必修一数学抽象函数习题精选含答案15
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抽象函数单调性和奇偶性
1. 抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么
f x ()在区间[]--73，上是( )
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x)
在(,0)-∞上为增函数。若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 .
二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=
1
)(1
)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数.
解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。 故g(x 1) > g(x 2) >0。 g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0，
⇒
1)(22+x g >1)(2
1+x g >0
⇒
1)(22+x g -1
)(2
1+x g >0。
f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1
)(2
2+x g )
=
1)(22+x g -1
)(21+x g >0。可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的
增函数。
例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01< 证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。且f ()00≠，令x y ==0， 得f ()01=， 现设x >0，则- >f x f x ()() 1 1 ∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<- 例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。 分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11，故f x ()是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。 解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<-<⎧⎨⎩121 141 2 a a 得35< 2 342041021)4() 4()2(2222<<⎪⎩⎪ ⎨⎧->-<-<-<-<-⇔-=-<-a a a a a a f a f a f 解之得，