一次函数的存在性问题共题
一次函数特殊三角形存在性
特殊三角形存在性知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．3.不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．②等腰直角三角形根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置．精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(-3，4)，P是x轴上的一个动点，则当△AOP是等腰三角形时，点P的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 落在AB 上的点D 处，折痕交x 轴于点E ． （1）求点D 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且43OB OA =．点C 在第一象限，是直线y =kx -4上的一个动点，当△AOC 的面积为6时，x 轴上是否存在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=x轴、y轴分别交于点A，B，点C在点A左侧，是x轴上一点，且满足AC=OA，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在第二象限内是否存在点P，使得△PAD是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，Q是直线x=3上的一个动点，y轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 知识点睛1.运动的结果2.坐标或表达式 精讲精练1.(5,0)，(-5,0)，(-6，0)，(256-，0)2.（1）(-3（2）存在 (，0)，(-6-0)， (0，0)，(-4，0)3.存在(8，0)，(-2，0)，(9，0)，(436，0)4.存在(7，4)，(3，7)，(72，72)5.存在3，3)，6，3+)，6.存在(0，1)，(0，3)，(0，4)。
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
第4章一次函数——存在性问题专训1 北师大版数学八年级上册
北师大版数学八年级上期第4章一次函数——存在性问题专训11.如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．（1）求对角线AC的长；（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S=S1-S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由．2.如图，直线l1的解析表达式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D.直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．(1)求点D的坐标；(2)求直线l2的解析表达式；(3)在直线l2上存在异于点C的另一个点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求P点的坐标．x与直线l2：y2=x+b交于点，直线l2与y轴交于3.如图，直线l1：y1=−12点B.（1）求m,b的值，并计算△AOB的面积.（2）在直线l2上，是否存在点P，使得△POB的面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标，请说明理由.4.如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是（4，0）．①求△CGF的面积；②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＞0），当点E 在x轴上运动时，当m=___________何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q 为顶点的三角形与△AOC全等？．5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=kx+b经过A（a，0），B（0，b）两点，且a、b满足（a-4）2+√b−2=0，过点B作BP∥x轴，交直线l2：y2=x于点P，连接PA．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在直线l2上是否存在一点Q，使得S△BPQ=S△BPA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点C（n，0）是x轴上的一个动点，点D是y轴上的一个动点，过点C作x 轴的垂线交直线l1、l2于点M、N，若△MND是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n的值．6.如图，直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，-4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG=AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．7.如图,在平面直角坐标系中,直线AC交y轴于点C（0,6），交直线0A于点A(4,2)，有一动点M在线段OA和线段AC上运动。
一次函数之矩形存在性问题
一次函数之矩形存在性问题问题背景研究一个一次函数$f(x)=kx+b$，其中$k$和$b$是常数。
现在有一个问题：对于任意$k$和$b$，是否存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上？问题解答我们可以分两步来回答这个问题。
首先，回忆一下函数图像中与$x$轴和$y$轴相交于整点的情形。
不难发现，$f(x)=kx+b$与$x$轴相交于$x=-\frac{b}{k}$，与$y$轴相交于$(0,b)$。
因此，只要存在一个解，满足$-\frac{b}{k}$和$0$都是整数，即可得到一条相交于四个整点的直线。
其次，我们来看如何确定这个直线是否与$f(x)$恰好有两个整点的交点。
由于$f(x)$是一次函数，在$x$增大的过程中，它的取值是连续变化的。
因此，如果$f(x)$在某个区间内恰好取到了两个整数，那么在这个区间内必然存在一个值$x_0$，使得$f(x_0)$就是这两个整数的平均值。
因此，我们只需要找到这样一个区间，使得这个区间的两个整数均落在$f(x)$上，即可得到一条与$f(x)$恰好有两个整点的相交点。
综上，我们可以得出结论：对于任意$k$和$b$，都存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上。
结论说明这个结论具有较强的普遍适用性。
首先，由于我们并没有对$k$和$b$的取值范围进行限制，因此这个结论适用于所有一次函数$f(x)=kx+b$的情况。
其次，由于我们利用了$f(x)$的连续性，因此这个结论也适用于所有连续函数的情况。
最后，由于我们没有涉及到任何特定的整点或整数的性质，因此这个结论也是普遍成立的。
参考文献无。
一次函数与等腰三角形的存在性问题训练
一次函数与等腰三角形的存在性问题训练
1 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否
存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2 已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B （0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF 为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3 如图，四边形OABC的顶点A（0，4），B（﹣2，4），C（﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．探究：当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合），在直线AB 上是否存在P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4 如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．。
2025年华师版八年级下册数学期末复习阶段拔尖专训6 一次函数中存在性问题
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
∴ ∠ = 90∘ .∴ ⊥ .
（3）若点是直线上的一个动点，在
轴上是否存在另一个点，使以，，
，为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点的坐标；若不存在，请
说明理由.
【解】存在.点的坐标为(−6,0)或(6,0)或(14,0).
5
2
+2
5
+
4
+ 1 = 6. ∴ =
4
.
5
4 8
5 5
∴ 点的坐标为( , ).
（3）如图②，若点为线段的
中点，点为直线上一点，点
为坐标系内一点，且以，，
，为顶点的四边形为矩形，请
直接写出所有符合条件的点的坐标.（提示：直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半）
1 9
∵ ∠ = ∠ = 90∘ ，
∴ △≌△. ∴ = ， = = 3.
设(, 0)(0 ≤ ≤ 6)，则
= = ，∴ ( + 3, −). ∵ 点在
直线上，∴ − =
1
(
2
+ 3) − 3，解得
= 1. ∴ (1,0).设直线的函数表达式为
标为(6,0)；当是平行四边形的对角线时，作(−6,0)关于
点的对称点，其坐标为(14,0)，易知点的坐标为(14,0).
综上所述，点的坐标为(−6,0)或(6,0)或(14,0).
题型2 一次函数与矩形的存在性问题
3.如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 = 2 + 4的图
象分别交轴，轴于，两点，将△绕点顺时针旋转
一次函数之存在性(直角三角形)(人教版)(含答案)
一次函数之存在性（直角三角形）（人教版）一、单选题(共3道，每道33分)1.如图，直线y=2x+4与坐标轴交于A，B两点，P为直线x=1上一动点，连接AP，BP．当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题目信息，分别以B，A作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B，点A为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标．2．解题过程由题意得，A（-2，0），B（0，4）．①当时，如图所示，．∵点的横坐标为1，∴．②当时，如图所示，，∴．综上得，点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性2.如图，直线交y轴于点A，且经过点B（4,1）．若P是y轴上的一动点，当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题意信息，点A，B轮流作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标；④审题需要注意，点P是y轴上的一动点，需要弄清目标．2．解题过程①若点Ａ充当直角顶点，即时，显然不成立；②若点Ｂ充当直角顶点，即时，过点B作⊥AB，交y轴于点，如图所示，则，∴．综上所述，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性3.如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C （0，2），P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．2．解题过程由题意，得A（-1，0），B（3，0），C（0，2），则，．设，则，PQ=-2m+4．①如图，当点Q为直角顶点时，PQ=RQ．，，由-2m+4=m，得，∴．②如图，当点P为直角顶点时，PQ=PR．，，由-2m+4=m，得，∴．③如图，当点R为直角顶点时，RP=RQ．过点R作RD⊥于点D，则，由，得m=1，∴．综上得，点R的坐标为．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性。
一次函数与三角形存在性问题
一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。
（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。
专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题(解析版)
专题04一次函数中的特殊平行四边形存在性问题类型一、菱形问题(1)如图1，请直接写出点A 的坐标，并求出直线AB 的解析式．(2)如图2，直线2y x b =+是线段AB 的垂直平分线，垂足为点D ，且交y 轴于点C ，连接BC 线CD 上的一动点，当点P 使得32ACP ACD S S =△△时，请求出符合条件的点P 坐标．(3)在（2）的条件下，若点P 在直线CD 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q ，使得以点P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2A ，122y x =-+(2)()3,3或者()3,9--(1)求A C 、两点坐标；(2)若点M 是直线CB 上一点，且(3)点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(1,0)A ，(3,0)C -∵(1,0),(0,3),(3,0),,A B C M m ⎛- ⎝∴1(3)4AC =--=，3OB =，MD ∴23ABC S = ，12ACM S AC MD = △∴(,3)F m ，BF m =，33MF =∵90ABC ∠=︒，∴90ABM ∠=︒，即ABM 是直角三角形，∴AB BP PQ AQ ===∴()1,2Q ；②如图所示，以AP 为对角线，四边形同理，AB BP PQ ==∴()1,2Q -；③如图所示，以AB 为对角线，四边形在Rt AOB △中，OA =∴根据菱形的性质可知，∵30ABO ∠=︒，∴30PAH QAH ∠=∠=∴AB BQ QP AP ====∴(0,3),(1,0)P Q --；综上所述，点P 是y 轴上的点，坐标平面内存在点为()1,2或()1,2-或21,⎛ ⎝∴存在，点Q 坐标为(1,(1)如图1，求点E 坐标和直线CE 的解析式；(2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设OP t =．①如图2，当点P 在线段OA （不包含端点A ，O ）上运动时，过点P 作直线l ∥y 的线段长为d ．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；∵OP t=，∴31,6,,43 G t t H t t ⎛⎫⎛-+-+ ⎪⎝⎭⎝∴136634d t t⎛⎫=-+--+=⎪⎝⎭②当CE 为对角线时，如图，∵四边形CPEG 是菱形，∴设CP PE n ==，则OP =在直角三角形O C P 中，根据勾股定理可得当CE 为边时，如图，∵四边形CEPG 是菱形，∴∵CG PE ∥，∴(10,6G 综上，点G 的坐标是25⎛【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活应用数形结合思想是解题的关键．类型二、矩形存在性问题(1)求直线BD的表达式；(2)求OFH的面积；(3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2833 y x =+(2)64 21(3)存在，N点坐标为208,93⎛⎫-⎪⎝⎭或104,3⎛⎫--⎪⎝⎭或84,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据旋转的性质求出D点坐标，根据矩形的性质求出B 析式即可；（2）分别求出80,,(4,2)3F E⎛⎫⎪⎝⎭，先确定直线OE的解析式，从而求出∵MF FD FO MD ⊥⊥，，∴90MFD ∠=°，FOM DOF ∠=∠(1)求A，B，C三点的坐标；(2)点D是折线B A C--上一动点．①如图（1），当点D是线段AB的中点时，在y轴上找一点E，使ED EB+最小；用直尺和圆规画出点位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标；点D 是AB 的中点，(0,6)A ，(6,0)B ，(3,3)D \，6,90OA OB AOB ==∠=︒ ，AOB ∴ 为等腰直角三角形，即BAO ∠=∠在BOF 与AOC 中，FBO CAO ∠=∠⎧类型三、正方形存在性问题(1)求点A ，点B 的坐标；(2)若AOC BCP S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点E 是直线54y x =上的一个动点，在平面内是否存在点F ，使四边形APEF 点E 的坐标；若不存在，请说明理由．99⎝⎭②当点P 在点E 的右侧时，如图同理可得AMP PNE ≌△△，∴6NE PM ==，NP AM =，即65684m n m n +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得：16m =，5204m =，【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．例2．如图，在平面直角坐标系中，直线（0k ≠）交于点P ，4OC OD OA ==(1)求直线CD 的解析式；(2)连接OP 、BC ，若直线AB 上存在一点Q ，使得(3)将直线CD 向下平移1个单位长度得到直线，直线角坐标系中，是否存在点M ，使以点O ，E ，N ，M 标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4y x =-+；∵3AC=，点P的坐标为∴12PQC P S AC y=⨯+△∴点N 的坐标为(0,3)，∴点M 的坐标为(3,3)；当3OE =作为矩形OEMN ∴点F 的坐标为3(,0)2，∵tan 11OEN ∠=-=，∴45OEN ∠=︒，∵ON NE ⊥，∴ONE ∆是等腰直角三角形，(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与存在点P ，使得A B P ''△是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，(1)求直线1l的解析式；(2)设2P m（，），求ABP的面积S (3)当ABP的面积为3时，则以点【答案】(1)114y x =-+(2)当12m>时，21S m=-；当m90CBF PBE CFB PEB BC BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CBF PBE AAS ≌（）．∴2BF CF PE EB ====．∴426OF OB BF =+=+=．∴62C （，）；如图3，PBC 是等腰直角三角形，∴PE CE =，∴22C （，-），∴以点B 为直角顶点作等腰直角BPC △，点C 的坐标是62（，）或22（，-）．当123m -=时，1m =-，可得21P （，-），同法可得32C （，）或52-（，）．综上所述，满足条件的点C 坐标为62（，）或22（，-）或（3，2）或52（，-）．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO 为直角三角形，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝3，点C 为OB 上一动点．∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，∴点B'在y轴上，∴点B'（0，-3），如图，由中心对称的性质可得：点B'的坐标综上所述：点B '的坐标()03-，或332⎛- ⎝，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．．如图，在平面直角坐标系中，直线y =与直线CD 交于点(),3A m ．(1)求直线AB 的解析式；(2)点E 是射线CD 上一动点，过点E 作EF y ∥轴，交直线平行四边形，请求出点E 的坐标；(3)设P 是射线CD 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵()0,3B -，()0,6C ∴直线PQ 的解析式是直线32y =，M 令362y x =-+=，解得92x =，∴点P 的坐标是93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点P 的坐标是(,6b b -+∵BC BP =，即()20b -解得：9b =或0b =(此时点∴点P 的坐标是()9,3-∴9PQ BC ==，设点P 的坐标是(,b b -+解得：922b =或b =-又∵9PQ =，∴点Q 的坐标是综上所述：点Q 的坐标为：【点睛】本题考查待定系数法求直线的解析式，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线【答案】（1）见解析；（2）点【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AD l ⊥，∴90ACB ADC ∠=∠=︒，∵ACE ADC CAD ∠=∠+∠，ACE ACB BCE ∠=∠+∠，∴CAD BCE ∠=∠，∵90ADC CEB ∠=∠=︒，AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌ ，∴AD CE =，CD BE =；（2）解：如图2，过点F 作FM y ⊥轴，垂足为M ，过点G 作GN x ⊥轴于点N ，交MF 的延长线于J ，∵()3,1G -，∴3ON =，1GN =，由已知可得OG GF =，且90OGF ∠=︒，∵FM y ⊥轴，GN x ⊥轴，∴90JMO MON JNO ∠=∠=∠=︒，∴四边形JMON 是矩形，∴90ONG FJG ∠=∠=︒，JM ON =，∴90FGJ OGN OGN GON ∠+∠=∠+∠=︒，∴FGJ GON ∠=∠，∵OG GF =，90ONG FJG ∠=∠=︒，∴()AAS GJF ONG ≌ ，∴3GJ ON ==，1JF GN ==，∴3JM ON ==，过点3P 作3P E x ⊥轴于点E ，由（1）知3P EN NOM ≌ ，∴33P E ON ==，1NE OM ==，∴314OE =+=，∴()343P ，，同理可得()42,3P -．综上所述点P 的坐标为()34，或()32-，或()41，或（()2,1--）．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y kx b b =+≠的图象经过(1,0)A -，(0,2)B ，D 三点，点D 在x 轴上方，点C 在x 轴正半轴上，且5OC OA =，连接，BC CD ，已知2ADC ABC S S =△△．(1)求直线AB 的表达式；(2)求点D 的坐标；(3)在线段AD CD ，上分别取点M ，N ，使得MN x ∥轴，在x 轴上取一点P ，连接MN NP MP ，，，是否存(1)求直线1l 的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得S (3)点M 为直线1l 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，交直角三角形，请直接写出满足条件的点M 的坐标．【答案】(1)26y x =-+；(2)点P 坐标为()5,2或()5,8；则||M MN x t ==，∴36t t -=，∴32t =或3t =，∴332,M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()3,0M ，综上所述，点M 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或()6,6-或⎛ ⎝。
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案).
3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (习题及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。
专题01 一次函数 压轴题(十大题型)(原卷版)
(1)OC 的长为______，OD 的长为______；(2)如图，点()1,M a -是线段CD 上一点，连接OM ，作ON 并判断MON △的形状；(3)如备用图，若点()1,E b 为直线AB 上的点，点P 为y 轴上的点，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时(1)求直线CD 的函数表达式和点D 的坐标；(2)点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．①若直线BP 将ACD 的面积分为7:9两部分，试求点②点P 是否存在某个位置，将BPD △沿着直线BP 翻折，使得点在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：取值范围问题(1)求点A 的坐标；(2)若点C 在第二象限，ACD ①求点C 的坐标；②直接写出不等式组4x kx +>③将CAD 沿x 轴平移，点C(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；(2)在点E 运动的过程中，若△DEF 的面积为5，求此时点(3)设点E 的坐标为（0，m ）；①用m 表示点F 的坐标；②在点E 运动的过程中，若△DEF 始终在△ABC 的内部（包括边界）题型3：最值问题5．已知一次函数()134502y kx k k =++≠．的坐标为(),a a ，求CM MP +的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:1l y x =+与x 轴交于点A ，直线2:33l y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点，过x 轴上动点(),0E t 作直线3l x ⊥轴分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．(1)①请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A ______，B ______，C ______．②若2PQ =，求t 的值；(2)如图2，若E 为线段AB 上动点，过点P 作直线PF PQ ⊥交直线2l 于点F ，求当t 为何值时，PQ PF -最大，并求这个最大值．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象交y 轴于点()0,1A -，交x 轴交于点B ，且2OB OC OA ==，过点C 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)点E 是线段CD 上一动点，直线BE 与y 轴交于点F ．①若BDF V 的面积为8，求点F 的坐标；②如图2，当点F 在y 轴正半轴上时，将直线BF 绕点B 顺时针旋转45︒后的直线与线段CD 交于点M ，连接FM ，若1OF MF =+，求线段MF 的长．备用图(1)求直线1l 的表达式；(2)过M 作y 轴的平行线，分别交直线1l ，直线2l 于点D ，E ，连接DE ，①当3m =时，求DE 的长；(1)求n 的值及直线2l 的表达式；(2)在直线2l 上是否存在点E ，使BO ABE A S S =△△若存在，则求出点(3)如图2，点P 为线段AD 上的一个动点，一动点H(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt BPM 直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长度是否发生变化？若不变，求出线段长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l ：10y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，PQCR的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，表是探究过程中的部分信息：x…2-1-01232y x=-…4a2-14(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称x=时，函数有最小值，最小值为B．当0x>时，y随x的增大而增大C．当0③若12x -≤≤，则y 的取值范围为【拓展提升】18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的数”．例如：对于函数12y x =和231y x =-，则函数1y ，2y 的“和函数”3y =(1)已知函数1y x =和2=y ①写出3y 的表达式，并求出当②函数1y ，2y 的图象如图①所示，则．．．．(2)已知函数4y x =和5y =，这两个函数的“和函数”记为6y ．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于。
08 专题八：一次函数与等腰三角形存在性问题(方法专题)
1、如图，以线段AB为半径，点A为圆心画弧，交直线l于点C1及C2，则△ABC2为（）。
A.直角三角形B.等腰三角形C。
等腰直角三角形D。
等边三角形答案：B。
2、如图，作线段AB垂直平分线，交直线l于点C，则△ABC为（）。
A.直角三角形B.等腰三角形C。
等腰直角三角形D。
等边三角形答案：B。
3、若△ABC为等腰三角形，则下列说法正确的是（）。
A．AB=AC B。
BA=BC C. CA=CB D。
上述说法都有可能答案：D。
专题导入一次函数与等腰三角形存在性问题若△ABC 是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：AB=AC ；BA=BC ；CA=CB ，然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题。
如图①，在直线l 上找一点C ，使得△ABC 为等腰二用形。
图①图②（1）若AB=AC ，以A 点为圆心，AB 为半径画弧，交直线l 于两点C 1，C 2； （2）若BA=BC ，以B 点为圆心，AB 为半径画弧，交直线l 于两点C 3，C 4； （3）若CA=CB ，作AB 的中垂线交直线l 于点C5. 上述寻找等腰三角形的方法简称“两圆一中垂”。
例1、如图，在直角坐标系中，已知A （2，2），B （-1，0），在x 轴上确定点P ，使△ABP 为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数共有（ ）A.1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】如图，若△ABP 为等腰三角形，则在x 轴上符合条件的点P 的个数共有4个.故选A。
专题精析解法点睛【举一反三】1、在平面直角坐标系中，点A B（3 3 C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A.1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。
解析：如图。
2、（2017.绍兴）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是_____________。
一次函数之等腰三角形存在性(一)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD的度数为( )问题2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠BOE的度数为( )问题3：如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )问题4：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )问题5：如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，点D在BC上，DE交AB于点F，若∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数为( )问题6：如图，EG∥AD，EG交AB于点F，交CA的延长线于点G，若∠B=20°，∠GFA=30°，则∠ADC的度数为( )问题7：已知：如图，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，则∠D的度数为( )问题8：如图，已知∠B=∠ADB，∠3=55°，∠2=20°，则∠1的度数为( )一次函数之等腰三角形存在性（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.在平面直角坐标系中，已知两个点A(3，0)，B(0，2)，在y轴上是否存在点p，使△ABP 为等腰三角形，若存在，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性2.在平面直角坐标系内，已知一次函数y=-x+6的图象与x、y轴分别交于A、B两点，点P 是直线AB上的一个动点，当△OAP为等腰三角形时，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点，若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性4.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是线段OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性5.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，若使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题是对等腰三角形存在性问题的训练，应用的存在性问题的处理框架，我们一起来小结一下吧！一次函数背景下的存在性问题，首先第一步是：研究背景图形，即把函数信息中的_____________转化到几何图形中.问题2：第二步是：分析不变特征，确定分类标准；具体分析过程是什么？。
最新一次函数--直角三角形存在性问题
一次函数--直角三角形存在性问题处理方法一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的几何意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的。
斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。
当时，两直线垂直。
两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.练习1、如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为。
2、如图，已知点A（0，1），B（4，3），P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为。
3、如图，一次函数(0)y kx b k=+≠的图像交坐标轴于A，B两点，其中A（-4,0）B（0,3），（1）求直线AB的解析式；（2）点C的坐标为（5,2m），连接AC，BC，若∠ACB=90o，则m的值为___________。
练习21. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB112y x=-+过A点，且与y轴交于D点．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=12x交于点A．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；。
一次函数的存在性问题(共13题)
一次函数之存在性问题【1】知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．几何图形一次函数坐标1.如图，直线2y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．（1）求点P 的坐标；（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值． （2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，OA =6，OB =12，点C 是直线y =2x 与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD=（1）求直线AB 的解析式及点C 的坐标；（2）求直线AD 的解析式；（3）P 是直线AD 上的一个动点，在平面内是否存在点Q ，使以O ，A ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0），P （x ，y ）是直线122y x =+上的一个动点（点P 不与点A 重合）．（1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为278，求出此时点P 的坐标；（3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x7.如图，一次函数y=+的函数图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，2），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-3 4x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求出点A，B，C 的坐标；（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=16 2x-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=12x交于点A．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B，C两点，且12 OCOB=.（1）求B点的坐标和k的值．（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）求点G的坐标；（2）求直线EF的解析式；13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15？（3）过点P作AB的垂线分别交x轴、y轴于点E，F，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数之存在性问题
一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1. 如图，直线y x =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC ，OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC =90°，∠BCO =45°，BC=，点C 的坐标为(-9，0)． （1）求点B 的坐标．（2）若直线BD 交y 轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式．（3）若点P 是（2）中直线BD 上的一个动点，是否存在点P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.5.如图，直线122y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278？求出此时点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
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(１）求B点的坐标和k的值．
(2)若点A（ｘ，y）是第一象限内的直线y=ｋｘ-１上的一个动点,则当点Ａ运动到什么位置时,△AOＢ的面积是2?
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POＡ是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
(2）求直线AD的解析式；
(３)Ｐ是直线AＤ上的一个动点,在平面 Nhomakorabea是否存在点Ｑ，使以O,Ａ,P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
4.如图，直线 与x轴、ｙ轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(－3，0）,P（x，y）是直线 上的一个动点（点P不与点Ａ重合）．
(1)在P点运动过程中，试写出△OＰC的面积S与x的函数关系式;
1１．如图,将Rt△ＡOB放入平面直角坐标系中,点O与坐标原点重合，点A在x轴上,点B在y轴上，OB＝ ,
∠BAO=30°，将△AOB沿直线BＥ折叠，使得边ＯB落在AB上，点O与点D重合.
（１）求直线BE的解析式;
（2)求点D的坐标；
（3)x轴上是否存在点Ｐ,使△PＡD是等腰三角形?若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由.
(3）在坐标轴上是否存在一点Q，使△ＱAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.
８.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ｘ+１与ｙ＝- x+３交于点A，分别交x轴于点B和点Ｃ，点D是直线AＣ上的一个动点．ﻫ（1）求出点A，B,Ｃ的坐标;ﻫ(2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E,D，O，A为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点E的坐标；如果不存在,请说明理由.
(1）求点P的坐标；
（2）坐标系内是否存在点M,使以点B，Ｐ,D，M为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
2.如图,直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B,C两点,且 .
(１)求B点的坐标和k的值．
(２）若点A(x，y)是第一象限内的直线y＝ｋx-4上的一个动点，则当点Ａ运动到什么位置时,△AOB的面积是6?
(2）在x轴上是否存在点P,使△PＡB为等腰三角形？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，一次函数ｙ＝ 的函数图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段ＡB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
(1）求△ＡBC的面积;
(2)如果在第二象限内有一点Ｐ（ｍ， )，试用含ｍ的代数式表示△APB的面积，并求当△ＡＰB与△AＢC面积相等时m的值;
（3）在(2)成立的情况下,ｘ轴上是否存在点P，使△PＯA是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．
3.如图,在平面直角坐标系中,点A，B分别在ｘ轴、y轴上,OA=6，OB=12，点C是直线ｙ=２x与直线AＢ的交点，点D在线段OC上,OD= ．
（1）求直线AB的解析式及点Ｃ的坐标;
9.如图，在平面直角坐标系中,直线l1:y= 分别与x轴、y轴交于点B,C，且与直线ｌ２:y= 交于点A．
（1)求出点A，B,C的坐标；
（2)若D是线段OA上的点，且△ＣOＤ的面积为１2,求直线CD的函数表达式；
（3）在(2）的条件下,设P是射线ＣD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O，C，P，Ｑ为顶点的四边形是菱形？若存在,直接写出点Ｑ的坐标；若不存在,请说明理由.
12.如图，四边形ＡＢCＤ为矩形，点D与坐标原点重合,点C在x轴上,点A在y轴上，点Ｂ的坐标是（３,4），矩形ＡBCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处，点E,F分别在AD,AB上,且F点的坐标是(2,4）．
（1）求点G的坐标;
（2）求直线EＦ的解析式；
（3)坐标系内是否存在点Ｍ，使以点A，Ｅ,F,M为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
一次函数的存在性问题(共题)
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一次函数之存在性问题
知识点睛
函数背景下研究存在性问题,先把函数信息转化为几何信息,然后按照存在性问题来处理．
1.如图,直线 与坐标轴分别交于A，B两点,点C在ｙ轴上,且 ，直线CD⊥ＡＢ于点P，交x轴于点Ｄ．
(2)当P运动到什么位置时,△OPＣ的面积为 ，求出此时点Ｐ的坐标；
（3)过P作ＡB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA?若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
6.如图，在直角坐标系中，一次函数ｙ＝ 的图象与x轴交于点A,与ｙ轴交于点B.
(1)已知ＯC⊥AＢ于Ｃ,求C点坐标;
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+8与x轴、y轴分别交于点A,Ｂ,点P（x,y）是直线AＢ上一动点（点Ｐ不与点Ａ重合），点Ｃ(6，０)，O是坐标原点,设△ＰCO的面积为S．
(1)求S与ｘ的函数关系式．
（2)当点P运动到什么位置时，△PＣO的面积为15？
(3)过点P作AB的垂线分别交ｘ轴、y轴于点E,Ｆ，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BＯA？若存在,求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由.