三四五章习题解答

第三章习题解答
思考题
1.
（a）仅当稀疏矩阵时病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失 败。×
（b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 ×
（c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 ×
（d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 × （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。√
n=10 2 nonuniform interval uniform interval 1.5
1
0.5
0
-0.5 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline”作f（x）的样 条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。
3
P2 ( x) yk lk ( x)
k 1
代入x=0，
根据定理4.1
P 2 (0) 0.1406
Rn ( x)
f ( ) n1 ( x) (n 1)!
( n 1)
R2 (0)


5 2
16
3 (0)
P2 (0) R2 (0)
5.（a）求 f ( x) x 在节点
l1 ( x)
l2 ( x)
( x 0.15)( x 0.2) (0.1 0.15)(0.1 0.2)
( x 0.1)( x 0.2) (0.15 0.1)(0.15 0.2)
l3 ( x)
( x 0.1)( x 0.15) (0.2 0.1)(0.2 0.15)
证明：求解以 A 1 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而GaussSeidel方法是发散的；求解以 A2 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代 收敛，而Jacobi方法是发散的。 解答：
A1 ：Jacobi迭代
0 2 2 B I D 1 A 1 0 1 2 2 0
解答：
（a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi
（c）Gauss-Seidel
（d）否
习题
2 1 1 2 1 4.考虑矩阵 A 1 2 1 1 2
，试求A的Cholesky分解。
解答： 方法1： Matlab运行
R= 1.4142 0 0 0
1 2 0 1 2
1 2 1 0
( B)
5 1 2
Gauss-seidel迭代
1 0 2 1 M ( D L) 1U 0 2 0 0
1 2 1 2 1 2
2 (M ) 1 2
R=chol（A）
0 -0.8165 1.1547 0 0 0wenku.baidu.com-0.8660 1.1180
-0.7071 1.2247 0 0
方法2： 利用Cholesky定义求解
6.矩阵
1 2 2 2 1 1 , A 2 2 2 A1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
4 M 2 9 32 M3 9 4 M 4 3
插值比较程序 close all; clear all; clc; x=[-.2 -.5 0 .5 .2]; y=abs(x); x0=-.2:0.01:.2; y0_sp=interp1(x,y,x0,'spline'); figure plot(x0,y0_sp,'b') hold on y0_la=polyinterp(x,y,x0); plot(x0,y0_la,'r')
（f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。√
（g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 × （h）奇异矩阵的范数一定为零。 ×
（i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。√
（j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。√
2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有 什么优点？ 解答： 区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为 主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。
矩阵的条件数定义为 cond ( A) A A1 当我们选取
A2
max ( AT A) cond ( A) 2 min ( AT A)
因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。
8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比
（a）它们的基本差别是什么 （b）哪种方法更适合并行运算 （c）哪种方法更节省存储空间 （d）Jacobi方法是否总是更快
x1 2, x2 0.5, x3 0, x4 1.5, x5 2
上的三次自然样条插值（即
M1 M5 0
）。
（b）用同样的数据做Lagrange插值。
将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来， 比较它们的结果。 解答：
h2 1.5, h3 0.5, h4 1.5, h5 0.5
（b）根据迭代收敛条件
1 a 1 2
( B) 1
(B) 2 a 1
1 1 a 2 2
实验题
4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，
H (hi , j )nn , hi , j 1 , i, j 1, 2,...n i j 1
close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1 x(k)=cos((2*k-1)*pi/2/(n+1)); end y=1./(1+25*x.^2); x0=-1:0.1:1; y0=interp1(x,y,x0,'spline'); plot(x0,y0,'r')
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1 n=10 n=30 n=90
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.仍然考虑实验1中的著名问题。下面的Matlab程序给出了该函数的二次和三 次拟合多项式。
x=-1:0.2:1; y=1./(1+25*x.^2); xx=-1:0.02:1; p2=polyfit(x,y,2); yy=polyval(p2,xx); plot(x,y,'o',xx,yy); xlabel('x'); ylabel('y'); hold on p3=polyfit(x,y,3); yy=polyval(p3,xx); plot(x,y,'o',xx,yy); hold off
( B) 0 1
Gauss-Seidel迭代
0 2 2 M ( D L) 1U 0 2 1 0 0 2
(M ) 2 1
A2 矩阵：Jacobi迭代
0 B I D 1 A 1 1 2
（d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 √
习题
3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计算 f ( x) x 的二次Lagrange插值多 项式 P2 ( x) ，比较 P2 (0) 和 f (0) ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。 解答： 首先构造二次Lagrange插值多项式
y1 0.1, y2 0.15, y3 0.2
习题
2.确定下列数值几分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。 （a）


h
h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f ( x)
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f ( x)
（b） 解答：
2h
2 h
（a）
A1 A0 A1 2h A1h A1h 0 2 A1h 2 A1h 2 h3 3
f ( x) 1 , x [1,1] 2 1 25 x
的非等距节点Lagrange插值。区间[a,b]上的Chebyshev定义为
xk ba ba (2k 1) cos( ), k 1, 2,...n 1 2 2 2(n 1)
以 x1, x2 ,..., xn1 为插值节点构造函数f（x）的Lagrange插值多项式，重做 “交互实验”步骤，比较其结果。
结果： x_lu =[4.3556 -1.1620 -1.0264 ]’ 说明Hilbert矩阵为病态矩阵
第四章 思考题 1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数 目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。× （b）对给定那个的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得 到的样条函数越接近被逼近的函数。√ （c）高次的Lagrange插值多项式很常用。×
0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.2 spline interpolation Lagrange interpolation
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
实验题 1.考虑本章“交互实验”中讨论的著名问题
适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用 Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？ 解答： A=hilb(3); x=[1 2 3]'; b=A*x; [L U P]=lu(A); x_lu=U\L\(P*b); %产生三阶Hilbert矩阵 %假设解向量为x %确定等式右端 %矩阵lu分解 %根据lu分解求解x
优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。
4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？
（a）矩阵的行列式小； （b）矩阵的范数小； （d）矩阵的条件数小 （e）矩阵的条件数大
（c）矩阵的范数大；
解答： （e）矩阵的条件数大
（f）矩阵的元素小
矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值 的模，那么这个矩阵就接近奇异。
b [0 2 0]T
h2 h3 3 h A 3 6 0 h3 6 h3 h4 3 h4 6 2 1 3 12 h4 1 2 12 3 6 h4 h5 1 0 4 3 0 0 1 4 2 3
close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1 x(k)=cos((2*k-1)*pi/2/(n+1)); end y=1./(1+25*x.^2); x0=-1:0.1:1; y0=polyinterp(x,y,x0); figure plot(x0,y0,'r') x1=linspace(-1,1,n+1); y1=1./(1+25*x1.^2); y1_u=polyinterp(x1,y1,x0); hold on plot(x0,y1_u,'b')
7.矩阵
1 A a a
a 1 a
a a 1
（a）参数a取什么值时，矩阵时正定的。 （b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。 解答： （a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵
1 a2 0 2 ( a 1) (2a 1) 0
1.2
1
0.8
0.6
y
0.4 0.2 0 -0.2 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
第五章
思考题 1.（a）如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在。 × （b）积分的计算总是好条件问题。× （c）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。× （d）梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比会更加精确。×