i=i+l/输岀冊川/图一A. m=38，n=12B. m=26，n=12 C m=12，n=12 D. m=24，n=10yCs5. （5分）设不等式组3y>x表示的平面区域为Q i,不等式（x+2）2+ （y-2）x+yC4L2<2表示的平面区域为他,对于Q中的任意一点M和他中的任意一点N,|MN| 的最小值为（）A.二B. -C. -D. -2 46. （5分）若函数f （x）'的图象如图所示，贝U m 的范围为（）A. （-X,- 1）B. （- 1, 2）C. （0, 2）D. （1, 2）7. （正视图吋视订5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）1 1 —^1tII/俯视图A. 11 B•匚C : D.二8. （5分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S，且满足S zo14>0, S2015V 0,对任意正整数n,都有|&| >|釦，则k的值为（）A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009■,满足| — J =| J =4, ( | - ) ? ( ■9. （5分）已知非零向量|,)=0,若对每一个确定的■■, | |的最大值和最小值分别为m, n，则m - n的值为（）A.随•增大而增大B.随•增大而减小C.是2D.是410. （5分）已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球0的球面上，△ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3, AC=二，BC=CD=BD二牙，则球0的表A. 4 nB. 12 nC. 16 nD. 36 n2 211. （5分）已知双曲线C:」•一_i （a>0，b>0）的右顶点为A，O为坐标a2原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q,若/PAQ=60,且「，则双曲线C的离心率为（）A. 一B. 一C. —D.-4 3 212. （5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x€ [0，1]，总存在唯一的y € [ - 1，1]，使得x+y2e y- a=0成立，则实数a的取值范围是（）A. [ 1，e]B. | - .1C. （1，e]D. I -—.:」e e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 . （5分）已知a > 0 , |丄「展开式的常数项为15，则I : •-，「■■- -... ------- ■：：■= .14. （5分）设a，b € R，关于x，y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by>8无公共解，则ab的取值范围是_______ .15. （5分）正项数列｛a n｝的前n项和为S，且2兀二％S弧（n€ N*），设2a n+l--，则数列｛C n｝的前2016项的和为__________________ .16. （5分）已知F是椭圆C: ' +［ =1的右焦点，P是C上一点，A （- 2, 1）,当厶APF周长最小时，其面积为_______ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）△ ABC中，已知点D在BC边上，且匸八二.一 |H」［二，U1AB=3」h 一‘ 迁（I）求AD的长；（U）求cosC.18. （12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ ADE △ BCF 均为等边三角形，EF// AB，EF=AD=AB.2（1）过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF/平面BDN,试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.19. （12分）2015年7月9日21时15分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成［0，2000］，（2000，4000］，（4000，6000］，（6000, 8000］，（8000，10000］五组，并作出如下频率分布直方图：（I）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（U ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款•现从损失超过 4000元的 居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000元的居民为E 户，求 E 的分布列和数学期望；（川）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b ，c ，a+b ，c+d ，a+c ，b+d ，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济 损失是否到4000元有关？经济损失不超过 4000 元经济损失超过 4000 元合计捐款超过500元 a=30b捐款不超 过500元c d=6合计20. （12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ） （c >0）到直线I : x -y - 2=0的距离为—•，设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P (K 2》k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828n(ad-bc)2附：临界值表参考公式:PA PB,其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (X o, y o)为直线I上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线I上移动时，求|AF?|BF的最小值.21. ( 12 分)已知函数f (x)+be「x,点M (0, 1)在曲线y=f (x) 上,c x+l且曲线在点M处的切线与直线2x- y=0垂直.(1)求a, b的值；(2)如果当X M 0时，都有f (x)> ' +ke「x,求k的取值范围.e x-l请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线G的参数方程是，：'■ ! ( ^为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2, ).(1)求点A, B, C, D的直角坐标；(2)设P为C上任意一点，求I PA 2+| PB2+| pq 2+l PD 2的取值范围.［选修4-5:不等式选讲］23. 设f (x) =|x| - |2x- 1|，记f (x)>- 1 的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a€ M，比较a2- a+1与■'的大小.2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1.( 5分)设复数Z1 , Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z i = 1+i，则Z i Z2=( ) A. 2 B.- 2 C. 1+i D. 1 - i【解答】解：复数Z1，Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z1 = 1+i，所以Z2=1 - i，二Z1Z2= (1+i) (1 - i) =2.故选：A.2. (5分)设全集U=R,函数f(x)=lg(| x+1| - 1)的定义域为A,集合B={x| sin n x=0则(？U A)G B的子集个数为( )A. 7B. 3C. 8D. 9【解答】解：由|x+1| - 1 >0,得|x+1| > 1,即x v- 2或x>0.••• A={x| x v - 2 或x> 0}，则?U A={x| - 2<x< 0};由sin n x=0得：n x=k,n k€ Z，.°. x=k，k€ 乙则B={x| sin n x=0={x| x=k，k€ Z，则(？U A)G B={x| - 2<x<0} n {x|x=k, k€ Z}={ - 2，- 1，0}.•( ?u A)n B的元素个数为3.•( ?u A)n B的子集个数为：23=8.故选：C.3. (5分)函数f (x) =sin(3X©)(3> 0, 0v X n)的图象中相邻对称轴的距离为三，若角©的终边经过点’「，则•的值为( ) A.二B.二C. 2 D. 二【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为2L,可得周期T=n 那么s =22角©的终边经过点• 「，在第一象限. 即 tan ©=-,3 6故得 f (x ) =sin (2x+) 6 贝——=sin(——+) =cos =•. 门 4 ' 26 6 2故选：A 4. （5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50名学生的化学考试成绩,图（二）的算法框图中输入的 a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m , n 分别是 6789否367 X() 1 233 6890013446678890 1224 566678 899002445690 I 68图—A. m=38, n=12B. m=26, n=12 C m=12, n=12 D. m=24, n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80, 80, 81, 84, 84, 85, 86, 89, 90, 91 , 96, 98,共12 人，故n=12,由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 53, 56, 58, 59,共12 人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50 - 12- 12=26, 故m=26故选：B.5. （5分）设不等式组• 3yX表示的平面区域为01,不等式（X+2）2+ （y-2）2<2表示的平面区域为对于0中的任意一点M和①中的任意一点N,|MN|的最小值为（）A. 一B. 一C.匚D. 匚【解答】解：不等式组3y>z表示的平面区域为0,不等式（x+2）2+ （y-2）2< 2表示的平面区域为02,如图：对于0中的任意一点M和02中的任意一点N, |MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，| MN|的最小值为：「- 7= "■.故选：C.6. (5分)若函数f (x) =1―的图象如图所示，贝U m的范围为( )A. (-X,- 1)B. (- 1, 2)C. (0, 2)D. (1, 2)【解答】解：•••当x>0 时，f (x)> 0,二2- m>0，故m v2.=二i 〕II(K2+IO)2T f (x)有两个绝对值大于1的极值点，••• m - /=0有两个绝对值大于1的解,则该多面体各面的面积中最大的是二m> 1. 故选：D.俯视用A. 11B. JC. JD.-【解答】解：由多面体的三视图得: 该多面体为如图所示的四棱锥P- ABCD其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD丄平面ABCD点P到平面ABCD的距离为1,••• AB 丄平面PAD,：AB 丄PA••• PA二 -「:•••该多面体各面的面积中最大的是△ PAB的面积:& PAf | = •故选：C.8. (5分)设等差数列｛a n｝的前n项和为S，且满足&oi4>0, S2015V 0,对任意正整数n,都有佝| >|比|，则k的值为( )A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S20142014 ( Bi + annij )= 「■=1007 (a1007+a1008)> 0,--&1007+&1008> 0同理由S?015< 0 可得2015a1008< 0,可得a1008< 0,二a1007>0, a1008<0,且| a1007| >| a1008|•••对任意正整数n,都有|a n| >|Ok| ,••• k的值为1008故选：C.9. (5 分)已知非零向量',',满足| —J=| J=4, (1- ) ? ( ■- ) =0,若对每一个确定的',1 I的最大值和最小值分别为m, n，则m - n的值为( ) A.随| ：|增大而增大B.随|二|增大而减小C.是2D.是4【解答】解：假设；=（4, 0）、b = （2, 2^5）、c = （x, y）,T（二-）? （b - ）=0,■'■（ 4 - x,- y）? （2 - x, 2 : - y）=x2+y2- 6x- 2Cy+8=0,即（x- 3）2+ （y- ：）2=4,•••满足条件的向量•的终点在以（3,二）为圆心、半径等于2的圆上，| |的最大值与最小值分别为m=2+2二，n=2二-2,• m - n=4,故选：D.10. （5分）已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3, AC=二,BC=CD=BD二牙，则球O的表面积为（）A. 4 nB. 12 nC. 16 nD. 36 n【解答】解：：AB=3 AC=「, BC=2「,•AB2+AC2=BC2，•AC丄AB,•△ ABC的外接圆的半径为 =,•••△ ABC和△ DBC所在平面相互垂直，•球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h,则h2+3=R2=（汇y仁-h）2,• h=1, R=2,•••球0的表面积为4nR =16n.故选：C.2 211. (5分)已知双曲线C :」•一 _i (a >0, b >0)的右顶点为A , 0为坐标a 2原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q ,若/PAQ=60,且 L- ■，则双曲线C 的离心率为( )A .二 B.二 C.二 D.- 4 3 2【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y=i\, A (a , 0),P (m ,——),(m >0), a由 n .：=3 I ：,可得 Q (3m ，二),PQ 的中点为H (2m ,'"),解得 m=「. , r=—2c 2 c则 |PQ=2「「=r , 即为d=「，即有-■? ■ ' 圆的半径为r=| PQ| =-=2m ?,由AH 丄PQ,可得 "A 到渐近线的距离为d可得h=--e==:故选C.12. （5分）已知e 为自然对数的底数，若对任意的 x € [0,1]，总存在唯一的y € [ - 1,1]，使得x+y 2e y - a=0成立，则实数a 的取值范围是（）A . [1, e]B . ： •丄二」C . （1, e]D . - 丄 JE E 【解答】解：由x+y 2e y - a=0成立，解得/e y =a- x ，•••对任意的x € [0，1]，总存在唯一的y € [ - 1，1]，使得x+y 2e y - a=0成立， ••• a - 1> （- 1） 2e - J 且 a - 0< 12x e 1，解得•丄w a < e ，其中a=1+时，y 存在两个不同的实数，因此舍去，a 的取值 e e范围是I .-. e故选：B.、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）令二二=0，求得r=2,故常数项为：｛亠\,可得a=1, 因 此 原 式 为 T 1J C x 2+x-h/4-K^) dx=2 f 証*"p/D)旳=2( J S 討4-/dx)故答案为 13.（5分）已知 a >0,-:■:展开式的常数项为15,则丨_ ；：：,=：—. 【解答】 解:—■的展开式的通项公式为 y x 3r-6_ T r +1 = "? (- 1) r ?a 6-r ?:.- >+14. (5分)设a, b € R,关于x, y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by>8无公共解, 则ab 的取值范围是[-16, 16].【解答】解：关于x, y的不等式|x|+| y| v 1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标(1, 0), (0, 1), (0,- 1) , (- 1, 0),关于x , y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by> 8无公共解，贝U ax+4by>8表示的范围在可行域外侧，当a>0 , b>0时满足题意,可得 > 1, ' > 1,可得0v ab< 16 ,b a当a>0 , b v0时满足题意,可得-<-1,二二卜,可得：-2<b v0 , 0v a<8b a可得-16< ab v 0 ,当a v 0 , b>0时满足题意,可得打，E .;/-i ,可得：0v b< 2, - 8< a v 0b a可得-16< ab v 0 ,当a v 0 , b v 0时满足题意，可得人'可得：-2w b v 0, —8w ab av 0, ••• 0v ab< 16 ,当ab=0时,不等式| x|+| y| v 1和ax+4by> 8无公共解；故ab的取值范围是：[-16 , 16];故答案为：[-16 , 16].15. (5分)正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且2S 2 + a (n € N*),设J"xi【解答】解：正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且.…_(n € N*)①,整理得：an +1 - a n =1, 当n =1 时，•. |_ •「’，, 解得：a 1=1, 所以：数列｛外｝是以1为首项，1为公差的等差数列.贝U a n =1+ n — 1=n ,数列｛cn ｝的前2016项的和为：丁□厂_ J 書「一一…—匚亠打； =—1+ ,2017 二 2016 =.故答案为：：丄20172 216. (5分)已知F 是椭圆C: +[ =1的右焦点，P 是C 上一点，A ( — 2, 1),当厶APF 周长最小时，其面积为 4 .2 2【解答】解：椭圆C :于+1 =1的a=2 ", b=2, c=4, 设左焦点为F' ( — 4, 0),右焦点为F (4, 0).△ APF 周长为 | AF|+| AP+I PF| =| AF|+| AP|+ (2a — | PF'| ) =| AF|+| AP| - | PF[+ 2a > | AF| - | AF'|+ 2a ,则数列g ｝的前2016项的和为—「一则:2Sn+l = a n+l2+an+1②,②—①得: 2 a n+l = a n+l则:c =(-l )n£Vl 曲 ' 1J2S n所以:1 nfl当且仅当A, P, F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小.此时直线AF'的方程为yJ（x+4）,代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2）,2故S\APF=S PF'F—S^AF'F^ X 2 X 8—丄X 1 X 8=4.2 2三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）△ ABC中，已知点D在BC边上，且石I Ln. F.-.-:，■.-1 AB=3 • 尸（I）求AD的长；【解答】解：（I）由「・得到：AD丄AC,所以zlil：< ' ' ■ I 1 I ' 「汀，所以11-/1'. = " . ' . （2分）在厶ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2—2AB?AD?cosBAD 即AD2-8AD+15=0, （4分）解之得AD=5或AD=3,由于AB>AD,所以AD=3. （6分）“）在厶ABD中，由正弦定理可知，一二'■sinBAD sinADB又由11-："可知二O1. （8分）所以，（10分）因为_:,即! 1-1 - （ 12分）18. （12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ ADE △ BCF均为等边三角形，EF// AB，EF=AD=AB.2（1）过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF/平面BDN,试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF/平面BDN. 证明：连结AC交BD于M，连结MN .•••四边形ABCD是矩形，二M是AC的中点，••• N是CF的中点，••• MN // AF,又AF?平面BDN，MN?平面BDN,••• AF//平面BDN.（2）过F作F0丄平面ABCD垂足为0,过0作x轴丄AB,作y轴丄BC于P, 则P为BC的中点.以0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,••• EF= ：.=1,A 0P= （AB- EF =,••• AQ ,-色，0）, B （丄，丄,0）, C （-丄,丄，0）, F （ 0, 0,返），N （-丄, 2 2 2 22 2 2 4右弊粧（0, 2, 0）, 7F =（-丄，丄，返），丽（-丄，-丄，返）.2 2 2 4 4 4设平面ABF 的法向量为& （x , y , z ）,贝讣丁呼°,AF 二 0 '2y=0•••” _1 卜3屮伍 _o ,令 z ^2得时=（2, 0,心j ）, •••・:匸-1, | ,|=乙 | *|| 二丰. •••COS—> 二-=-—•|n||BN|3•直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos v 「，【1>| =-.319. (12分)2015年7月9日21时15分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌， 46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 [0, 2000] , (2000, 4000] , ( 4000, 6000], (6000, 8000] , (8000, 10000]五组，并作出如下频率分布直方图：(I)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(U)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000元的居民为E 户，求Ey设 AD=1，贝U BF=1,E 的分布列和数学期望；(川)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b ，c ，a+b ，c+d ，a+c ，b+d ，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济 损失是否到4000元有关？经济损失不超过 4000 元经济损失超过 4000 元合计捐款超过 500元a=30 b捐款不超 过500元c d=6合计【解答】解：(I)记每户居民的平均损失为：，元，贝■ = (1000X0.00015+3000X 0.0002+5000X 0.00009+7000 X 0.00003+9000X 0.00003)X 2000=3360 …(2 分) (U)由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：(0.00009+0.00003+0.00003)X 2000 X 50=15 户， ••• E 的可能取值为0, 1, 2，P (K 2》k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828n(ad-bc)2附：临界值表参考公式：，「—)% 22 仁=)=■-=,(C =)=〔’ = ：：,% 35匚2仁=)=7，V15••• C的分布列为：EC g'x =■■(川)如图：2 = ；「4.046> 3.841,所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关.…(12分)20. (12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F (0, c) (c>0)到直线I: x -y- 2=0的距离为二设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线I上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线I上移动时，求|AF?|BF的最小值.【解答】 解：(1)焦点F ( 0 , c ) ( c > 0)到直线I : x - y - 2=0的距离 ：，解得c=1,V2 V2 2 所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设.11 .・.•，「「，•・• 由(1)得抛物线C 的方程为，.:■，即…-，'.，2又因为切线PA 的斜率为.-，整理得丁 =二...丄」1 2丄2j K 1 ^T X 2 K iK n直线AB 的斜率「-K I£42所以直线AB 的方程为7— r ,,・：，：，：：，整理得…一「….+匸，即「■「： ^，因为点P (X o ，y o )为直线I : X - y - 2=0上的点，所以x o - y °- 2=0，即y o =x o - 2, 所以直线AB 的方程为x o x - 2y - 2y o =o .(3)根据抛物线的定义，有|,「^・.|，11 “ | ^「|，所以L." I ■ ■ ■ ：1 ■： ■ I ,| I ： T ・：=由(2) 得 x i +X 2=2x o ，x i x 2=4y o ， x o =y o +2， 所以1 2、丁2)'1 24 x 1所以切线所以 PA: 丁―..；-亠「：.①PB:+ Xn 联立①②可得点P 的坐标为'1 1 ■丄几即I.. ' I ■' ' I : I ■：I :' ■丁■ ■■ 11 ■■■ | - :I v ■■■ | : = 所以当坯二丄时，|AF?|BF的最小值为2.2 221. (12 分)已知函数f (x) =7 +be「x,点M (0, 1)在曲线y=f (x)上, e K+l且曲线在点M处的切线与直线2x- y=0垂直.(1)求a, b的值；(2)如果当X M 0时，都有f (x)>—-—+ke「x,求k的取值范围.J-1【解答】解：(1) f (x) =「：+be「x的导数为e x+lf (x)= "Ce x+1)2由切线与直线2x- y=0垂直，可得f (0) =1, f(0) =- i ,即有b=1, —a - b=- - ,2 2解得a=b=1；(2)当X M0 时，都有 f (x)>—+ke-x,e x-l即为+e-x>_^+ke- x,1+J e x-l即有(1 - k) e-x> J ，即 1 - k> —e -1 e -e可令g (x) =「：’十，g (-x) = _「.广g(x),/-已花 e x-e x即有g (x)为偶函数，只要考虑x>0的情况.由g( x)- 1= • ；,e xx>0 时，e x>e x,由h (x) =2x- e x+e- x, h' (x) =2-( e x+e- x)< 2- 2 =0,则h (x)在x>0 递减，即有h (x)v h (0) =0,即有g (x)v 1.故 1 - k > 1,解得 k < 0. 则k 的取值范围为（-K ,0］.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. （10分）选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线G 的参数方程是（x=2cos0 （ ©为参数）,以坐标原点为极点，x 轴的 I y=3sin0 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 2的坐标系方程是P =2正方形ABCD 的顶点都 在C 2上，且A ，B c, D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2,中. （1） 求点A , B, C, D 的直角坐标；（2） 设P 为C 上任意一点，求I PA 2+| PB 2+| pq 2+l PD 2的取值范围.（2,手），（2,誓），（2,弓），（2,弓）3 6 3 6 点A , B , C , D 的直角坐标为1'■-厂.|-- 1x n =2cos0(2)设P (x o , y o ),贝,水(©为参数)y (p3sinTt=| PA 2+| PB 2+| PC 2+I PD| 2=4x 2+4y 2+16=32+20sin 2 © 2 ••• sin 2©€ [0, 1] ••• t € [32, 52]［选修4-5:不等式选讲］23. 设 f (x ) =|x| - |2x - 1|，记 f (x )>- 1 的解集为 M . （1）求集合M ;（2）已知a € M ，比较a 2- a+1与丨的大小.a旷1,(1) f (X )= |l | -|2X-1 X 弘 1 ”一工+1 »【解答】解：（1 ）点 A , B , C , D 的极坐标为【解答】解:>f sr —1 V I I 77畀l v —1 玮 M H X 0 A X A . (2)>( 1)a O A a A N S R 口r m +l —H %—％盂—1 “(a —l )lr 昇一)〉 M O A a A 二严 金—一)1?昇一) <戸 淳壬 ％—口+一八一 一 a a M a A 胃〉lp —1 二卜1】o 淳壬 a r a +l H l-; a 口 M 」八艮2于(气一二九+匚V P 淳壬％—a+lvl. a 口 ^k ^K i M o A a A I H ^^l n +l A H j □ MaHl 〉a z —a+l M H s 口 氐」八3八2于备—0+1V L。
湖南省长沙市第一中学2019届高三高考模拟卷一理科数学
炎德·英才大联考长沙市一中高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.2. 已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.3. 已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据流程图，有，故选C.4. 已知实数满足，设，则的最小值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.5. 传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。
有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。
如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选C.6. 已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．考点：空间几何体的三视图.8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又，从而，故，，选C.9. 已知在中，是边上的点，且，，,则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得或者（舎），故，而，故.选A.10. 设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是（）A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定【答案】A【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解，总是不确定的，故选A.点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.11. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.12. 已知函数，下列说法中错误的是（）A. 的最大值为2B. 在内所有零点之和为0C. 的任何一个极大值都大于1D. 在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故 A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分13. 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__________________.【答案】【解析】设，所以，故，所以，所以，填.14. 已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________. 【答案】【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.15. 若当时，函数取得最小值，则________________.【答案】【解析】，所以，因为在，所以，所以，故或者（舎），故填.点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：（1）（辅助角公式）；（2）如果在有最值，那么，从而求出对应的的值.16. 设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列中，，数列中，.（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.解析：（1），，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（2）依题意，当时，，∴，所以，令，两式相减，得故.18. 2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数8 17 25 31 39 47 55 66 ()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.【答案】(1) 线性回归方程为,当时，.(2) . 【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为1 2 3 419. 如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证：平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．试题解析：证明：因为平面，平面，所以，在中，，，，由余弦定理得：，故，所以，又，∴平面.由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.令，∴，.设平面的一个法向量为，，令，则，，∴，平面，∴是平面的一个法向量，，两边平方并化简得，所以或.∴或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。
湖南省长沙一中2019届高三下学期高考模拟卷(一)文科数学试卷(含答案)
文科数学试题参考答案!一中版"!&!
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湖南省长沙市第一中学2019届高三数学下学期模拟卷(一)文(含解析)
长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A I B=（ ） A. {}3,1-- B. {}1,3 C. {}3,1,0-- D. {}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<， 所以{1,3}A B =I ， 故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知函数1()()xxf x e e=-，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 的定义域，判断()f x 的奇偶性和单调性，进而可得解. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()xx 1f x e f x e-=-=-；∴()f x 是奇函数；又xy e =和x1y ()e=-都是R 上的增函数；()x x 1f x e ()e∴=-是R 上的增函数．故选：A ．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出m ＝2n （k ∈N *）包含的基本事件有3个，由古典概型概率公式计算即可．【详解】由题意得，基本事件总数有：6636⨯=种，事件“2m n =”包含的基本事件有：(2,1)，(4,2)，(6,3)共3个，所以事件“2m n =”的概率为313612P ==.故选B. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．4.已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为A （1，2），B （－1，3），则12z z 的虚部为（ ） A. 1 B. 12i -C. iD. 12-【答案】D 【解析】 分析】点的坐标得到复数z 1，z 2，代入12z z 后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到12z z 的虚部．【详解】解：由复数12z z ，在复平面上对应的点分别是A （1，2），B （﹣1，3）， 得：1z ＝1+2i ，2z ＝﹣1+3i则()()()()12121312551131313102i i z ii i z i i i +--+--====-+-+--． 12z z 的虚部为12- 故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A. 242+B. 442+C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高2即为侧视图的底边长，正视图的高即为侧视图的高， 所以侧视图的面积为：12222⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．7.等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则42S S =（ ） A. 2 B.78C.98 D.54【答案】D 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为q （q ≠0，q ≠1），利用a 3，a 5，﹣a 4成等差数列结合通项公式，可得2a 1q 4＝a 1q 2﹣a 1q 3，由此即可求得数列{}n a 的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【详解】设{}n a 的公比为(0,1)q q q >≠， ∵3a ，5a ，成等差数列，∴4231112a q a q a q =-，10a ≠，0q ≠，∴2210q q +-=，得12q =或1q =-（舍去），∴4242211()1521()1241()2SS-==+=-.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. A1O∥DCB. A1O⊥BCC. A1O∥平面BCDD. A1O⊥平面ABD【答案】C【解析】【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A. [,]36ππ-B. 7[,]412ππC. [0,]3πD. 5[,]26ππ【答案】B 【解析】 【分析】由对称中心之间的距离为2π可得三角函数的周期，从而可求得ω的值，利用经过平移变换后得到的函数()g x 是偶函数求得θ的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果． 【详解】因为函数()()sin (0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=， 将函数()f x 的图象向左平移6π后，得到()sin 23g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数， 所以()32k k Z ππθπ+=+∈，解得()6k k Z πθπ=+∈，由于22ππθ-≤≤，所以当0k =时6πθ=．则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由于][72,,41263n ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递减区间，故选B ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的抛物线C 上，直线MF 点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，由直线MF ，可得∠AMF ＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p 即可． 【详解】如图所示，∵直线MF 的斜率为3，∴∠MFx ＝60°． ∴∠AMF ＝60°，由抛物线的定义可得：|MA |＝|MF |， ∴1sin 6043,2MAF S MF MA ∆=⋅︒=得4MA MF ==，所以MAF ∆为等边三角形，∴24MA p ==，2p =， 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A 【解析】 【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22，…第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：02， 第二组：02，12，第三组：02，12，22， …第k 组：02，12，22，…，12k -， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，…，21k -， 每项含有的项数为：1，2，3，…，k ， 总共的项数为()11232k k N k +=+++⋯+=，当9k =时，()1452k k+=，故该数列的前50项和为()912395021221212121124816931104412S -=-+-+-+⋯+-+++++=-+=-．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12.若不等式1ln x m m e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1[,)2-+∞B. 1(,]2-∞-C. 1[,1]2-D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 设1ln t x x =+，由题意将原问题转化为求max ||t m -，利用导数分析1ln t x x=+的单调性求得最大值，代入解不等式即可. 【详解】设1ln t x x =+，由1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22111t x x x x ='-=-在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上t 0'≤恒成立，∴1ln t x x=+单调递减，则[1,1]t e ∈-； 当2em ≤时，max ||1t m e m m e -=--≤+， 解得：12m ≥-；当2em >时，max ||1t m m m e -=-≤+，恒成立； 综上知：当m R ∆1[,)2-+∞时，不等式1ln x m m e x +-≤+对1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点H ，若AH AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=_________.【答案】43. 【解析】 【分析】由题意可得13BH BC =u u u r u u u r ，从而由13AH AB BH AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，解得λ+μ．【详解】∵AB ＝2，∠ABC ＝60°， ∴BH ＝1，∴13 BH BC=u u u r u u u r，∴13AH AB BH AB BC=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλAB+u u u rμBCuuu r，，故λ1=，μ13=，故λ+μ43=；故答案为：43．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14.已知x，y满足约束条件202010x yx yy++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为__________________。
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1x y ==- B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-【答案】D【解析】解对应方程组，即得结果 【详解】 由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，复数()21i ω=+，则ω=（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】B【解析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案. 【详解】因为22(1)122i i i i ω=+=++=，所以||2ω==.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，属基础题.3．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题“2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>”的否定是“2000 (1,),168∃∈+∞+≤x x x ”.故选C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.4．设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．【考点】充分条件与必要条件的判定．5．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】A【解析】由()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期，可以求出ω，从而可以简单的判断出其相关性质 【详解】2(0)T ππωω==>，所以2ω=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,()32x k f x πππ+=+⇒关于()122k x k Z ππ=+∈对称，可判断A 正确，B 错误；2,()3x k f x ππ+=⇒关于(,0)()62k k Z ππ-+∈对称，可判断C 、D 错误. 【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.【考点】程序框图.7．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-，则角C =（ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】先利用正弦定理对已知等式化简，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-， 所以由正弦定理知，()()()a c a c a b b +-=-， 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得，222cos 122a b c C ab +-==，又(0,180)C ∈︒︒，所以60C =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求角的问题.8．已知函数,(=ln ,x e x ef x x x e⎧≤⎨>⎩），则函数()y f e x =-的大致图象是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令()()g x f e x =-，则(),ln(),,e x e e x eg x e x e x e -⎧-≤=⎨-->⎩，化简得(),0ln(),0,e x e x g x e x x -⎧≥=⎨-<⎩，因此()g x 在()()0,,,0+∞-∞上都是增函数.又()0ln 0e e e ->-，故选B.9．设曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a =（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用函数()ln 1axy e x =-+求导后，代入0x =，由结果等于切线的斜率，即可得到本题答案. 【详解】因为()ln 1axy e x =-+，所以11axy ae x '=-+， 令0x =时，得切线的斜率为1a -，又因为曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=,所以12a -=，得3a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用曲线在某点的切线方程求参数的问题. 10．长度都为2的向量OA u u u v ，OB uuu v的夹角为3π，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v=+，则m n +的最大值是（ ） A．B．3CD．【答案】B【解析】∵OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r ，∴OC u u u r 2=（m OA u u u r +n OB uuu r）2，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅u u u v u u u v ，即224442223m n mn cos π=++⨯⨯⨯，即m 2+n 2+mn=1，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m=n 时，等号成立）；故243m n +≤（），故m n +3=，故答案为3． 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =，()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题，可得()()f x g x x=是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设120x x <<，由题，得()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因此()()0.20.20.24.1 4.1(1)4.1f a gg ==<，()()()2.1 2.122.10.40.40.4(0.5)0.4f b gg g ==>>，()()()0.20.250.2log 4.1log 4.1log 4.1((1),(0.5))log 4.1f cg g g g ===∈，即a c b <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A．eBC ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、填空题13．已知()212'3f x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则1'3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】23【解析】对函数()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭求导，然后代入13x =-，即可得到本题答案. 【详解】由()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭，得1()223f x x f ⎛⎫'=+'- ⎪⎝⎭，令13x =-，得11122333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=⨯-+'- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得，1233f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭. 故答案为：23【点睛】本题主要考查抽象函数的求导问题.14．已知()24,21,3,1,x x f x x e x⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩则()2e f x dx -=⎰__________．【答案】43332π+ 【解析】由题，得122213()4ef x dx x dx dx x--=-+⎰⎰⎰ò，1224x dx --⎰由定积分的几何意义可得，13edx x⎰由微积分基本定理可得. 【详解】 因为122()4f x x dx -=-⎰表示的是，如下图阴影部分的面积S ，且21143213323S ππ=⨯+⨯⨯=+， 所以121221343433()43ln 33eee f x dx x dx dx x ππ--=-+=++=+⎰⎰⎰.故答案为：43332π+ 【点睛】本题主要考查利用定积分的几何意义和微积分基本定理求定积分. 15．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________． 【答案】()1,+∞【解析】设()()f x g x x =，由2()()()()()0x x x xf x e f x e f x f xg x e e'-'-'==<，得()g x在R 上单调递减，并且不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <，根据函数的单调性，即可得到本题答案. 【详解】 设()()xg x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '-'-'==， 因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)g e=， 所以不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <， 由()g x 在R 上单调递减，得1x >，所以()1xf x e e<的解集为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数的运用.16．化简000001cos201sin10tan52sin20tan5+⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为__________．【解析】原式22cos 10cos5sin5cos102cos10sin10sin104sin10cos10sin5cos52sin10sin10⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭o o o o oo o o o o o o o ()1cos102cos10cos102sin 301022sin102sin102sin102⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====oo oo o oo oo o ，三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin a b A =. （1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.【答案】（1）6B π=（2）322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）角C 用角A 表示，由和差公式及辅助角公式，得cos sin 3A C A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又由ABC ∆为锐角三角形，可确定角A 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得，sin 2sin sin A B A =， 所以1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得，6B π=；（2）cos sin cos sin()6A C A A ππ+=+--1cos sin()cos cos )6223A A A A A A ππ=++=++=+.由ABC ∆为锐角三角形知，22B A ππ-<<，2263B ππππ-=-=，25336A πππ<+<，所以1sin()23A π<+<3)32A π<+<=，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角转化的应用以及三角函数的图象与性质，其中涉及三角函数的值域问题，主要考查了转化和化归的数学思想.18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，2AB AC AE === ，12ED AB =，P 是BC 的中点.（1）求证：//DP 平面EAB ；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）由四边形EFPD 是平行四边形，得//DP EF ，从而//DP 平面EAB ； （2）通过建立空间直角坐标系，套用求二面角的公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）证明：取AB 的中点F ，连结,PF EF ， 因为P 是BC 的中点，所以//FP AC ，12FP AC =， 因为//ED AC ，且1122ED AB AC ==， 所以//ED FP ，且ED FP =，所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以//DP EF ，因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，所以//DP 平面EAB ； （2）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则z 轴在平面EACD 内.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,3E ，()0,2,3D .所以()2,1,3EB =--u u u r ，()0,1,0ED =u u u r，设平面EBD 的法向量为(),,n x y z =r， 由0,0.n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2300x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，取2z =，所以()3,0,2n =r ，又因为平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =u r，所以27cos ||||n m n m n m ⋅<⋅>==r u rr u r r u r ，即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为27. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及用向量法求二面角的余弦值.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过右焦点()2,0F c 的直线l ：x my c =+与椭圆C 交于M ，N 两点.当33m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，直线AM 、AN 分别与直线4x =交于P 、Q 点，证明：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由x my c =+与椭圆C 交于,M N 两点.当3m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6，得226a c +=，b =，解得,,a b c ，即可得到本题答案;（2）联立直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=，得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，先求得,P Q 两点的坐标，然后可以表示出以线段PQ 为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意知，226a c +=，∴3a c +=①又当3m =时，直线l的方程为3x y c =+，∴()0,M ，∴b =② 联立①、②有2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l ：1x my =+代入22143x y +=中有()2234690m y my ++-=，∴122634my y m -+=+，122934y y m -=+， 此时AM l ：1122x x y y -=+，AN l ：2222x x y y -=+， ∴112(4,)2y P x -、222(4,)2y Q x -， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为()21212224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.化简得：()()()2224391x y m m -++=+，又圆心()4,3m -到直线l ：1x my =+的距离为222311d m m ==++.∴以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及到转化和化归思想的运用，主要考查学生的分析能力与运算能力.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重；当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻；身高大于或等于170cm 的我们说身高较高；身高小于170cm 的我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图所示，请根据所得信息，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响；身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示： 编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高x （cm ）166167160173178169158173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为$0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R （保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差（绝对值）最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. （参考公式）µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x xy y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$a y bx =-$，$i ie y bx a =--$$， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.（参考数据）8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821320i i i x y =-=∑，()()81256i i i x x y y =--=∑，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）见解析，没有（2）①见解析，2R 约为0.91②$0. 67555. 9y x =-【解析】（1）根据散点图即可完成列联表；套用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），算出观测值，与3.841作比较，即可得到本题答案；（2）①把169,158,173x =分别代入$0.875.9y x =-，即可完善下列残差表；然后套用公式µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，即可得到本题答案；②由①可知，第八组数据的体重应为58，套用1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，即可得到本题答案. 【详解】 （1）由于()2232656151602.0783.8411220211177K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此没有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响. （2）①$()()()()()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.521.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑$()()2212121.2204.8110.91226226ni ii n i i y y R y y ==-=-=-=≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496i ii x y==-⨯=∑，又821226112ii x==∑，168x =，57.5y =，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii i i x y x ybx x ==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为$0. 67555. 9y x =-.【点睛】本题主要考查独立性检验以及线性回归方程的应用. 21．已知函数()ln x af x x-=，其中a 为实数. （1）当1a =时，判断函数()f x 在其定义域上的单调性；（2）是否存在实数a ，使得对任意的()(0,11),x ∈+∞U ，()f x >存在，请说明理由；若存在，求出a 的值并加以证明.【答案】（1）()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增（2）存在，1a =，证明见解析 【解析】（1）求导得，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，设()ln 1g x x x x =-+，由()0g x ≥恒成立，即可得到本题答案；（2）当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>，求()p x x x =的最大值，可确定a 的取值范围；当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<，求()p x x x =的最小值，可确定a 的取值范围，综上，即可得到本题答案. 【详解】（1）当1a =时，()1ln x f x x-=，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，令()ln 1g x x x x =-+，()ln g x x '=.当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >. ∴()()min 10g x g ==， ∴()0g x ≥恒成立，∴()()0,11,x ∈+∞U 时，()'0f x >恒成立. ∵()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增.（2）①当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>-，令()p x x x =，则()'p x =，再令()2ln h x x =-，则()11'0h xxx=-=<， 故当01x <<时，()'0h x <，所以()h x 在()0,1上单调递减， 所以当01x <<时，()()10h x h >=，所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()0,1上单调递增，()()11p x p <=，所以1a ≥.②当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<. 由①知当1x >时，()'0h x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，当1x >时，()()10h x h >=， 所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11p x p >=，所以1a ≤. 综合①②得：1a =. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及导数与不等式的综合应用问题，涉及到分类讨论思想以及转化和化归思想的运用，主要考查学生的推理分析能力和计算能力. 22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的最值.【答案】（1）60x y -+=（22. 【解析】（1）根据和差公式展开，由sin ,cos y x ρθρθ==，即可得到本题答案；（2）由点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，再利用点到直线公式及辅助角公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=.（2）点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，其中[0,2)απ∈，则P 到直线l 的距离5cos 6d αϕ++==，其中4cos 5ϕ=，∴当()cos 1αϕ+=时，d； 当()cos 1αϕ+=-时，d的最小值为2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值问题.23．已知函数()2|1|||f x x x a =++-，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若函数()f x 的最小值为3 ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4(,2][,)3-∞-+∞U （2）2a =或4a =-【解析】（1）分1x ≥，11x -<<和1x ≤-三种情况，解不等式即可得到本题答案； （2）分1a =-，1a >-和1a <-三种情况，考虑()f x 的最小值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）若1a =，则()31,1,2113,11,31, 1.x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩当1x ≥时，315x +≥，解之得43x ≥； 当11x -<<时，35x +≥，无解； 当1x ≤-时，315x --≥，解之得2x -≤.综上，不等式()5f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .（2）当1a =-时，()3|1|f x x =+的最小值为0，不满足题意；当1a >-时，()32,,2,1,32,1,x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩所以()()min 113f x f a =-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,1,2,1,32,,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩所以()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-.第 21 页 共 21 页 综上所述，2a =或4a =-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，涉及到分类讨论思想的运用.。
2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． -4 ____________________ B． -1 ______________ C． 1______________ D． 42. 以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“ 与有关系”的把握程度越小.A．①④ _________ B．②③ ______________ C．①③ ___________ D．②④3. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．4. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64 ______________ B．80 ______________ C．96 ______________ D．1285. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（） A． ________________________ B． ______________ C．____________________ D．6. 长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． ______________ B．________________________ C．________________________ D．7. 已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A． ____________________________ B． 6 ______________________________ C． 12 D．8. 在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A． ____________________________ B． ________________________C． ____________________________ D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．10. 已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A． ______________ B． 2 ___________ C． 4 ______________D． 811. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）A． ____________________ B． 3____________________________C． ____________________________ D．12. 设函数，是方程的根，且，当时，关于函数在区间内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点 ____________________ B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 ______________ D．可能存在3个零点二、填空题13. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______________________________ .14. 在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为______________________________ .15. 设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是______________________________ .16. 已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：______________________________ .三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.18. 《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表. 表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式， . ）19. 如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面 .（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.20. 如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且 .（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.21. 已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是圆的直径，弦交于，，， .（1）求圆的半径；（2）求线段的长.23. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.24. 关于的不等式 .（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学(文)试题(PDF版)(答案)
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2019届湖南省长沙市第一高考模拟数学（理）试题
2019届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅ B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D【解析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B求解. 【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ）A ．x D ∀∈，()f x x >B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤C ．xD ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D【解析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C【解析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+i sin23°）•（cos37°+i sin37°）＝cos60°+i sin60°＝12+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A【解析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程.【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A．243π+B．342π+C．263π+D．362π+【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm 3． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．7．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3【答案】C【解析】先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.【详解】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-，所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，解得2a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．18【解析】设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，然后再用数量积公式求解. 【详解】设BA a =，BC b =，所以()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ． BC D ．3【答案】A【解析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】 如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ，则()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．23C ．33D 73【答案】D【解析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =，从而133CD =， 由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯⨯⨯=， 则733BD =. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D【解析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行； B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确； C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确； D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.12．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C【解析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值. 【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+．又()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤． ①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去；②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去；③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44x +=时，()13f x =成立；综上所得ω的最大值为1054． 故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2xf x m =+（m 为常数），若()312f =，则实数m 的值为______. 【答案】1【解析】根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x f x m =+（m 为常数）求解.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，又因为当0x <时，()2xf x m =+，所以()()131122f f m -=-=+=， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A 或D 作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】A B C D分别获奖的说对人数如下表：,,,获奖作品 A B C D甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数 3 0 2 1故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件. 15．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300、原元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B 料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.【答案】2800元【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得2122120x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩，且， 目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示作直线340L x y +=：， 然后把直线向可行域平移， 由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大， 由212212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44x y ⎧⎨⎩＝＝，即44A （，）此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为2800．【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．16．设实数0a >，若函数()()()2aln 0120x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的最大值为______. 【答案】32e【解析】根据()1f a -=，则当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤，转化为21ln 1x a x -≥，令()()2ln 11x g x x x -=>，用导数法求其最大值即可. 【详解】因为()1f a -=，又当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤等价于21ln 1x a x -≥， 令()()2ln 11x g x x x -=>，()332ln 'xg x x -=， 当321,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，当32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减，()32max312g g e ex ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，则3112a e ≥，又0a >，得32a e ≤， 因此a 的最大值为32e . 故答案为：32e 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=14． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：12222b b ++…1()2n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】【详解】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．由,可得2n c =． 由，得，可得．所以．可得． （Ⅱ）设，则.即，可得2n c =，且． 所以，可知．所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和．【考点】等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 3【解析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式()()22342332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=求解. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒， 因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又23AB = 由余弦定理得：21292233cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变， 又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =.∴AE ⊥平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =，∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，330,0,2C ⎛ ⎝⎭，则3333,,22CA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭， 假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB =-，故()3,3,0AP λλ=-，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=⎛--- ⎭，又33FC ⎛= ⎝⎭，该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =，()()333312100220330x y z n CP n FC z λλ⎧-+--=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪， 令()21y λ=-得()()()321,21,0n λλ=--，∴()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=， 解得12λ=或76λ=（舍）， 综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）（i ）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii ）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()34E X =. 【解析】（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.2825.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，()315320910228C C P X ===；()2115532035176C C C P X ===；()121553205238C C C P X ===；()3532013114C P X C ===.所以X 的分布列为所以()3551312376381144E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6． （1）求椭圆的方程；（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-【解析】（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a bc =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【详解】（1）依题意可知212262b a a⨯⋅=，解得23b =，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22143x y +=（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122y y x x =++，直线BD 的方程为：()2222yy x x =--．联系方程，解得1221124263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+．所以()1221121212626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-．【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知()()ln f x x m =+，()xg x e =.（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）令()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，求导()1'2xF x e x =-+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程()0000ln x xy x m x m x m=-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ， 有101x me x =+，即()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()11,xx e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可得()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<，令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-，转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m =+->求解. 【详解】（1）证明：设()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，则()1'2xF x e x =-+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<， 因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，从而()F x 的最小值为()()()211ln 2022a a F a e a a a a +=-+=+=>++. 所以()0F x >，即()()f x g x <. （2）()1'f x x m =+，故()001'f x x m =+，故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m=-++++①设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ，注意到()'x g x e =， 从而切线斜率为101x me x =+， 因此()10ln x x m =-+，而()1101x g x e x m ==+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可知()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+，由m 为正整数可知，010x m +->，所以()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<， 令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-， 则()()()()21'01x x m x m x m h x ++=>++-，当1m =时，()()1ln 1x x h x x ++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；当1m 时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11ln 3230h =->， 所以3m <；因为()()22ln 1h m m m=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m ；因为m 为整数，且13m <<，所以2m =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l：2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若MN PN PM MN=，求实数a 的值. 【答案】（1）()220y ax a =>，20x y --=；（2）1a =. 【解析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2sin 2cos a ρθθ=求解，由2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与22y ax联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PN PM MN=，即2MN PM PN =，利用韦达定理求解. 【详解】（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=， 得()220y ax a =>，由242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()220y ax a =>，20x y --=. （2）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22y ax得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由MN PN PM MN=得2MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，所以()()284584a a +=⨯+，而0a >，解得1a =.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥.①当13x ≤时， 则33012x x x -++-⇒≤≥，所以0x ≤；②当123x <<时， 则32113x x x -+≥⇒≥-，所以12x ≤<；⑧当2x ≥时， 则332132x x x +≥⇒≥--，所以2x ≥. 综上所述：当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）由1||()3x f x x -+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤，由题可知：|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1114312312a a a ⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.。
2019届长沙市高三统一检测长沙市2019届高三年级统一模拟考试理科数学试题及参考答案及评分标准
等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所
对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为.
A．8－ 4 3
B．8－
C．8－ 2 3
D．4－ 2
9．已知 P(1, 2) 是函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0) 图象的一个最高点， B,C 是
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
姓名 准考证号
绝密★启用前
长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试
理科学
高考湘军
长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
科目：数学（理科）
（试题卷）
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和
该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草
稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。
3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。
A．12
B．10
C． 9
D． 4.5
12．设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1 ，E 为 DD1 的中点，M 为直线 BD1 上一点，N 为平面 AEC 内一点，则 M，N 两点间距离的最小值为
A． 6 3
B． 6 6
C． 3 4
D． 3 6
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题 中的横线上.
2019届湖南省长沙市一中高三高考模拟数学(理)试题Word版含解析
2019届湖南省长沙市一中高三高考模拟数学（理）试题一、选择题1．复数31()i i-+等于( ) A.B.C. -8D. 8【答案】A【解析】()22124i i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故选A.2．已知,,若,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知可得[]12{|,01}0,1A y y x x ==≤≤=，当0k >时， []1,1B k =+；当0k <， []1,1B k =+，由A B ⊆知，当0k >时不合题意，则10k +≤， 1k ≤-，故选D.3．在区间[1,2]上任选两个数,，则的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得在区间[]1,2上任选两个数x 和y 的区域为边长为1的正方形，面积为1，在区间[]1,2上任选两个数x 和y ，且2y x <的区域面积()2211212ln |2ln21S dx x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰ ，∴在区间[]1,2上任取两个实数x ， y ， 则满足2y x<的概率等于2ln21-，故选A. 4．若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )A.B.C. (1,1)D. (-1,1)【答案】D【解析】()sin sin sin cos 442222f x a x b x a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()sin cos 22a b x a b x =++-， 0ab ≠， ∵()f x 是偶函数，∴只要0a b +=即可，可以取1a =-， 1b =，故选D.点睛：本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：（1）奇偶性的定义；（2）数形结合；（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。
2019届湖南省长沙市第一高三下学期高考模拟卷（一）数学（理）试题
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤{}1,0,1,2,3B =-，，则A∩B ＝（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以{1,0,1,2}A B =-，故选B. 【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)(1)(2)i z i i +=+-，则z =（ ）A B C D【答案】C【解析】利用复数的运算法则求解z ，再由模的计算公式即可得出． 【详解】 由题意得，(1)(2)(3)(12)112(12)(12)i i i i z i i i i +-+-===-++-，z ==故选C. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．已知cos()4πα+=，则sin2α的值为（ ）A．13B．23C．3D．53【答案】B【解析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．【详解】因为21cos22cos42παπα⎛⎫++⎪⎛⎫⎝⎭+=⎪⎝⎭1sin2126α-==，所以2sin23α=，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1B2C．3D．22【答案】B【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，2，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．5．若非零向量a、b满足24,(2)0a b a b a==-⋅=，则a在b方向上的投影为（）A．4B．8 C．14D．18【答案】A【解析】先由数量积的运算律计算得到8a b⋅=，再利用投影公式计算即可得出结果．【详解】由2(2)20a b a a a b-⋅=-⋅=得2 2822aaa b⋅===，从而a在b方向上的投影为842a bb⋅==，故选A.【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．6．形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（）A．161B．18C．16D．14【答案】A【解析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A，2A，由题意知，1A，2A相互独立，且()22121(42)34416P Aππ-==，()213P A=，所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为1212311()()()16316P A A P A P A==⨯=.故选A.【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.7．若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B ．2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C ．[,]()36k k k z ππππ-+∈D ．5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 【答案】B【解析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递增区间． 【详解】()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()2f α=，k 1-，所以αβ-的最小值为42T π=， 所以T=2π，1ω=， 令22262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调增区间为2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ 故选B. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．8．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A ．1．5尺 B ．2．5尺C ．3．5尺D ．4．5尺【答案】B【解析】由等差数列的性质可得959S a =，14743a a a a ++=，可得5a ，4a ，计算出公差d ，再利用通项公式即可得出所求． 【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=，故选B. 【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设圆心为，动点到直线的距离为，根据题意得：，可得，即：动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，根据抛物线的定义，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，设方程为，则，，所以抛物线方程为：，选A ．【考点】抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，可转化为动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．10．已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件360200x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．[1,7]- B ．[7.1]-C ．),7[]1,(+∞⋃--∞D ．[9,1][7,)--+∞【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BP k ，AP k 数形结合可得结论． 【详解】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(4,6)A ， 直线20x y -+=与y 轴的交点为(0,2)B ，只需求出过p 的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7≥k 或1k ≤-， 故选C. 【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，考查了简单的转化思想和数形结合的思想，属于基础题．11．已知三棱锥ABC P -的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ） A ．3π B ．23πC ．43π D ．56π 【答案】B【解析】画出图，根据弧长公式求解 【详解】如图所示，Rt PAC ∆，Rt PAB ∆为等腰直角三角形，且3AP AB AC ===. 以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt PAC ∆的PC ，AC 分别交于M ，N ， 得cos 32APN ∠=，6APN π∴∠=，所以12NPM π∠=，所以2126MN ππ=⨯=，同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，又GM 是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆周长的16，所以22263GM ππ⨯==， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于293662362ππππππ+++==. 故选B.【点睛】本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力．属于中档题．12．已知函数31()1(,f x x a x e e e=-++≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3[0,4]e - B ．3[1,4]e - C ．3[1,3]e - D ．3[,3]e e -【答案】A【解析】由已知，得到方程313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-在[1e，e ]上有解，构造函数3()3ln h x x x =-，求出它的值域，即可得到a 的范围． 【详解】根据题意，若函数3()1f x x a =-++（1x e e≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程313ln x a x -++=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-，即方程313ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数3()3ln h x x x =-，其导数()32313'()3x h x x x x-=-=， 又3n，'()0h x =在1x =有唯一的极值点，分析可得：当11x e≤≤时，'()0h x ≤，()h x 为减函数， 当1x e ≤≤时，'()0h x ≥，()h x 为增函数， 故函数3()3ln h x x x =-有最小值(1)1h =， 又由3311h e e ⎛⎫=+⎪⎝⎭，3()3h e e =-，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 故函数3()3ln h x x x =-有最大值3()3h e e =-，故函数3()3ln h x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3[1,3]e -；若方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有3113a e ≤+≤-，则有304a e ≤≤-，即a 的取值范围是3[0,4]e -.故选A. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为3，则此双曲线的离心率为______________. 【答案】2.【解析】根据离心率公式和渐近线方程，直接得到结果． 【详解】由已知渐近线的斜率b k a ==，则离心率2ce a===. 故答案为2. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和渐近线方程，属于基础题．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_____________。
湖南省长沙市第一中学2019届高三数学下学期模拟卷(一)理(含解析)
长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤{}1,0,1,2,3B =-，，则A∩B＝（ ） A. {}1,0,1-B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可．【详解】由已知得{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以{1,0,1,2}A B =-，故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)(1)(2)i z i i +=+-，则z =（ ）A.5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解z ，再由模的计算公式即可得出． 【详解】由题意得，(1)(2)(3)(12)112(12)(12)i i i i z i i i i +-+-===-++-，z==故选C.【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3.已知cos()4πα+=，则sin2α的值为（）A. 13B.23D.35【答案】B【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．【详解】因为21cos22cos42παπα⎛⎫++⎪⎛⎫⎝⎭+=⎪⎝⎭1sin2126α-==，所以322sin=α，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A. 1 C. 3 D. 22【答案】B【解析】分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．5.若非零向量a 、b 满足24,(2)0a b a b a ==-⋅=，则a 在b 方向上的投影为（ ） A. 4 B. 8 C.14D.18【答案】A 【解析】 【分析】先由数量积的运算律计算得到8a b ⋅=，再利用投影公式计算即可得出结果．【详解】由2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅=得22822a a ab ⋅===， 从而a 在b 方向上的投影为842a b b⋅==，故选A. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．6.形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）A.161 B.18C.16D.14【答案】A 【解析】 【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率. 【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A ，2A ， 由题意知，1A ，2A 相互独立，且()22121(42)34416P A ππ-==，()213P A =， 所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为1212311()()()16316P A A P A P A ==⨯=. 故选A.【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.7.若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递增区间．【详解】()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为()2f α=，k 1-，所以αβ-的最小值为42T π=，所以T=2π，1ω=， 令22262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调增区间为2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ 故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A. 1．5尺 B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得959S a =，14743a a a a ++=，可得5a ，4a ，计算出公差d ，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆22(2)1x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A. 28y x =B. y x 82=C. 24y x =D. 24x y =【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22p=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，选A ． 考点：抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，可转化为动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．10.已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件360200x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A. [1,7]-B. [7.1]-C. ),7[]1,(+∞⋃--∞D.[9,1][7,)--+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BP k ，AP k 数形结合可得结论． 【详解】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(4,6)A ， 直线20x y -+=与y 轴的交点为(0,2)B ，只需求出过p 的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7≥k 或1k ≤-， 故选C.【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，考查了简单的转化思想和数形结合的思想，属于基础题．11.已知三棱锥ABC P -的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ） A. 3π B.23πC.43π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，Rt PAC ∆，Rt PAB ∆为等腰直角三角形，且AP AB AC ===. 以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt PAC ∆的PC ，AC 分别交于M ，N ，得cos 2APN ∠=，6APN π∴∠=，所以12NPM π∠=，所以2126MN ππ=⨯=，同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，又GM 是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆周长的16，所以22263GM ππ⨯==，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于293662362ππππππ+++==.故选B.【点睛】本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力．属于中档题．12.已知函数31()1(,f x x a x e e e=-++≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3[0,4]e -B. 3[1,4]e -C. 3[1,3]e -D.3[,3]e e -【答案】A 【解析】 【分析】由已知，得到方程313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-在[1e，e ]上有解，构造函数3()3ln h x x x =-，求出它的值域，即可得到a 的范围．【详解】根据题意，若函数3()1f x x a =-++（1x e e≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程313ln x a x -++=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-，即方程313ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数3()3ln h x x x =-，其导数()32313'()3x h x x x x-=-=，又3n，'()0h x =在1x =有唯一的极值点， 分析可得：当11x e≤≤时，'()0h x ≤，()h x 为减函数， 当1x e ≤≤时，'()0h x ≥，()h x 为增函数， 故函数3()3ln h x x x =-有最小值(1)1h =， 又由3311h e e ⎛⎫=+⎪⎝⎭，3()3h e e =-，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 故函数3()3ln h x x x =-有最大值3()3h e e =-，故函数3()3ln h x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3[1,3]e -；若方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有3113a e ≤+≤-，则有304a e ≤≤-，即a 的取值范围是3[0,4]e -.故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为3，则此双曲线的离心率为______________. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据离心率公式和渐近线方程，直接得到结果．【详解】由已知渐近线的斜率b k a ==，则离心率2ce a===. 故答案为2.【点睛】本题考查了双曲线的性质和渐近线方程，属于基础题．14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_____________。
2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(理科)
2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|A x x a =„，}a R ∈，{|216}x B x =<，若A B Ü，则实数a 的取值范围是( ) A ．∅B ．RC ．(-∞，4]D ．(,4)-∞2．（5分）设函数()(1)f x ln x =-的定义域为D ，命题:p x D ∀∈，()f x x „的否定是( ) A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，00()f x x „ C ．x D ∀∉，()f x x >D ．0x D ∃∈，00()f x x >3．（5分）已知复数1cos23sin 23z i =︒+︒和复数2cos37sin37z i =︒+︒，则12z z g 为( ) A ．132i + B ．312i + C ．132i - D ．312i - 4．（5分）已知直线:210l y x =+过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=5．（5分）为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线ˆybx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为0.87-D ．线性相关关系太弱，无研究价值6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积等于( )A ．3243cm π+B ．3342cm π+C ．3263cm π+D ．3362cm π+7．（5分）若251()(1)x a x+-的展开式中的常数项为12-，则实数a 的值为( )A ．2-B ．3-C ．2D ．38．（5分）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．58-B ．14 C ．18D ．1189．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是( ) A ．22B ．2C ．22D ．2 10．（5分）如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为( )A 53B ．23C ．33D 7311．（5分）如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，M ，N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当M ，N 运动时，下列结论中不正确的是( )A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形12．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()03f π-=，对x R ∈恒有()|()|3f x f π…，且在区间(,)155ππ上有且只有一个1x 使1()3f x =，则ω的最大值为( ) A ．574B ．1054C ．1114D ．1174二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2(x f x m m =+为常数），若3(1)2f =，则实数m 的值为 ．14．（5分）学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．15．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 元．16．（5分）设实数0a>，若函数2(0) ()12(0)alnx x xf xx a xx⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为(1)f-，则实数a的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{}na是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a=，2614a a+=．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb满足*1221()222nnnbb ba n N++⋯+=+∈．求数列{}nb的前n项和nS．18．如图1，四边形ABCD为直角梯形，//AD BC，AD AB⊥，60BCD∠=︒，23AB=，3BC=，E为线段CD上一点，满足BC CE=，F为BE的中点，现将梯形沿BE折叠（如图2)，使平面BCE⊥平面ABED．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）能否在线段AB上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为3？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台．借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案．为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点．第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案．同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩．若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩．已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤．根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显．在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，且左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，当直线l 垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线AC ，BD 的交点为Q ，试问点Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知()()f x ln x m =+，()x g x e =． （1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点0(A x ，00())(01)f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若||PM ，||MN ，||PN 成等比数列，求a 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||3f x x a =-，()a R ∈（1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+…；（2）设不等式1||()3x f x x -+„的解集为M ，若1[3，1]2M ⊆，求实数a 的取值范围．2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|A x x a =„，}a R ∈，{|216}x B x =<，若A B Ü，则实数a 的取值范围是( ) A ．∅B ．RC ．(-∞，4]D ．(,4)-∞【解答】解：集合{|A x x a =„，}a R ∈，{|216}(,4)x B x =<=-∞， 若A B Ü， 故4a <， 故选：D ．2．（5分）设函数()(1)f x ln x =-的定义域为D ，命题:p x D ∀∈，()f x x „的否定是( ) A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，00()f x x „ C ．x D ∀∉，()f x x >D ．0x D ∃∈，00()f x x >【解答】解：命题:p x D ∀∈，()f x x „的否定是 0x D ∃∈，00()f x x >．所以选项A ，B ，C 错误，D 正确． 故选：D ．3．（5分）已知复数1cos23sin 23z i =︒+︒和复数2cos37sin37z i =︒+︒，则12z z g 为( )A ．12+ B 12i C ．12 D 12i -【解答】解：121(cos23sin 23)(cos37sin37)cos60sin 602z z i i i =︒+︒︒+︒=︒+︒=+g g 故选：A ．4．（5分）已知直线:210l y x =+过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【解答】解：由题意得(5,0)F -，5c =， 且因为l 与一条渐近线平行，故2ba=，即2b a =， 所以25a =，220b =，则双曲线方程为221520x y -=，故选：A ．5．（5分）为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线ˆybx a =+近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为0.87-D ．线性相关关系太弱，无研究价值【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y x =的下方， ∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B ， 故选：B ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积等于( )A ．3243cm π+B ．3342cm π+C ．3263cm π+D ．3362cm π+【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，它的体积为311322336222V V V cm ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+三棱柱半圆柱．故选：D ．7．（5分）若251()(1)x a x+-的展开式中的常数项为12-，则实数a 的值为( )A ．2-B ．3-C ．2D ．3【解答】解：因为51(1)x-的展开式的通项为515(1)r r r r T C x -+=-，从而251()(1)x a x+-的展开式中的常数项为23325(1)1012x C x a a ---=--=-， 得2a =， 故选：C ．8．（5分）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．58-B ．14 C ．18D ．118【解答】解：如图，D Q 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且2DE EF =，∴13()()22AF BC AD DF BC BA DE BC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru uu r u u u r u u u r g g g13133()()24244BA AC BC BA BC BA BC =-+=-+-u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r g g22535353()||||cos601444444BA BC BC BA BC BC BA BC =-+=-+=-︒+⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g5131114248=-⨯⨯⨯+=．故选：C ．9．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是( ) A ．22B ．2C ．223D ．23【解答】解：设(1,0)A -，(1,0)B ，(,)P x y ，则2222(1)2(1)x y x y ++=-+， 化简得22(3)8x y ++=（如图），当点P 到(AB x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， PAB ∴∆面积的最大值是1222222⨯⨯=，故选：A ．10．（5分）如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为( )A ．53B ．23C ．33D ．73【解答】解：设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120106cos12013AC AB BC AB BC =+-⨯⨯︒=-︒=， 则13AC =，90ACD ∠=︒Q ，60CDA ∠=︒，从而133CD =， 由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒， 即3sin 213α=，从而3cos cos(90)sin 213BCD αα-∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯⨯⨯=， 则73BD =， 故选：D ．11．（5分）如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，M ，N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当M ，N 运动时，下列结论中不正确的是( )A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【解答】解：如图，当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，由直线与平面平行的定义得在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段，故A 正确 若满足1BM C N =，则线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，而DO ⊥平面11BCC B ， ∴平面DMN ⊥平面11BCC B ，故B 正确；当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，△1A DM 的面积不变，N 到平面1A DM 的距离不变， ∴棱锥1N A DM -的体积不变，即三棱锥1A DMN -的体积为定值，故C 正确；若DMN ∆为直角三角形，则必是以MDN ∠为直角的直角三角形，但MN 的最大值为1BC ， 而此时DM ，DN 的长大于1BB ，DMN ∴∆不可能为直角三角形，故D 错误． 故选：D ．12．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()03f π-=，对x R ∈恒有()|()|3f x f π„，且在区间(,)155ππ上有且只有一个1x 使1()3f x =，则ω的最大值为( ) A ．574B ．1054C ．1114D ．1174【解答】解：由题意知，12332k k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，1k ，2k Z ∈，则3(21)424k k ωππϕ+⎧=⎪⎪⎨'⎪=+⎪⎩，k ，k Z '∈，其中21k k k =-，2112k k k k k '=+=+，故k 与k '同为奇数或同为偶数．()f x 在区间(,)155ππ上有且只有一个最大，且要求ω最大，则(,)155ππ包含的周期应该最多， ∴2251515T πππ-=„，得030ω<„，即3(21)304k +„，19.5k ∴„． 当19k =时，1174ω=，k '为奇数，34πϕ=，此时1173(2.7,6.6)44x πππ+∈， 当11173 4.544x ππ+=或6.5π时，1()3f x =都成立，舍去； 当18k =时，1114ω=，k '为偶数，4πϕ=，此时111(2.1,5.8)44x πππ+∈， 当1111 2.544x ππ+=或4.5π时，1()3f x =都成立，舍去； 当17k =时，1054ω=，k '为奇数，34πϕ=，此时1053(2.5,6)44x πππ+∈， 当且仅当11053 4.544x ππ+=时，1()3f x =成立． 综上所述，ω的最大值为1054． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2(x f x m m =+为常数），若3(1)2f =，则实数m 的值为 1 ．【解答】解：因为()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2(x f x m m =+为常数），所以3(1)(1)2f f -==， 则13(1)22f m --=+=， 1m ∴=．故答案为：114．（5分）学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 C ． 【解答】解：根据题意，A ，B ，C ，D 作品进行评奖，只评一项一等奖， 假设参赛的作品A 为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意； 假设参赛的作品B 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意； 假设参赛的作品C 为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意； 假设参赛的作品D 为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意； 故获得参赛的作品C 为一等奖； 故答案为：C ．15．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 2800 元．【解答】解：设每天生产的甲、乙两种产品分别为x ，y 桶，可使公司获得的利润300400z x y =+元．将已知数据列成表格如下：由表格可得约束条件*212212,x y x y x y N +⎧⎪+⎨⎪∈⎩„„，画出可行域如图所示：联立212212x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，即(4,4)B ．画出函数34y x=-的图象，将其平移，当34400z y x =-+经过点B 时，400z 取得最大值，300440042800z =⨯+⨯=．故答案为2800元．16．（5分）设实数0a >，若函数2(0)()12(0)alnx x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为(1)f -，则实数a 的最大值为 32e ．【解答】解：由(1)f a -=，又当0x >时，2alnx x a -„，即2(1)a lnx x -„． 当01x <„时，2(1)a lnx x -„显然成立； 当1x >时，由2(1)a lnx x -„等价于211lnx a x-…，令21()(1)lnx g x x x -=>，332()lnxg x x-'=， 当32(1,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当32(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故3231()()2max g x g e e ==，则3112a e…，又0a >，得32a e „， 因此a 的最大值为32e ．故答案为：32e ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =，2614a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*1221()222n n n b b b a n N ++⋯+=+∈．求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >． 由2614a a +=，可得47a =．由3545a a =，得(7)(7)45d d -+=，可得2d =． 即1731a d =-=．可得12(1)21n a n n =+-=-． （2）Q12212222n n nb b b a n ++⋯+=+=， ∴当2n …时，112212(1)222n n b b b n --++⋯+=-， 两式作差得22nnb =， 即1222n n n b +==g ，∴数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．即数列{}n b 的前n 项和24(12)2412n n n S +-==--．18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，AB =3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED ． （1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒， 因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又23AB =21292233cos303AE =+-⨯︒=，222AE BE AB ∴+=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又Q 平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ⋂平面ABED BE =．AE ∴⊥平面BCE ，AE ⊂Q 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE ．（2）解：BCE ∆Q 为等边三角形，F 为BE 的中点，CF BE ∴⊥，又Q 平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ⊥平面ABED BE =，CF ∴⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则(3A 32-，0)，(0C ，033，则(3CA =u u u r 32-，33，假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为3，且AP AB λ=u u u r u u u r ，(0,1)λ∈，(0B Q ，32，0)，∴(3AB =u u u r 3，0)，故(3AP λ=u u u r，λ，0)，∴(33CP CA AP λ=+=u u u r u u u r u u u r ，632λ-，33，又(0FC =u u u r ，033，该平面PCF 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，∴0n CP n FC ==u u ur u u u r r r gg ，可得：6333(33)02x y λλ--+-=330=， 取(3(21)n λ=-r，2(1)λ-，0)，cos CA ∴<u u u r ，223233(21)4(1)n λλ>==-+-rg ，(0,1)λ∈， 解得12λ=． 综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为3．19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台．借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案．为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点．第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案．同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩．若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩．已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤．根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显．在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望．【解答】解：（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩，第二组数据平均数为1(5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282) 5.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（2）()i 对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤， ∴该农场一年的利润为(5.242160.22)100426⨯⨯--⨯=千元，()ii 对于采用降低夜间温度的方法：每亩平均产量为1(5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282) 5.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤， ∴该农场一年的利润为(5.222160.2)100424⨯⨯--⨯=千元．因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元．（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，x 的可能取值有0，1，2，3，31532091(0)228C P X C ===；2115532035(1)76C C P X C ===，215153205(2)38C C P X C ===，353201(3)114C P X C ===， 所以X 的分布列为所以9135513012322876381144EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12，且左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，当直线l 垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线AC ，BD 的交点为Q ，试问点Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设c 为椭圆的半焦距，将x c =-代入椭圆方程可得2b y a=±=±，依题意当直线l 垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6，可知212262b a a⨯=g ，即23b =，即b =， 而12c e a ==，即2a c =，由222a c b -=，解得2a =，1c =， 因此椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）由题意得，左焦点(1,0)F -，(2,0)A -，(2,0)B ，设直线l 的方程为1x my =-，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得22(43)690m y my +--=，122643m y y m ∴+=+，122943y y m =-+，直线AC 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BD 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立方程，解得1221124263my y y y x y y +-=+，又因为121223()my y y y -=+，12211212126()26124433y y y y y y x y y y y -++---∴===-++，所以点Q 的横坐标为定值4-． 21．已知()()f x ln x m =+，()x g x e =． （1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点0(A x ，00())(01)f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值．【解答】解：（1）证明：设()()()(2)x F x g x f x e ln x =-=-+， 则1()2x F x e x '=-+，()F x '单调(,)a +∞递增，且1(0)2F '=，1(1)10F e'-=-<， ()F x ∴'在(1,0)-上存在零点a ，且()F x 在(2,)a -上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，从而()F x 的最小值为F （a ）21(1)(2)022aa e ln a a a a +=-+=+=>++．()0F x ∴>，即()()f x g x <．（2）解：1()f x x m'=+，故001()f x x m '=+， 故切线l 的方程为0000()x x y ln x m x m x m =-++++，① 设直线l 与()g x 相切于点11(,)x x e ，注意到()x g x e '=， 从而切线斜率为101x e x m =+，因此10()x ln x m =-+， 而1101()x g x e x m ==+，从而直线l 的方程为0000()1ln x m x y x m x m x m +=+++++，② 由①②可知000000()1()ln x m x ln x m x m x m x m+-+=+++++， 故000(1)()1x m ln x m x +-+=+，由m 为正整数可知，010x m +->， 因此解得0001()1x ln x m x m ++=+-，001x <<， 构造函数1()()1x h x ln x m x m +=+-+-，(1)x x <<， 则2()1()0()(1)x x m h x x m x m ++'=>++-， 当1m =时，1()(1)x h x ln x x+=+-为单调递增函数，且h （1）220ln =-<， 从而()h x 在(0,1)上无零点，当1m >时，要使得()h x 在(0,1)上存在零点，则只需1(0)01h lnm m =-<-，h （1）2(1)0ln m m=+->， 由11()1h m lnm m =--为单调递增函数，11(3)302h ln =->，因此3m <． 由22()(1)h m ln m m =+-为单调递增函数，2h （1）220lm =-<， 因此1m >，由于m 为整数，且13m <<，因此2m =．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若||PM ，||MN ，||PN 成等比数列，求a 的值．【解答】解：（1）由2sin 2cos a ρθθ=，得22sin 2cos a ρθρθ=， 即22y ax =；由224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，可知直线过(2,4)--，且倾斜角为4π， ∴直线的斜率等于1，∴直线方程为42y x +=+，即2y x =-；（2）直线l的参数方程为2(42x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）， 代入22y ax =得到2)8(4)0t a t a -+++=，则有1212),8(4)t t a t t a +=+=+，因为2||||||MN PM PN =g， 所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-=，即28(4)58(4)a a +=⨯+．解得1a =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||3f x x a =-，()a R ∈ （1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+…；（2）设不等式1||()3x f x x -+„的解集为M ，若1[3，1]2M ⊆，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）2a =时，1()|2|3f x x =-， 问题转化为解不等式11|||2|133x x -+-…， ①2x …时，11(2)133x x -+-…， 1121333x x -+-…， 解得：32x …； ②123x <<时， 11(2)133x x -+-…， 解得：1x …，故12x <„； ③13x „时，11(2)133x x -+-…， 解得：0x „，综上，不等式的解集是：{|0x x „或1}x …；（2）11||||33x x a x -+-„的解集包含1[3，1]2， 11||33x x a x ∴-+-„， 故1||1x a --剟，解得：11a x a -++剟， 故113112a a ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„…，解得：1423a -剟．。
湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学(文)试题-b5d853658e5c4262a806ae1e4252bdf2
第二组： ， ，
第三组： ， ， ，
第k组： ， ， ， ， ，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为： ， ， ， ， ，
每项含有的项数为：1，2，3， ，k，
总共的项数为 ，
当 时， ，
故该数列的前50项和为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．
【详解】
由已知得 ，
所以 ，
故选B.
【点睛】
本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
求出 的定义域，判断 的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】
的定义域为R，且 ；
∴ 是奇函数；
又 和 都是R上的增函数；
是R上的增函数．
故选：A．
【点睛】
本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．
∴平面A1DO∥平面B1CD1，
∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；
又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
5．A
【解析】
【分析】
利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可．
【详解】
双曲线的实轴长为2，得 ，又 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．
湖南省长沙一中2019届高三下学期高考模拟卷(一)理科数学试卷(含答案)
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2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M∈N D．N∈M2．（5分）在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）在等比数列{a n}中，“a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a2＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）A．f（x）＝sin x﹣x B．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）C．D．5．（5分）已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）A．0.75B．0.6C．0.52D．0.486．（5分）已知F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．2D．17．（5分）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则＝（）A．16B．32C．﹣16D．﹣328．（5分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣πC．8﹣D．8﹣2π9．（5分）已知P（1，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan，则f（x）的图象对称中心可以是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（）D．（）10．（5分）已知f（x）＝|e x﹣1|+1，若函数g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A．12B．10C．9D．4.512．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为DD1的中点，M为直线BD1上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把各题答案的最简形式写在题中的横线上13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13＝52，则a4+a8+a9＝．14．（5分）为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学，校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有种不同的选法．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），则cos（2θ+）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且4c＞9a，若不等式f（x）＞0恒成立，则的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且a sin（A+B）＝c sin．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，周长为8，求a．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中；（Ⅰ）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）若点M在棱P A上运动，当直线BM与平面P AC所成的角最大时，求二面角P﹣BC﹣M的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx+m（k≠0）与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N．20．（12分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表：他们分别用两种模型①y＝bx+a，②y＝ae bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值；x i y i x（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程：（ⅱ）若广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）设g（x）＝e﹣x f′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x0，函数f′（x）的极小值点为x1，当a＞2时，求证：x0＞x1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．（Ⅰ）求l和M的极坐标方程；（Ⅱ）当α∈（0，]时，求|OA|+|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a 的取值范围．2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：①当n＝2m，m∈Z时，x＝4m+1，m∈Z，②当n＝2m+1，m∈Z时，x＝4m+3，m∈Z，综合①②得：集合N＝，又集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，即M⊊N，故选：A．2．【解答】解：＝＝＝+i，对应点的坐标为（，），若点位于第一象限，则＞0且＞0，即，得，得m＞1，即实数m的取值范围是（1，+∞），故选：D．3．【解答】解：在等比数列中，若a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根，则，则a1＜0且a3＜0，则a22＝a1a3＝1，即a2＝±1，即充分性成立，反之当a1＝a3＝a2＝±1时，a1+a3＝﹣3不成立，即必要性不成立，故“a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a2＝±1”的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：由题意：图象关于原点对称，为奇函数，必须满足f（﹣x）＝﹣f（x），故得C不对．对于A：当x＝0，f（x）＝0，当x＝时，可得f（x）＝1＜0，单调递减，显然不满足题意；对于B：f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）其定义域为{x|x＞1}，图象显然不关于原点对称，对于D：＝，可知函数是递增函数；故选：D．5．【解答】解：由题意有：因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，这种元件使用到1年时还未失效的前提下，这个元件使用寿命超过2年的概率为P＝＝0.75，故选：A．6．【解答】解：F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，∴F1（0，），F2（0，﹣），一条渐近线方程为y＝x，设点P（m，m），∴＝（﹣m，﹣m），＝（﹣m，﹣﹣m），∵以F1F2为直径的圆经过点P，∴⊥，∴•＝m2+m2﹣2＝2m2﹣2＝0，解得m＝±1，即点P到y轴的距离为1，∴△PF1F2的面积S＝|F1F2|×|x P|＝×2×1＝，故选：A．7．【解答】解：∵AB2＝BC2+CA2∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴外心O是AB的中点，•＝•（）＝•（﹣）＝•﹣2＝﹣×82＝﹣32故选：D．8．【解答】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：故它的体积为（4﹣）×2＝8﹣π，故选：B．9．【解答】解：∵P（1，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，如图所示；∴A＝2，∵∠BPC＝θ，若tan，∴＝，解得：BC＝6，∴T＝6，则ω＝＝＝；∵2sin（×1+φ）＝2，可得：×1+φ＝，解得：φ＝，∴f（x）＝2sin（x+），令x+＝kπ，k∈Z，可得：x＝3k﹣，k∈Z，可得当k＝1时，x＝，即f（x）的图象对称中心可以是（，0）．故选：D．10．【解答】解：若g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝[f（x）﹣2][f（x）+a]有三个零点，即g（x）＝[f（x）﹣2][f（x）+a]＝0有三个根，即f（x）＝2或f（x）＝﹣a．当f（x）＝2时，由|e x﹣1|+1＝2，即|e x﹣1|＝1，则e x﹣1＝1或e x﹣1＝﹣1，即e x＝2或e x＝0，则x＝ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f（x）＝﹣a．有两个不同的根，作出f（x）的图象如图：由图象知，则1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1），故选：A．11．【解答】解：由抛物线的定义，得，|AF|＝＝3，解得p＝4，所以C的方程为y2＝8x．得A（1，a），因为A（1，a）（a＞0）在C上，所以a2＝8，解得a＝2故直线AF的方程为y＝﹣2（x﹣2），由消去y，得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得故|AB|＝x1+x2+p＝4+1+4＝9，故选：C．12．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则BD1∥EF，∴BD1∥平面ACE，∴M，N之间的最短距离即为直线BD1与平面ACE之间的距离，易知平面ACE⊥平面BB1D1D，∴EF与BD1的距离即为所求，在△DBB1中，求得D到BD1的距离为，∴EF与BD1的距离为，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把各题答案的最简形式写在题中的横线上13．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13＝52，∴13a1+d＝52，即a1+6d＝4．则a4+a8+a9＝3a1+18d＝3（a1+6d）＝3×4＝12．故答案为：12．14．【解答】解：第一类，从A，B两门课程选1门，再从C，D，E，F中选2门，共有C21C42＝12种，第二类，从A，B两门课程选2门，再从C，D，E，F中选1门，共有C22C41＝4种，根据分类计数原理，可得共有12+4＝16种，故答案为：16．15．【解答】解：角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），∴cosθ＝，sinθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣，则cos（2θ+）＝cos2θ﹣sin2θ＝﹣﹣＝﹣1，故答案为：﹣1．16．【解答】解：若不等式f（x）＞0恒成立，则，又由4c＞9a，∴设x＝，y＝，则，则＝＝1+，令z＝，则z表示区域内的点（x，y）与P（1，﹣2）连线的斜率，因为A（﹣3，），所以k P A＝＝﹣，设直线PB：y＝k（x﹣1）﹣2，联立得x2﹣4kx+4k+8＝0，△＝16k2﹣16k﹣32＝0⇒k＝﹣1，k＝2，由图可知，z∈（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．三、解答题：本大题共7个小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答17．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a sin（A+B）＝c sin，∴a sin（π﹣C）＝c sin（﹣），∴a sin C＝c cos；由正弦定理得sin A sin C＝sin C cos，∴sin A＝cos，即2sin cos＝cos；又A∈（0，π），∴cos≠0，∴2sin＝1，即sin＝，∴＝，解得A＝；（Ⅱ）△ABC的面积为，周长为8，∴bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，…①a+b+c＝8，…②由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣bc，…③由①②③组成方程组，可得：，可得：（8﹣a）2＝a2+12，解得：a＝．18．【解答】证明：（1）三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，∴P A＝PB＝PC＝BC＝AB＝，∵APC＝∠ABC＝90°，∠APB＝∠BPC＝60°，取AC中点O，连结PO，BO，则PO⊥AC，BO⊥AC，且PO＝AO＝CO＝BO＝1，∴PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，∴平面P AC⊥平面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO⊥PO，BO⊥AC，∵PO∩AC＝O，∴BO⊥平面P AC，∴∠BMO是直线BM与平面P AC所成角，且tan∠BMO＝＝，∴当OM最短时，即M是P A中点时，∠BMO最大，由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，得PO⊥OB，PO⊥OC，∴以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），M（﹣），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，﹣1），＝（，0，﹣），设平面MBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，3），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设二面角P﹣BC﹣M的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角P﹣BC﹣M的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|＝|F2B|故A为通径的端点，则|AF2|＝2|OB|又由|OB|＝．故＝又由e＝＝，a2＝b2+c2，解得：a2＝9，b2＝8故椭圆C的方程为；（Ⅱ）由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，l与C的方程联立消去y可得（8+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，（*），∵l与C相切，∴“*”中△＝324k2m2﹣36（8+9k2）（m2﹣8）＝0，∴m2﹣9k2＝8，l与11，l2联立得M（﹣3，﹣3k+m），N（3，3k+m），又F1（﹣1，0），F2（1，0），∴＝•＝﹣1，∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝同理∠MF2N＝，∴∠MF1N＝∠MF2N．20．【解答】解：（Ⅰ）由于模型①残差波动小，应该选择模型①；（Ⅱ）（i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为（7×6﹣6）＝7.2，＝（30×6﹣31.8）＝29.64；＝206.4，＝68.8．∴，＝29.64﹣3×7.2＝8.04．∴所选模型的回归方程为；（ⅱ）若广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是3×18+8.04＝62.04．21．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，f′（x）＝e x（1++alnx），（x＞0），g（x）＝e﹣x f′（x）＝1++alnx，g′（x）＝（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，故g（x）在x＝1处取到最小值，且g（1）＝1+a，由于g（x）≥2恒成立，故1+a≥2，故a≥1；（Ⅱ）设h（x）＝f′（x）＝e x（1++alnx），则h′（x）＝e x（1+﹣+alnx），设H（x）＝1+﹣+alnx，则H′（x）＝＞0，故H（x）在（0，+∞）递增，∵a＞2，∴H（1）＝a+1＞0，H（）＝1﹣aln2＜0，故存在x2∈（，1），使得H（x2）＝0，则h（x）在（0，x2）递减，在（x2，+∞）递增，故x2是h（x）的极小值点，故x2＝x1，由（Ⅰ）可知，当a＝1时，lnx+≥1，故h（x）＞h（x1）＝（1++alnx1）＞（1+a）＞0，即f（x）递增，由于H（x1）＝0，即1+﹣+alnx1＝0，即1+alnx1＝﹣，故f（x1）＝（1+alnx1）＝a＜0＝f（x0），又由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，+∞）递增，故x0＞x1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanαx，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝tanα•ρcosθ，即θ＝α．∵曲线M的参数方程为（φ为参数），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，∴曲线M的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（2）当α＝0时，直线l的直线坐标方程为x＝0，直线l与圆M相切，|OA|＝|OB|＝1，不成立；当时，|OA|+|OB|＝+＝2，∴当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围是（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）＝|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
长沙市2019年1月高三年级统一模拟考试 理科数学(解析版)
a1
,
a3是方程x
2
3
x
1
0的两根,
则
a1 a1a3
a3
1
3
,
而a2 1 a22 a1a3 1,
所以“a1 , a3是方程x2 3x 1 0的两根”是“a2 1”
的充分不必要条件
4. 下列函数中,图象关于原点对称且在定义域内单调递
增的是( )
是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，
若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相
等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满
足“幂势同”，则该不规则几何体的B体积为（ ）
A. 8 4
3
B. 8
11
C. 8 2
D. 4
2
3
2
该三视图表示的几何体是棱长
正视图
图象关于原点对称,
f ( x) cos x 1≤ 0, 所以f ( x)在定义域内单调递减, A错
选项B, f ( x) ln( x 1) ln( x 1), 定义域为{ x | x 1}, 定义域不关于原点对称, B错;
4. 下列函数中,图象关于原点对称且在定义域内单调递
N {x | x 2n 1, n Z}, 故M N
2. 在复平面内表示复数 m i 的点位于第一象限, 则实数 mi
m的取值范围是( D )
A. (, 1)
B. (,0)
C. (0, )
D. (1, )
m m
i i
(m i)2 (m i)(m
i)
m2 m2
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7．若函数 ，且 的最小值是 ，则 的单调递增区间是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
【详解】
，
因为 ， ，所以 的最小值为 ，
又 ，所以 ， .
故答案为1.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
15．已知 的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为_______。
【答案】32.
【解析】由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值，再利用赋值法求得所有项的系数和．
所以T= ， ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调增区间为
故选B.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．
8．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（）
19．已知椭圆 的离心率 ，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3
（1）求椭圆的方程；
（2）已知P为直角坐标平面内一定点，动直线l： 与椭圆交于A、B两点，当直线PA与直线PB的斜率均存在时，若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数，求出所有满足条件的定点P的坐标.
【答案】(1) .(2) 或 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.
【详解】
一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件 ， ，
由题意知， ， 相互独立，
且 ， ，
所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为 .
故选A.
【点睛】
BD＝ ．
（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，
在△ABD中，由正弦定理可知， .
18．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．
（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）求二面角P—AB一C的余弦值
故选A.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．
二、填空题
13．已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，则此双曲线的离心率为______________.
【答案】2.
【解析】根据离心率公式和渐近线方程，直接得到结果．
【详解】
由已知渐近线的斜率 ，则离心率 .
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷（一）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ，则A∩B＝（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．
【详解】
由已知得 ，
所以 ，
故选B.
【点睛】
本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
5．若非零向量 、 满足 ，则 在 方向上的投影为（）
A． B．8C． D．
【答案】A
【解析】先由数量积的运算律计算得到 ，再利用投影公式计算即可得出结果．
【详解】
由 得 ，
从而 在 方向上的投影为 ，故选A.
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．
6．形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（）
【详解】
因为 ，所以 ，
故选B.
【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
4．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）
A． B． C． D．
【答案】B
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用复数的运算法则求解z，再由模的计算公式即可得出．
【详解】
由题意得， ，
.
故选C.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．
∴ 平面 ，∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）法一：过 作 于 ，由于平面 平面 ，则 平面 ，
则 为直线 与圆 所在平面所成角，所以 .
过 作 于 ，连结 ，则 ，
故 为二面角 的平面角.
由已知 ， ，
在 中， ，
由 得 ，在 中， ，
故 ，故 ，
即二面角 的余弦值为 .
法二：过 作 于 ，则 平面 ，过 作 交 于 ，
【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】
正方体的面对角线长为 ，又水的体积是正方体体积的一半，
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
即最大水面高度为 ，故选B.
【点睛】
本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
【详解】
的展开式的通项公式为 ，
∴ 的展开式中含x2项的系数为 ＝ ，
即 ，
设 ，
令 得 .
故答案为32.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式及赋值法是解决此类问题的关键．
16．已知 的半衰期为 年（是指经过 年后, 的残余量占原始量的一半）.设 的原始量为 ,经过 年后的残余量为 ,残余量 与原始量 的关系如下: ,其中 表示经过的时间, 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 的残余量约占原始量的 .请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得 ， 数形结合可得结论．
【详解】
不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，
直线 与直线 的交点为 ，
直线 与 轴的交点为 ，
只需求出过p的直线经过可行域内的点A或B时的斜率，
， ，所以结合图象可得 或 ，
故选C.
【点睛】
【详解】
如图所示， ， 为等腰直角三角形，且 .
以顶点 为球心，以2为半径作一个球与 的 ， 分别交于 ， ，
得cos ， ，
所以 ，所以 ，
同理 ， ，
又 是以顶点 为圆心，以2为半径的圆周长的 ，所以 ，
所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于 .
故选B.
【点睛】
本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力．属于中档题．
以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，
从而 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 得 ，
令 ，从而 ，
而平面 的法向量为 ，
故 ，
即二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明，考查线面角、二面角的平面角的作法及求法，也考查了空间向量法的应用，考查了空间思维能力，属于中档题．
则方程 在区间 上有解
， 即 ，即方程 在区间 上有解，设函数 ，其导数 ，
又 ， 在 有唯一的极值点，
分析可得：当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故函数 有最小值 ，
又由 ， ，比较得 ，
故函数 有最大值 ，
故函数 在区间 上的值域为 ；
若方程 在区间 上有解，必有 ，则有 ，即 的取值范围是 .
【解析】（1）由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设 ， ， ，将 代入椭圆方程，利用韦达定理及斜率公式化简可得 ，与t无关，由此能求出存在满足条件的m，n的值．
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，且 .
由 ，解得 .
依题意， ，求得c=1， ， ，于是椭圆的方程为 .
本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，考查了简单的转化思想和数形结合的思想，属于基础题．
11．已知三棱锥 的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为 ，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出图，根据弧长公式求解
【答案】（1） ；（2）
【解析】试题分析：（1）第（1）问，在△ABD中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在△ABD中，写出正弦定理再化简即得解.
试题解析：
（1）由题意可知，AD＝1．
在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝2 ，AD＝1，由余弦定理可知，
BD2＝(2 )2＋12－2×2 ×1×(－ )＝19,
【考点】抛物线定义．
【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点 到圆 上的点的最小距离与其到直线 的距离相等，可转化为动点 到圆 上的点的最小距离与其到直线 的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．