2013年迎春杯数学五年级初赛真题及答案

2013“数学解题能力展示”读者评选活动 笔试试题
小学五年级（2012 年 12 月 22 日）
一、填空题（每小题8分，共24分） 1．算式 999999999 88888888 7777777 666666 55555 4444 333 22 1 的计算结果的各位数字之和是
___________．
发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为 A 、 B 、 C 、 D 、 E （有两个字母表示的数是相同的）．若 ABCDE 恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．
8．由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是__________．
【考点】数阵图
4/8
【难度】☆☆☆☆ 【答案】150 【解析】首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻的空白空格必须为1，
以此类推，第二行第一个5也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图形．相加求和为150．
111 222 2 5 31 2 34 4 5 31 2 33 4 5 3 11 1 3 4 5 3 3 3 13 4 5 5 53 33 4 4 4 44 4 4 4
③ A xy ， B x ， C xy2 ，则 xy x xy2 79 ，无解．
④
A
xy
，
B
x2
，C
y2
，则
xy
x2
y2
79 ,解得：
x
y
3 7
11．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除 以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完 全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是__________．
2/8
2013“数学解题能力展示”读者评选活动 笔试试题
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3．把 1～8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所 写的数的平均数．如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处 所写的数中，有___________个不是整数．
【考点】奇偶性 【难度】☆☆ 【答案】4 【解析】奇偶性问题1～8八个数4奇4偶，上下两组各4个数同时满足相邻和为偶数，唯一情况为上下另组数
2．如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是___________．
× 0 3
2
1
【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】160 【解析】首先判断出第一，第二，第三，第四排第一个数均为1（如图1）
1
×
1
10
1
1
3
2
1
1A3
×
17
10
1
1
3
2
1
进而求出两个乘数的末尾数字（如图2），这时经测试发现A可取4和5，由题意要求最小则两个乘 数分别为143和17，求和得160．
6．甲、乙两人从 A 地步行去 B 地，乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，也是匀速步行．甲
的速度是乙的速度的2．5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时，那么甲出发后经过________分钟才
能追上乙．
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【答案】330
【解析】有休息间隔的追及问题和工程问题，直接用平均的速度进行计算容易产生错误．此题可列表解决，
小学五年级参考答案
1
2
3
4
5
45
160
4
24
150
6
7
8
9
10
11
330
3
127
141
441
2601
部分解析
一、填空题（每小题8分，共24分） 1．算式 999999999 88888888 7777777 666666 55555 4444 333 22 1 的计算结果的各位数字之和是
的面积是___________．
A
D
【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】24 【解析】等腰直角三角形，面积等于斜边高的平方．
A
D E
C
B
C
B
过 C 点做斜边 AB 的垂线，交 AB 于点 E ，由于 BD AD 2 得到 DE 1 根据勾股定理， CE2 CD2 DE2 52 12 24 所以 S ABC 24 5．如图， 7 7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必 须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是___________．
6/8
O
A
K
P
B Q
F
N R
E
CMD
由正六边形的性质，我们可知 SABCM
SCDEN
SEFAK
1 六边形面积 3
根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，
AKP ， CMQ ， ENR 三个三角形是一样的，有 KP RN ， AP ER ， RP PQ ， AK 1 ，则 OK 3
___________． 【考点】计算 【难度】☆☆ 【答案】45 【解析】方法一：多位数计算，算出结果918273645，求得各位数字和为45．
方法二：由于计算过程没有产生进位或借位，故结果的数字和是 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 11 45
5.5 60=330 （分钟）
三、填空题（每小题15分，共60分） 7．五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，
发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为 A 、 B 、 C 、 D 、 E （有两个字母表示的数是相同的）．若 ABCDE 恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局． 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】3 【解析】体育比赛得分问题，首先算出比赛一共10场，总分在20到30分之间．
五位数 ABCDE 是15的倍数，利用整除性可知， E 可为0或者5，考虑到 E 最小，如果 E 5 ，总分 最小为 8+7+6+5+5=31 分，不成立，所以 E=0 ，即第五名4场全负积0分．
5/8
第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况 为30，27，24．对三种情况分别讨论： （1）总分30分： 即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所 以总分30分情况不存在． （2）总分27分： 经测试，存在 9+8+5+5=27 ，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负， 所以此为一解，比赛3场平局． （3）总分24分： 在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同． 所以总分24分情况不存在． 综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．
9．如图，正六边形 ABCDEF 的面积为1222， K 、 M 、 N 分别 AB 、CD 、 EF 的中点，那么三角形 PQR 的 面积是___________．
A
F
K
P
N
R
B
E
Q
CMD
10．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中有3个约数 A 、 B 、 C 满足： ① A B C 79 ② A A BC 那么，这个自然数是___________．
【考点】数论 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】441 【解析】一个自然数 N 恰有9个互不相同的约数，则可得 N x2 y2 ，或者 N x8 ，
（1）当 N x8 ，则九个约数分别是：1, x, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ，其中有3个约数 A 、B 、 C 且满足 A A B C ，不可能． （2）当 N x2 y2 ，则九个约数分别是：1, x, y, x2 , xy, y2 , x2 y, xy2 , x2 y2 ，其中有3 个约数 A 、 B 、 C 且满足 A A B C ， ① A x ， B 1 ， C x2 ，则 x 1 x2 79 ，无解． ② A xy ， B 1 ， C x2 y2 ，则 xy 1 x2 y2 79 ，无解．
分别同奇同偶．即上面4个为奇数，下面4个为偶数或者上面4个为偶数，下面4个为奇数．所以上 下4组数和都是奇数，即它们的平均数都不是整数．所以有4个不是整数．
二、填空题（每小题12分，共36分） 4．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有一点 D ．已知 CD=5 ，BD 比 AD 长２，那么三角形 ABC
化简得 (b a 1) (b a 1) 2013
再考虑这个梯形上底长： a ；下底长 b 1；腰为： b a 1 ；则周长可列为： 3b a 3 由于 2013=311 61，考虑到要想周长最小，即 b 尽量大， a 尽量小 取 b a 1 61 ， b a 1 33 ，得 a 14 ， b 46 ．带入得最小周长 3b a 3 127 ．
假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下：
时间
甲（米） 乙（米） 时间
甲（米） 乙（米）
0小时
0
4
3小时
7．5
10
0．5小时 2．5
5
3．5小时 10
11
1小时
2．5
6
4小时
10
12
1．5小时 5
7
4．5小时 12．5
13
2小时
5
8
5小时
12．5
14
2．5小时 7．5
9
5．5小时 15
15
观察得5．5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间）
二、填空题（每小题12分，共36分） 4．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有一点 D ．已知 CD=5 ，BD 比 AD 长２，那么三角形 ABC
的面积是___________．
A
D
C
B
5．如图， 7 7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必 须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是___________．
EN 3 ， KP 3 ，由鸟头定理可知道 3 KP AP RP PQ EO 4 AP 4
综上可得： PR
2KP
3 RE 2
，那么由三角形
AEK
是六边形面积的
1 6
，且 SAPK
1 1 2
4
SAKE
，
3
SAPK
1 26
S
ABCDEF
47 ，所以阴影面积为 47 3=141
10．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中有3个约数 A 、 B 、 C 满足： ① A B C 79 ② A A BC 那么，这个自然数是___________．
1/8
6．甲、乙两人从 A 地步行去 B 地，乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，也是匀速步行．甲 的速度是乙的速度的2．5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时，那么甲出发后经过________分钟才 能追上乙．
三、填空题（每小题15分，共60分） 7．五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，
2．如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是___________．
× 0 3
2
1
3．把 1～8 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所 写的数的平均数．如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处 所写的数中，有___________个不是整数．
8．由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是__________． 【考点】几何 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】127 【解析】正三角形组成两种四边形，平行四边形和梯形．
平行四边形要求偶数个三角形，而此题为2013个正三角形，所以一定构成梯形． 那么在构造的梯形中，相邻层数间都差2个三角形，且都是奇数个，则可以构造一个梯形： 第一次层有： 2a 1 个三角形；最后一层有 2b 1 个三角形，则有层数为 b a 1 层． 利用等差数列求和公式得： (2a 1 2b 1) (b a 1) 2 2013
9．如图，正六边形 ABCDEF 的面积为1222， K 、 M 、 N 分别 AB 、CD 、 EF 的中点，那么三角形 PQR 的 面积是___________．
R
B
E
Q
【考点】几何 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】141 【解析】如图延长 BA 和 EF 交于点 O ，并连接 AE ，
CMD