动力学习题-第九章

第九章
动量矩定理及其应用习题
9-2 9-4 9-5 9-14
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9-2 题
已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为R、r， 对O轴的转动惯量为JO，物块A、B的质量分别为mA和mB，试求系统 对O轴的动量矩。
解：
物块A、B的速度分别为： vA = Rω
J1r 2 + J2R2 + mR2r 2
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9-5 题
如图所示，电动绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作 用一力偶矩为M的主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两 轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J1和 J2，传动比r2:r1=i，吊索缠绕在半径为R的鼓轮上，轴承的摩擦和吊 索的质量忽略不计。求重物的加速度。
解：分别以轮1和轮2为研究对象。
对轮1： J1α1=M−Fr1 对轮2： (J2+mR2)α2=F'r2 − mgR 因 r1α1=r2α2，α1=iα2，F=F'，代入上两式：
a2 = Mi − mgR J2 + MR2 + J1i2
α1
J1 F r F2 R ' α2 N J2 FN F' r2 J2 R m mg
杆的受力情况如图所示，P为杆的瞬 心，PC=l/2，有
θ
mg
1 2 1 1 2 JP = ml + m l = ml 12 2 3 l JPα = ∑MP (F) = mg ⋅ sin θ 2 1 2 l ml α = mg ⋅ sin θ 3 2 3g ∴ α = sin θ 2l
4
r1
M
解出重物的加速度：
a = Rα2 =
α2
(Mi − mgR)R
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J2 + mR2 + J1i2
9-14 题
长为l的匀质细杆AB质量为m，杆在图示位置由静止开始运 动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。
解：
α
P C A FA B FB
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2
(
)
9-4 题
卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C半径分别为R 和r，对自身转轴的转动惯量分别为J1和J2。被提升重物A的质量为 m，作用于轮C的主动转矩为M，求重物A的加速度。
解：分别以轮C和轮B及重物A为研究对象。
对轮C： 对轮B及重物A： J2αC=M−FTr (J1+mR2)αB=FT'R
R
αB
B FT' a FT M r C mg
− mgR
因 FT'=FT，a=rαC=RαB，代入上两式：
F = T M − J2αC Mr − J2a = r r2 J1 + mR2 αB J1 + mR2 a ' F = + mg = + mg T 2 R R
A
αC
(
)
(
)
解出：
a=
(M − mgr)rR2
vB = rω
ω
O r
R vB B
物块A、B对O轴的动量矩分别为：
LOA = mA ⋅ vA ⋅ R = mAR2ω LOB = mB ⋅ vB ⋅ r = mBr2ω
A vA
θ
系统对O轴的动量矩为：
LO = LOA + LOB + JOω = mAR2 + mBr 2 + JO ω
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