新高一数学衔接讲义讲义系列一(1)
2020新版-上海-高一数学同步讲义-1.1集合的意义_集合的运算_交集及其运算_B_1
上海-高一数学同步讲义（2020新版）1.1集合的意义集合的运算-交集及其运算-B-1●十年一线教学经验沉淀●每年同步更新●优选全国题目，只为更好地贴合沪教版●四级大纲，按知识点按题型纵横编排●难度A-E五档覆盖不同层次学生●补差、培优、自招全体系覆盖●充分冗余，保证题型全面、保证题量充裕详尽答案、解析、word请联系作者1.1集合的意义-集合的运算-交集及其运算-B-11.设A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|a≤x≤a+1}，A∩B＝B，则a的取值范围是．2.若集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若A∩B＝B，则m＝．3.定义集合M与N的新运算如下：M*N＝{x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．若M＝{0，2，4，6，8，10，12}，N＝{0，3，6，9，12，15}，则（M*N）*M＝．4.已知集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，B＝{x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．5.已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0}，（Ⅰ）是否存在实数a，使B＝{﹣2}？（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．6.已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜1}．（Ⅰ）若 ，求A∩B；（Ⅱ）若集合A不是空集，且A∩B＝∅，求实数a的取值范围．7.已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B．（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．8.已知集合A＝{a2，a+1，﹣3}，B＝{a﹣3，2a+1，a2+3}，若A∩B＝{﹣3}，求实数a的值．(Wx:znufewangyang）9.已知A＝{x∈R|x2+2x+p＝0}且A∩{x∈R|x＞0}＝∅，求实数p的取值范围．10.设集合A＝{（x，y）|y＝x2+4x+6}，B＝{（x，y）|y＝2x+a}，问：（1）a为何值时，集合A∩B有两个元素；（2）a为何值时，集合A∩B至多有一个元素．11.已知集合A＝{x|}，B＝{x|p+1≤x＜2p﹣1}，A∩B＝B，求实数p的取值范围．12.已知两个不同集合A＝{1，3，a2﹣a+3}，B＝{1，5，a2+2a}，A∩B＝{1，3}，求a的值及集合A．(Wx:znufewangyang）13.已知集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}（1）当A＝B时，求实数a的值；（2）当A∩C＝∅，但A∩B≠∅时，求实数a的值．14.已知集合A＝{x|x2+2x+p＝0}，B＝{y|y＝x2，x≠0}，若A∩B＝∅，求实数p的取值范围．15.已知集合A＝{x|x2+px﹣3＝0}，集合B＝{x|x2﹣qx﹣p＝0|}，且A∩B＝{﹣1}，求2p+q的值．(Wx:znufewangyang）16.设集合P＝{x|﹣2≤x≤3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}（1）若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围；（2）若P∩Q＝{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围．。
高一数学讲义1
高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。
典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。
（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。
典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。
（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。
典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
新高一数学衔接讲义讲义系列一
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（）
（A）１（B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
【内容概述】
1、当 时，
函数 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．
2、当 时，
函数 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
（9）计算 等于（）
（A） （B） （C） （D）
（10）若 ，则 的值为()
A． B． C． D．
2．化简：(1) (2)
3．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
（4） (5) (6)
第2讲一元二次函数与二次不等式
教学目标
1、能熟练掌握二次函数的图像，能够根据解析式快速画出函数的图像
2、理解并掌握二次函数的三种表达式
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1讲义一： 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝；∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)2、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n|n=2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x|x=2k,k ∈N,k ≤3｝；（3）、3A =｛x|x=4k ＋1,或x=4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
2020新版-上海-高一数学同步讲义-1.1集合的意义-E-1.docx
元素的个数最多是
．
24. 对于给定的正整数 n，Sn＝{（x1，x2，x3，…，xn）|xi∈{0，1}，i∈N*，i≤n}．对于 X ＝（x1，x2，x3，…，xn），Y＝（y1，y2，y3，…，yn），有： （1）当且仅当（x1﹣y1）2+（x2﹣y2）2+（x3﹣y3）2+…+（xn﹣yn）2＝0，称 X＝Y． （2）定义 X•Y＝x1y1+x2y2+x3y3+..…+xnyn． （Ⅰ）当 n＝3 时，X＝（1，1，0），请直接写出所有的 Y∈S3，满足 X•Y＝1． （Ⅱ）若非空集合 A⊆Sn，且满足对于任意的 X，Y∈A，X≠Y，均有 X•Y＝0，求集合
，则：
（1）{a1，a3}是 E 的第几个子集？ （2）求 E 的第 211 个子集．
16. 设 P 是一个数集，且至少含有三个数，若对任意 a，b∈P（a≠b）都有 a+b，a﹣b、ab、
∈ （除数 b≠0 ），则称 P 是一个数域．
例如：有理数集 Q 是数域，实数集 R 也是数域． （1）求证：整数集 Z 不是数域； （2）求证：数域必含有 0，1 两个数； （3）若有理数集 Q⊆M，那么数集 M 是否一定为数域？说明理由． 17. 已知集合 A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于 A 的一个子集 S，若存在不大于 n 的正 整数 m，使得对于 S 中的任意一对元素 s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称 S 具有性质 P． （Ⅰ）当 n＝10 时，试判断集合 B＝{x∈A|x＞9}和 C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具 有性质 P？并说明理由． （Ⅱ）若 n＝1000 时 ①若集合 S 具有性质 P，那么集合 T＝{2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质 P？并说明 理由； ②若集合 S 具有性质 P，求集合 S 中元素个数的最大值． 18. 已知集合 A＝{1，2，3，…，2n（n∈N*）}．对于 A 的一个子集 S，若存在不大于 n 的 正整数 m，使得对于 S 中的任意一对元素 s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称 S 具有性质 P． （Ⅰ）当 n＝10 时，试判断集合 B＝{x∈A|x＞9}和 C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具 有性质 P？并说明理由． （Ⅱ）若集合 S 具有性质 P，试判断集合 T＝{（2n+1）﹣x|x∈S）}是否一定具有性 质 P？并说明理由．
新教材 初升高数学衔接讲义【最新】
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
通俗理解为：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（3）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作Aa ∈（4）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR1N；1.5N；2Z ；二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例：（1）、由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为（2）、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合，可以表示为（3）、所有正奇数组成的集合：2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．格式：{x ∈A|P （x ）}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素，()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。
例：（1）大于1的数组成的集合可以表示为：（2）小于3的自然数组成的集合可以表示为：（3）直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为：（4）所有直角三角形的集合可以表示为：（5）函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为：（6）函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为：（7）奇数集我们可以记为．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{全体直角三角形}；{大于104的所有实数}；{大于104的实数集}3、图示法：①数轴表示，例如，不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<，可以表示为②坐标平面表示法（用点和图形来表示）③用韦恩图（Venn 图）表示：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
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3. 设 S 是实数集 R 的真子集，且满足下列两个条件：①1 不属于 S；②若 a∈S，则 ∈ ，
问：（Ⅰ）若 2∈S，则 S 中一定还有哪两个数？
（Ⅱ）集合 S 中能否只有一个元素？说明理由．
4. 设 S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1，2，3，…，50}，且 S 中任意两数之和不能被 7 整除，则 n
B 、 C 所有可能的情况有
种．
17. 设集合 A R ，如果 x0 R 满足：对任意 a 0 ，都存在 x A ，使得 0 | x x0 | a ，
那 么 称 x0 为 集 合 A 的 一 个 聚 点 ， 则 在 下 列 集 合 中 ： ① {x Z | x 0} ； ②
{x R | x 0} ；③{x | x 1 ， n N*} ；④{x | x n ， n N*}
为 P 的“好集”． （1）当 n 7 时，试判断 A {1 ，3，5，7} 和 A {3 ，4，5，6，7} 是否是 P
的“好集”，并说明理由；
（2）当 n 2017 时，若 A 是 P 的“好集”，求 | A | 的最大值．
21. 设
都是{x|0≤x≤1}的子集，如果 b﹣
a 叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，则集合 M∩N 的长度的最小值是（ ）
C⊆B，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．2≤a≤3
D．﹣1≤a≤3
25. 设集合 A＝{x|﹣1≤x≤a}，P＝{y|y＝x+1，x∈A}，Q＝{y|y＝x2，x∈A}， （1）若 Q∩P＝Q，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a，使得 P＝Q？并说明理由．
26. 已知 A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a12，a22，a32，a42}，其中 a1＜a2＜a3＜a4， a1，a2，a3，a4∈N*，若 A∩B＝{a1，a4}，a1+a4＝10，且 A∪B 所有元素和为 124，求集合 A 和 B．
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数不等式恒成立与能成立(解析版)
专题拓展：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x 2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x 3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x 4、∃∈x D ，()()min≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <．2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ,()[],,y g x x c d =∈的值域为B,（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆；（2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；考点一：单变量不等式恒成立例1．（23-24高一上·广东湛江·月考）若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．52-D ．12-【答案】D【解析】若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦成立，则max (1)a x ≥-+，当12x =时，1x -+取最大值12-，故12a ≥-，故a 的最小值是12-.故选：D ．【变式1-1】（23-24高一上·河南·月考）若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,+∞C ．(],5-∞D ．(),5-∞【答案】C【解析】不等式()2310x a x +-+≥可化为，231x x a x++≥，令()231x x f x x++=，由题意可得()min a f x ≤，()1335f x x x =++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，()min 5a f x ≤=，所以实数a 的取值范围为(],5-∞.故选：C.【变式1-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知函数()()lg 31kf x x =+，若不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为033x <<，所以131100x <+<，所以()20lg 31x <+<，由()1f x <，得()1lg 31kx <+，即()lg 311k x <+，因为不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，所以()min lg 311k x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣<+⎦，()0,33x ∈即可.由()20lg 31x <+<，得()21g 31l 1x >+，即12k ≤，所以k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e x f x g x +=，且()2e 0x f x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(2e ,0-⎤-⎦【解析】因为()()e xf xg x +=，①得()()e xf xg x --+-=，又()f x 和()g x 分别为偶函数和奇函数，所以()()e xf xg x --=，②由①②相加得()2e e x xf x -=+，又()2e 0xf x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立即e 0x m --<≤在[]1,2x ∈上恒成立，设()e xh x -=-，则只需()max m h x >，易知()h x 在[]1,2上为增函数，()()2max 2e h x h -==-，所以2e 0m --<≤，故答案为：(2e ,0-⎤-⎦.考点二：单变量不等式能成立例2.（23-24高一上·重庆·期末）已知函数()22f x x x =-，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()23f x a a≤+成立，则实数a 的取值范围为.【答案】][(),30,∞∞--⋃+【解析】因为函数()22f x x x =-的对称轴为1x =，所以当[]24x ,∈时，该二次函数单调递增，所以()()min 20f x f ==，因为存在[]24x ,∈，使得不等式()23f x a a ≤+成立，所以有2300a a a +≥⇒≥，或3a ≤-，因此实数a 的取值范围为][(),30,∞∞--⋃+，故答案为：][(),30,∞∞--⋃+【变式2-1】（22-23高一上·四川南充·月考）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(][),34,-∞-⋃+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->，所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++--812≥+=，当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，所以只要()2min f x a a ≤-，即212a a ≤-，得3a ≤-或4a ≥，所以a 的取值范围为(][),34,-∞-⋃+∞.【变式2-2】（22-23高一上·山东枣庄·月考）设函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(][),12,-∞-⋃+∞【解析】因为函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在[]1,3为增函数，所以min ()(1)112f x f ==+=，即函数的最小值为2,又1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则2min ()a a f x -≥，即22a a -≥，解得：2a ≥或1a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤-，故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞【变式2-3】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数()22(0)g x ax ax b a =++>在区间[]0,2上有最大值11和最小值3，且()()g x f x x=．(1)求a b 、的值；(2)若不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1,3a b ==；(2)17k ≤.【解析】（1）函数()22(0)g x ax ax b a =++>图象的对称轴为=1x -，显然函数()g x 在[]0,2上单调递增，因此min ()(0)3g x g b ===，max ()(2)811g x g a b ==+=，解得1a =，所以1,3a b ==.（2）由（1）知，2()23g x x x =++，()3()2g x f x x x x==++，因此不等式2332)2)012(202(22()22x x x xx x xk f k k ⋅-⋅++≤≤-⇔≤⇔++，令12x t =，由[]1,2x ∈-，得124t ≤≤，则22321321(22)x xt t ++=++，显然函数2321y t t =++在1[,2]4t ∈上单调递增，当2t =时，max 17y =，由不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，得17k ≤，所以实数k 的取值范围是17k ≤.考点三：任意-任意型不等式成立例3.（21-22高二下·北京·月考）已知()()21,2xf x xg x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若对任意[]10,2x ∈，任意[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．12m ≥D ．12m ≤【答案】C【解析】由[]10,2x ∈，2()f x x =，所以1()[0,4]f x ∈，对任意的[]10,2x ∈，要使()()12f x g x ≥成立，即要2()0g x ≤，对任意[]21,2x ∈上成立，所以任意[1,2]x ∈，使得1()2x m ≤成立，即max 11()22x m ≥=.故选：C.【变式3-1】（22-23高一上·湖北鄂州·期中）已知()f x 是定义在[]31,3D a a =++上的奇函数，且当(]0,3x a ∈+时，()22f x x ax =+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)设()g x x b =-+，对任意12,x x D ∈，均有()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】(1)()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩；(2)(,3]-∞-【解析】（1）因为()f x 是定义在[]313a a ++,上的奇函数，所以3130a a ++=+，解得1a =-，所以()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，当2(]0,x ∈时，()22f x x x =-.当[2,0)x ∈-时，则(0,2]x -∈，所以()()()2222f x x x x x -=---=+，因为()f x 是奇函数，所以()()22f x f x x x -=-=+，所以()22f x x x =--，所以()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩.（2）对任意12,x x D ∈，均有()12()f x g x ≥，只需min max ()()f x g x ≥，由（1）知，当2(]0,x ∈时，()222(1)1f x x x x =-=--，当1x =时，()min 1f x =-；当[2,0)x ∈-时，()222(1)1f x x x x =--=-++，当2x =-时，()min 0f x =，又由()00f =，所以函数min ()(1)1f x f ==-，因为()g x x b =-+在[2,-上为单调递减函数，所以()()max 22g x g b =-=+，所以12b -≥+，解得3b ≤-，故实数b 的取值范围为(,3]-∞-.【变式3-2】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数()lg f x x =，()2e e x xg x a =-.(1)若对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()h x g x g x =+-，求函数()h x 的零点个数.【答案】(1)2a ≥；(2)答案见解析.【解析】（1）对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，只需()()12max min f x g x ≤，由()11lg f x x =在[]11,10x ∈上递增，故()1max (10)1f x f ==，由()2222ee x x g x a =-，在[)20,x ∈+∞上有2[1,)e x t ∈=+∞，所以()22g x y at t ==-且[1,)t ∈+∞，故有21at t -≥在[1,)t ∈+∞上恒成立，所以2max max 211111()[()24a t t t ≥+=+-，而1(0,1]t∈，即2a ≥.（2）由题设()2222e e e )e e e e ()(e x x x x x x x xh a x a a ----=--=+-++，令2e e x x μ-=≥+，当且仅当0x =时等号成立，则2222()2e e e e x x x x μ--+=+=+，即2222e e x x μ-+=-，所以()2()2a a h x ϕμμμ==--且[2,)μ∈+∞，令2()20a a ϕμμμ=--=，则问题等价于2122a μμμμ==--在[2,)μ∈+∞上解的个数，又12y μμ=-在[2,)μ∈+∞上递减，故(0,1]y ∈，当1a >或0a ≤时，22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上无解，即()h x 无零点；当1a =时，22(1)(2)0μμμμ--=+-=在[2,)μ∈+∞上有2μ=，所以2e e x x μ-+==，即0x =，故()h x 有1个零点；当01a <<时，220a a μμ--=在[2,)μ∈+∞上有122aμ+=>（负值舍），又e e x x μ-=+为偶函数，此时()h x 有2个零点；综上，1a >或0a ≤时，()h x 无零点；1a =时，()h x 有1个零点；01a <<时，()h x 有2个零点；【变式3-3】（23-24高一上·北京·月考）已知函数()()()()()21122log 1log 1,6R f x x x g x x ax a =++-=-+∈.(1)求函数()f x 的定义域.(2)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.(3)对)[]12,1,2x x ∀∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()1,+∞；(2)函数()f x 为非奇非偶函数，理由见解析；(3)11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由函数()()()1122log 1log 1f x x x =++-有意义，则满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为()1,+∞.（2）因为()f x 的定义域为()1,+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.（3）由“对)[]12,2,4x x ∀∈+∞∈-，不等式()()12f x g x ≤恒成立”，可得max min ()()f x g x ≤，当x ()()()()2111222log 1log 1log 1f x x x x =++-=-由()f x 在)+∞上单调递减，max ()1f x f==-，根据题意得，对[]21,2,70x x ax ∀∈-+≥法一：可转化为[]71,2,x a x x∀∈≤+，令()7h x x x =+，由()h x 在[]1,2上单调递减得，可得()min 711()2222h x h ==+=，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：设函数()27g x x ax =-+，①当22a≥，即4a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，可得()min ()21021g x g a ==-≥-，解得112a ≤，则1142a ≤≤；②当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，可得()min ()171g x g a ==-≥-，解得8a ≤，则2a ≤；③当122a<<，即24a <<时，()g x 在[]1,2先减后增，可得()2min ()7122a ag x a =-⨯+≥-，解得a -≤≤24a <<，综上，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.考点四：任意-存在型不等式成立例4.（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()3f x x =+，[]0,2x ∈，()ag x x x=+，[]1,2x ∈．对[]10,2x ∀∈，都[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的范围是．【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数()3f x x =+，在[]0,2x ∈上单调递增，所以min ()(0)3f x f ==，当a<0时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，min ()1g x a =+，所以31a ≥+，解得2a ≤，又因为a<0，所以031a a <⎧⎨≥+⎩，解得a<0；当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有0131a a ≤≤⎧⎨≥+⎩，解得01a ≤≤，当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在上单调增，其最小值为g =，所以有143a <≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得914a <≤，当4a >时，()ag x x x =+在区间[]1,2上单调减，()min ()222a g x g ==+，此时4322a a >⎧⎪⎨≥+⎪⎩，无解；所以a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【变式4-1】（23-24高一上·重庆·月考）已知函数()()4,2xf x xg x a x=+=+.若[][]121,3,2,3x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的范围是（）A ．4a ≤B ．3a ≤C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】因为()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，且0,x >即2x =时等号成立，所以()min 4f x =，又函数()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()2min 24g x a a =+=+，由题意可知()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤，故选：C.【变式4-2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知()221f x x x =--，()log a g x x =（0a >且1a ≠），若对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()1,2【答案】D【解析】由题意可知：()()12max max <⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f x g x ，因为()221f x x x =--的图象开口向上，对称轴为1x =，且[]1,2x ∈-，可知当=1x -时，()f x 取到最大值()12f -=，由题意可得：()22<g x ，可知存在[]22,4x ∈，使得()22<g x 成立，当01a <<，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递减，可得()()2102<=<g x g ，不合题意；当1a >，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递增，可得()2g x 的最大值为()4g ，则()24log 42log =>=a a g a ，即24a <又1a >，解得12a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,2.故选：D.【变式4-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数()()()2222410,2log 123x f x x x g x x m m =-+=+++-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为.【答案】[1,2]【解析】对任意[]10,4x ∈，总存在[]22,4x ∈，使()()12f x g x ≥成立,∴对[][]()()1212min min 0,4,2,4,x x f x g x ∈∈≥成立()22410(2)6,f x x x x =-+=-+∴ 当[]10,4x ∈时，()()1min 26f x f ==，()()2222log 123x g x x m m =+++- 在[]2,4上是增函数，∴当[]22,4x ∈时，()()()222222min 22log 212338g x g m m m m ==+++-=-+，()()22638,320,120,12m m m m m m m ∴≥-+∴-+≤∴--≤∴≤≤，故实数m 的取值范围为[1,2].故答案为：[1,2].考点五：存在-存在性不等式成立例5.（22-23高一上·北京丰台·期中）已知函数()f x ax =和221()8g x x a =+（其中0a >），若存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．22,44⎛-+ ⎝⎭D ．22,44⎡+⎢⎣⎦【答案】A【解析】存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，等价于()()max min f x g x ≥在()1,1x ∈-上恒成立，由0a >得，()f x a <，()2min ()0g x g a ==，所以2a a >，解得01a <<，所以实数a 的取值范围是(0,1).故选：A.【变式5-1】（23-24高一上·河北·月考）已知()()[]()()212121,22,,0,1,f x ax g x x x a x x f x g x =+=-+∃∈>，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】[]12,0,1x x ∃∈，()()12f x g x >，所以，()()12max min f x g x >，()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减，所以()2min 21g x a =-，当0a =时，())2122212f x g x x =>=-，即22212x x >-，取210x x ==成立.当a<0时，()1max 1f x =，即211a -<，得1a <，所以a<0当0a >时，()1max 1f x a =+，即121a a +>-，得2a <，所以02a <<，综上：a 的取值范围是(),2-∞.故选：A【变式5-2】（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞【答案】C【解析】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）已知2()21,()log (0a f x x x g x x a =--=>且0)a ≠，若存在[]11,2x ∈-,存在[]22,4x ∈,使得12()()f x g x <成立,则实数a 的取值范围是.【答案】()1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为22()21(1)2f x x x x =--=--，当[]1,2x ∈-时,max min ()(1)2,()(1)2f x f f x f =-===-，因为存在[]11,2x ∈-，存在[]22,4x ∈，使得12()()f x g x <成立,所以函数()f x 在[]1,2-上的最小值小于函数()g x 在[]2,4上的最大值.当01a <<时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递减，则2log 2a -<，解得02a <<;当1a >时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递增，则2log 4a -<，解得1a >，综上,实数a 的取值范围是()0,1,2∞⎛⋃+ ⎪⎝⎭.故答案为：()0,1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.考点六：任意-存在型等式成立例6.（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知221()2,()e 1x f x x x m g x -=-+=-，若对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（）A ．22,e 4⎡⎤-⎣⎦B ．21,e 5⎡⎤-⎣⎦C ．22,e 5⎡⎤-⎣⎦D ．21,e 4⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】因为22()2(1)1f x x x m x m =-+=-+-，[]0,3x ∈，所以()f x 在[0,1)上递减，在(1,3]上递增，所以()f x 的最小值为(1)1f m =-，因为(0),(3)3f m f m ==+，3m m +>，所以()f x 的最大值为3m +，所以()f x 的值域为[1,3]m m -+，因为21()e 1x g x -=-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，所以()g x 的值域为2[0,e 1]-，因为对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，所以[1,3]m m -+是2[0,e 1]-的子集，所以2103e 1m m -≥⎧⎨+≤-⎩，解得21e 4m ≤≤-，即m 的取值范围21e 4m ≤≤-故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数()2f x ax =-，()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩对1[3,3]x ∀∈-，2[3,3]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．[]0,4C ．[]1,3D ．[2,2]-【答案】D【解析】因为()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩所以[)23,1x ∈-时，()[]22218,1g x x =-+∈-，[]21,3x ∈时，()[]21221,4x g x -=∈，综上()[]28,4g x ∈-.当0a >时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a <≤；当0a =时，1()2f x =-，符合题意；当0a <时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a -≥-⎧⎨--≤⎩，解得20a -≤<；综上可得[]2,2a ∈-.故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数()f x 为偶函数，且[]2,0x ∈-时，()f x x =-.(1)求(]0,2x ∈时，()f x 的解析式；(2)若函数()()20g x ax a a =+-≠，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x x =--，(]0,2x ∈；(2)6a ≤-或2a ≥.【解析】（1）(]0,2x ∈时，[)2,0x -∈-，所以()f x x x -=--=--，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()f x x =--(]0,2x ∈；（2）因为()f x 为偶函数，所以()f x 在[]2,0-和[]0,2上的值域相同，当(]0,2x ∈时，()f x x =--，令t 23x t =-，t ⎡∈⎣，所以函数化为()222314y t t t =--=--，t ⎡∈⎣，所以1t =时，min 4y =-；t =max y =-即()f x 在[]22-,上的值域为4,⎡--⎣.又对[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，所以()f x 的值域是()g x 的值域的子集，①当0a >时，()g x 在[]22-,上的值域为[]23,2a a -+则4232aa -≥-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩，解得2a ≥②当a<0时，()g x 在[]22-,上的值域为[]2,23a a +-，则4223a a -≥+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得6a ≤-综上所述，实数a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.【变式6-3】（21-22高一下·上海黄浦·月考）已知函数2()f x x x k =-+，若2log ()2f a =，2(log )f a k =，1a ≠．(1)求,a k 的值，并求函数(log )a f x 的最小值及此时x 的值；(2)函数()42g x mx m =+-，若对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，2k =，x (log )a f x 有最小值74；(2)(,4][4,)-∞-+∞【解析】（1）因为2()f x x x k =-+，所以2()f a a a k =-+，所以()2222log 2log 44a a k a a k -+==⇒-+=，①因为2(log )f a k =，所以()2222log log l )og (f k a a a k =-+=，②由②得，()2222log log log 00a a a -=⇒=或21log a =，解得1a =或2a =因为0a >，且1a ≠，所以2a =，代入①得22242k k -+=⇒=，所以2,2a k ==，所以2()2f x x x =-+所以22222217(log )(log )(log )log 2(log )24a f x f x x x x ==-+=-+．所以当21log 2x =，即x =(log )a f x 有最小值74．（2）2()2f x x x =-+，当1[1,3]x ∈时，1()[2,8]f x ∈，因为对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以1()f x 的值域是2()g x 值域的子集，当0m =时，()4g x =，舍去；当0m >时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈-++，所以4248m m -+≤⎧⎨+≥⎩，所以4m ≥；当0m <时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈+-+，所以4248m m +≤⎧⎨-+≥⎩，所以4m -；综上，实数m 的取值范围是(,4][4,)-∞-+∞ ．一、单选题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数2()224x x f x a =-⋅+，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[4,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【解析】因为()0f x ≥恒成立，即22240x x a -⋅+≥恒成立，所以422xx a ≤+恒成立，又由4242x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以4a ≤．故选：A ．2．（23-24高一上·吉林长春·期中）设函数()221(1)f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()212f x x x +=+，()212f x x x -=+，所以()()11f x f x +=-，所以函数()221(1)f x x x =-+-关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()2221(1)1f x x x x =-+-=-，则函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以在(),1-∞上单调递减，又不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，即12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以212--≤-≤+x ax x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以1311--≤≤+a x x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以max min1311⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以max 1131122x ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭，因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以min3351122x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以3522a -≤≤，即35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D3．（22-23高一上·海南·期中）已知函数()24a x x x f =-+，()5g x ax a =+-，若对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()1f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],9-∞-B ．[]9,3-C ．[)3,+∞D ．(][),93,-∞-+∞ 【答案】D【解析】要使对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，即()f x 在[]1,3-上值域是()g x 在[]1,3-上值域的子集，2()(2)4f x x a =-+-开口向上且对称轴为2x =，则[]1,3-上值域为[4,5]a a -+；对于()5g x ax a =+-：当a<0时()g x 在[]1,3-上值域为[25,52]a a +-，此时，0254525a a a a a <⎧⎪+≤-⎨⎪-≥+⎩，可得9a ≤-；当0a =时()g x 在[]1,3-上值域为{5}，不满足要求；当0a >时()g x 在[]1,3-上值域为[52,25]a a -+；此时，0255524a a a a a >⎧⎪+≥+⎨⎪-≤-⎩，可得3a ≥；综上，a 的取值范围(][),93,-∞-+∞ .故选：D4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+.若[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤-B ．3a ≤-C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】设()4f x x x=+在[]1,3上的最小值为()min f x ，()2xg x a =+在[]2,3上的最小值为()min g x .因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，且0x >，即2x =时等号成立，所以，()min 4f x =.()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()()min 24g x g a ==+.由[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，可得()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤.故选：C.5．（22-23高二上·陕西西安·期中）已知()()()21ln 12xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，，若对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．14⎛-∞⎤ ⎝，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】C【解析】易知()2(ln 1)f x x =+在[0,3]上单调递增，()()min 00f x f ==，()1()2x g x m =-在[1,2]上单调递减，()()max 112g x g m ==-，对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min maxf xg x ≥所以102m -≤，即12m ≥.故选：C.6．（21-22高一上·福建泉州·期中）已知函数()3f x ax =，0a >，223()2g x x a =+，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围为（）A ．25a <<B ．02a <<C．52a <<或2a <-D ．108a <≤【答案】D【解析】设任意的11,,22m n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且m n <，0a >，所以()()()()2233f a m n m m nm f n am a n n -=-++-=()223024n n a m n m ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()()f m f n <，所以()3f x ax =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max 128a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为223()2g x x a =+，其对称轴为0x =，所以根据二次函数的性质可得223()2g x x a =+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得到最小值2(0)g a =，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，只需()()max min f x g x ≥，所以28a a ≥，解得108a ≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围为108a <≤，故选：D 二、多选题7．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，则m 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【解析】设()12f x x x =-++，则()21,1123,2121,2x x f x x x x x x +≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩，则()f x的图象如下所示：由图可知当21x -≤≤时()f x 取得最小值3，即123x x -++≥当且仅当21x -≤≤时取等号，因为12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，所以3m ≤，故符合题意的有A 、B 、C.故选：ABC8．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（）A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞-C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]-D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =【答案】AC【解析】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-，又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确；对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =，又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误；对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增，所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-==所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确；对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-，则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误.故选:AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东·月考）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2()24(0)g x x ax a =-+>，若对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是.【答案】,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，1(0,1)x ∈，故()11,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，故()2g x 的值域包含1,12⎛⎫⎪⎝⎭，①当02a <<时，()()2min 142g x g a a ==-≤，解得22a ≤<，此时()()max 041g x g ==≥，成立；②当2a ≥时，函数在[]0,2上单调递减，()()max 041g x g ==≥，成立，()()min 12842g x g a ==-≤，解得158a ≥，即2a ≥；综上所述：2a ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数()f x x x =，若对任意[],2x t t ∈+，不等式()()29f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是.【答案】1⎡⎤⎣⎦【解析】因为()f x x x =，则有：当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；当0x ≤时，()2f x x =-，此时()f x 单调递增，且()00f =，所以()f x 为R 上的连续函数且在R 上单调递增.又因为()()99333===f x x x x x f x ，则()()()293+≤=f x t f x f x ，可得23+≤x t x ，即23≤-t x x 对任意[],2x t t ∈+恒成立，注意到23y x x =-的图象开口向下，则()()223322t t t t t t ⎧≤-⎪⎨≤+-+⎪⎩，解得01≤≤t ，所以实数t 的取值范围为1⎡⎤⎦.故答案为：1⎡⎤⎣⎦.11．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知函数()()22log 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为.【答案】[)1,-+∞【解析】因为[]11,1x ∈-，所以[]2111,2x ∈+，所以()[]221log 10,1x ∈+，即()[]10,1f x ∈，由[]21,1x ∈-，则211,222xm m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎛⎪⎭⎣⎫ ⎦⎝，即()21,22g x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，所以()()12max max f x g x ≤，则21m +≥，解得1m ≥-，即[)1,m ∈-+∞.故答案为：[)1,-+∞.四、解答题12．（22-23高一上·江西赣州·期中）函数()log a f x b x =⋅（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点(),4A a ，()4,8B .(1)求函数()f x 的解析式；(2)若不等式110x xm b a ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()4log f x x =；(2)2m ≤【解析】（1）由题意得log 4log 48a a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解之得24a b =⎧⎨=⎩，故2()4log f x x =；（2）由（1）知11042x xm ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，即1142x x m ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，所以max 1142x x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为2211111114222224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于[]1,2x ∈-得11,224x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当122x =即=1x -时，1142x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最大值为2，因此m 的取值范围为2m ≤.13．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数()()21log 212x f x x =+-.(1)解不等式()112f x x >+；(2)设()()g x f x x =+，()22h x x x m =-+，若对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，求m 的取值范围.【答案】(1)(),0∞-；(2)(,2]-∞【解析】（1）因为()112f x x >+，所以()211log 21122x x x +->+，所以()22221log 211log log 22x x xx ++->⇔>，由对数函数2log y x =的单调性可知：2122x x +>，所以21x <，由指数函数2x y =的单调性可知：0x <，所以不等式的解集为(),0∞-；（2）()()21log 212x g x x =++，因为对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，所以()g x 在[]0,4上的最小值不小于()h x 在[]0,5上的最小值；因为()21log 21,2x y y x =+=均在[]0,4上单调递增，所以()21()log 212x g x x =++在[]0,4上单调递增，所以()()min 01g x g ==，因为()()22211h x x x m x m =-+=-+-，所以()h x 在[]0,1上单调递减，在[]1,5上单调递增，所以()()min 11h x h m ==-，所以11m ≥-，解得2m ≤，所以m 的取值范围为(,2]-∞.。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)诱导公式(解析版)
第25讲诱导公式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点1诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把α看作是锐角，则πα+是第三象限角，函数名不变，符号为πα+的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则α-是第四象限角，函数名不变，符号为α-的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则πα-是第二象限角，三角函数名不变，符号为πα-的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈【记忆规律】（1）把α看作锐角，则2πα-是第一象限角，2πα-的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα-的余弦函数值等于α的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把α看作锐角，则2πα+是第二象限角，2πα+的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα+的余弦函数值等于α的正弦函数值的相反数.知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02π 的角求值公式二将02π 的角转化为0π 的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将2ππ 的角转化为02π 的角求值公式五实现正弦函数与余弦函数的互相转化公式六知识点3诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算16πcos 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】A【解析】由诱导公式可得，16π16ππππ1cos cos cos 5πcos πcos 333332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）23πtan6=（）A ．B ．C D 【答案】B【解析】23ππππtantan 4πtan tan 6666⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:B.【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）()3πcos sin π2θθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（）A ．2sin θ-B ．0C ．cos sin θθ-D ．cos sin θθ-+【答案】A【解析】()3ππcos sin πcos sin 2sin 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫-++=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）14π20π11πsin cos tan 336⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】126--【解析】14π20π11ππππsin cos tan sin 5πcos7πtan 2π336336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ11sincos tan 33622=-+=-+---故答案为：126--.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知π1sin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（）A ．13-B ．13C ．D 【答案】A【解析】由诱导公式可得3π1sin cos 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又()1cos πcos 3αα+=-=-，故选：A.【变式2-1】（23-24高一上··月考）若π1cos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】B【解析】由π1cos =22α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1sin 2α=，所以()1sin παsinα2+=-=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知α为钝角，且3sin 5α=，则()cos 3πα+=（）A ．35-B ．35C ．45D ．45-【答案】C【解析】因为22sin cos 1αα+=，且3sin 5α=，所以22916cos 1sin 12525αα=-=-=，因为α为钝角，所以4cos 5α=-，所以()4cos 3πcos 5αα+=-=.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知α为第二象限角，若2023π1sin ,24α⎛⎫-=⎪⎝⎭则tan α=（）A ．BC ．D 【答案】A【解析】由()2023π1sin cos cos 24ααα⎛⎫-=--=-=⎪⎝⎭，则1cos 4α=-，由α为第二象限角，则sin α=，所以sin tan cos ααα==.故选：A.考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果α，β满足παβ+=，那么下列式子中正确的个数是（）①sin sin αβ=；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=-；④cos cos αβ=；⑤tan tan αβ=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为παβ+=，所以sin sin(π)sin αββ=-=，故①正确，②错误；cos cos(π)cos αββ=-=-，故③正确，④错误；tan tan(π)tan αββ=-=-，⑤正确．故选：C【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】C【解析】因为π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππ4cos cos sin 62533ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C 【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）π1ππ2πsin ,,sin 64233θθθ⎛⎫⎛⎫+=-<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A ．14-B ．14C．4-D．4【答案】D【解析】∵2ππππsin sin cos 3626θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ,23θ-<<则πππ,362θ-<+<且π1sin 064θ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=.故选：D【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若3π1sin 83x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则πcos 8x ⎛⎫+=⎪⎝⎭.【答案】13【解析】因为3πππ882x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ3π3π1cos cos sin 82883x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：13.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；(2)7π19πtansin 46π15πcos tan34+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】(1)1；(2)1-【解析】（1）()3πsin(2π)cos(3π)cos sin()(cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin cos αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----.（2）ππ7π19πππ1tan 2πsin 3πtansintan sin 146464621ππ1π15πππcos tan 1cos tan cos tan 4π3423434⎛⎫⎛⎫-+++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(3,4)--．(1)求sin α，cos α的值；(2)求9π3πsin()cos()cos()222sin(2π)sin(π)πααααα+⋅-⋅-+-⋅+的值．【答案】(1)4sin 5α=-，3cos 5α=-；(2)35【解析】（1） 角α的终边经过点(3,4)--，∴5r ===，∴4sin 5y r α==-，cos 53x r α==-；（2）9π3πsin()cos()cos()cos sin (sin )222cos sin(2π)sin(π)(sin π35)(sin )ααααααααααα+⋅-⋅-+⋅⋅-==--⋅⋅-=+-．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知α是第三象限角，且()()()()cos πcos π1π3sin tan 2πsin π2ααααα-+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2sin 3sin cos ααα+的值；(3)角β的终边与角α关于x 轴对称，求()()3πsin π2sin 2πcos cos 5π2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.【答案】(3)411【解析】（1）()()()()()()()()2cos πcos πcos cos 11πcos tan sin tan 3sin tan 2πsin π2ααααααααααα-+--===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，所以tan 0α>，所以tan α=（2）2sin 3sin cos ααα+222sin 3sin cos sin cos ααααα+=+22tan 3tan tan 1ααα+==+（3）因为α是第三象限角，且tan α，角β的终边与角α关于x轴对称，则tan β=所以3πsin(π)2sin sin 2cos tan 22π2sin cos 2tan 12cos cos(5π)2ββββββββββ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭==----⎛⎫+++ ⎪⎝⎭411==.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()()3π5πcos sin 22πcos sin π3f θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅--.(1)若()14f θ=，求tan θ的值；(2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求4πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)答案见解析；(2)16【解析】（1）()()3π5πcos sin 2sin cos 222cos πsin cos sin π3f θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭==-⋅--，又因为()14f θ=，所以12cos 4θ-=，即1cos 8θ=-，所以θ为第二或第三象限角，当θ为第二象限角时，sin 8θ==，sin tan cos θθθ==-，当θ为第三象限角时，sin θ==sin tan cos θθθ==；（2）ππ12cos 663f θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π1cos 66θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4ππsin sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由πππ632θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4πππππ1sin sin sin cos 332666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：()()2πcos 2sin 2πcos 2πsin 5πsin 2ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】左边()πcos 2sin 2πcos πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅--⎡⎤⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin sin cos cos αααα=⋅--⎡⎤⎣⎦2sin sin cos sin cos ααααα=⋅⋅==右边，故原式成立.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：ππsin(5πcos()sin()2213πcos(3π)cos()sin(4π)2θθθθθθ--+=--+--）.【答案】证明见解析【解析】左边sin(5πsin cos cos(π)sin [sin(4π)]θθθθθθ--=---）sin(πsin cos sin 1cos sin (sin )sin θθθθθθθθ---==-=--）右边，故原式得证.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：23ππ2sin cos 122312cos π2θθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝sin cos sin cos θθθθ+-.【答案】证明见解析【解析】∵左边＝()2222cos sin 112sin cos 12sin cos sin θθθθθθθ⋅----=--()()()2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-++=-+--sin cos sin cos θθθθ+=-＝右边．∴原式成立．【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当2k =或3时，3tan(π)tan(π)sin cos(2π)sin[(21)π]cos k k k k αααααα-+=-++.【答案】证明见解析【解析】当2k =时，左边=23tan(2π)tan(2π)tan tan tan sin cos(4π)sin(5π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；当3k =时，左边=23tan(3π)tan(3π)tan tan tan sin cos(6π)sin(7π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；综上，2k =或3k =有原等式恒成立.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】①因为在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin sin πsin sin sin 2sin A B C C C C C C ++=-+=+=；②因为在ABC 中，πA B C ++=，()()cos cos cos πcos cos cos 0A B C C C C C ++=-+=-+=；③()()()sin 22sin 2sin 2sin 2sin 2πsin 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 2π2sin 2sin 2sin 20C C C C =-+=-+=；④()()()cos 22cos 2cos 2cos 2cos 2πcos 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()cos 2π2cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C =-+=+=.故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角,,A B C 是ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（）A ．cos()cos ABC +=-B ．tan()tan B C A +=C ．cossin 2A CB +=D ．sincos 22B C A+=【答案】AD【解析】对于A ：()cos()cos πcos A B C C +=-=-，故A 正确；对于B ：()tan()tan πtan B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ：ππcos cos cos sin 22222A C B B B +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：ππsinsin sin cos 22222B C A A A +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A ，B ，C 是ABC 的内角，下列等式中错误的是（）A ．()22sincos 1A B C ++=B ．ππsin cos 44A A-+=C ．()cos cos A B C +=D ．tantan 122A B C+⋅=【答案】C【解析】在ABC 中，πA B C ++=.对于A ，2222sin ()cos sin cos 1A B C C C ++=+=，A 正确；对于B ，πππ 442A A -++=，ππsin cos 44A A-+∴=，B 正确；对于C ，cos()cos(π)cos A B C C +=-=-，C 错误；对于D ，πsin cos π222tan tan tan tan tan tan 1π2222222sin cos 222C C A B C C C C C C C ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭⋅=-⋅=⋅=⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在ABC 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan 2A B +=.【答案】33【解析】因为25sincos 224C C +=，即251cos cos 224C C -+=，解得1cos 22C =，又π022C <<，所以23sin 1cos 222C C =-=，所以π1sinsin cos32222tan π233cos cos sin2222A B C C A B A B C C +-+=====+-.故答案为：33一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）cos120= （）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】()1cos120cos 18060cos602=︒-︒=-︒=-.故选：B2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】D【解析】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】D【解析】由诱导公式可得()()1sin 3πsin πsin 3ααα+=+=-=，故π1cos sin 23αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.4．（23-24高一上·北京东城·期末）若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】C【解析】因为1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==，则()cos πcos αα-=-，故选：C.5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．D ．13-【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ1sin sin πsin 6663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6．（23-24高一上·重庆·期末）已知π5sin 65x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．5±B C D ．5±【答案】B 【解析】因为πππ632x x -++=，所以ππππ5cos sin sin 32365x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos22αα+⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=【答案】BC【解析】对于A ，sin(3π)sin(π)sin ααα+=+=-，故A 项错误；对于B ，7πππsin sin sin cos 222222αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，5ππcos 2cos 2sin 222ααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，cos(9π3)cos(π3)cos3ααα-=-=-，故D 错误.故选：BC.8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在ABC 中，下列关系不成立的是（）A ．()cos cos ABC +=B ．()sin sin A B C +=C ．sinsin 22A B C +=D ．coscos 22A B C+=【答案】ACD【解析】()()cos cos πcos A B C C +=-=-，A 选项错误.()()sin sin πsin A B C C +=-=，B 选项正确.ππsinsin sin cos 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，C 选项错误.ππcoscos cos sin 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：ACD 三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+=.【答案】1-【解析】()cos 300sin 330tan 675︒︒︒--+()()()cos 360sin 360tan 720603045︒︒︒︒︒︒++----=cos sin n 6030t 5a 4︒︒︒=--111122=--=-.故答案为：1-10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.【答案】tan α-【解析】原式()()sin cos sin sin tan cos cos sin cos ααααααααα-⋅-⋅-==-=-⋅⋅.故答案为：tan α-.11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】23【解析】因为π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππππ1sin sincos 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2πππ1cos cos πcos 3333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π2π112sin cos 63333x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23.四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知3sin 5α=-，且α是第三象限角.(1)求cos α，tan α的值；(2)求()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】(1)答案见解析；(2)1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，且α是第三象限角，所以4cos 5α==-，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-；（2）由（1）知：()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-22sin cos 16cos cos tan 25ααααα-===-.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值．【答案】(1)sin α=，cos α=，tan 2α=-；(2)12-【解析】（1）因为πsin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，又因为22sin cos 1αα+=且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以sin tan cos 3ααα==-.（2）()()()()()()()23πcos tan πsin 2πsin tan sin 12tan sin 7πcos πsin cos 2ααααααααααα⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭==-=--+-.。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)弧度制(解析版)
第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中， AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算2度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度6π4π3π2π32π43π65ππ23ππ23、角的集合与实数集R 的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180n R l π=l R α=扇形的面积2360n R S π=21122S lR R α==【注】扇形的半径为R ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意α的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式12S lR =，与三角形面积公式12S ah =的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）A．4π5B．5π4C．π5D．5π【答案】A【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动202 505=周，故其转动的弧度数是24π2π55⨯=.故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若α是第一象限的角，则π2α-也是第一象限的角C ．若两个角的终边重合，则这两个角相等D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A 选项错误；若α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，所以π2α-+是第一象限的角，B 选项正确；当30α= ，390β= 时，α与β终边重合，但两个角不相等，C 选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D 选项错误.故选：B【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）300o 化成弧度是（）A ．5π3B ．π611C ．7π6D ．7π4【答案】A【解析】因为180π= ，所以3π5π300300180=⨯=.故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将315- 化为弧度制，正确的是（）A ．3π4-B ．7π4-C ．45π-D ．5π3-【答案】B【解析】7π3153151804π-=-⨯=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把495- 表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ值可以是（）A ．5π4B ．5π4-C ．3π4D ．3π4-【答案】AD【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得11π4954-=-，再由终边相同角的表示，可得11π3π5π2π4π444-=--=-，所以11π4-与3π4-和5π4的终边相同.故选：AD.【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角495︒终边相同的角为（）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π4【答案】AB【解析】对于A ，495360135︒=︒+︒，3π1354︒=，故A 正确；对于B ，与3π4终边相同的角为324k παπ=+，k ∈Z ，当1k =-时，5π4α=-，故B 正确；对于C ，令3π9π2π44k +=-，解得32k =-∉Z ，故C 错误；对于D ，令3π13π2π44k +=，解得54k =∉Z ，故D 错误．故选：AB.考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把5π4化成角度是（）A ．45︒B ．225︒C ．300︒D ．135︒【答案】B【解析】5π5π18022544π︒=⨯=︒.故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）5π12化为角度是（）A ．60︒B ．75︒C ．115︒D ．135︒【答案】B 【解析】5π5180751212=⨯︒=︒.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad 是第（）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】π180rad = ，540903180πrad ⎛⎫∴<=< ⎪⎝⎭为第二象限角.故选：B【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π315Z k k +∈B ．()36045Z k k ⋅-∈C ．()7π360Z 4k k ⋅+∈D ．()5π2πZ 4k k +∈【答案】B【解析】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为3cm ，圆心角为210°的扇形的弧长为（）A ．630cmB ．7cm6C ．7πcm 6D ．7πcm 2【答案】D【解析】圆心角210︒化为弧度为7π6，则弧长为7π7π3cm 62⨯=.故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长2l r r α==，所以2α=，扇形的面积22112S r r α===，解得1r =或1r =-（舍去），所以2l r α==，则该扇形的周长为24r l +=.故选：C【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm ，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为（）A ．63cmB ．65cmC ．67cmD ．69cm【答案】C【解析】设该扇环的内弧的半径为r cm ，则外弧的半径为()18cm r +，圆心角 2.5α=，所以()1889r r αα++=，即()2.5 2.51889r r ++=，解得8.8r =，所以该扇环的外弧长()()2.518 2.58.81867cm l r =+=+=.故选：C【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（）A．1.01米B．1.76米C．2.04米D．2.94米【答案】B【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为 ππ5π2488BC=⨯+=，由弧度数公式得5ππ81.252lBOCr∠===，即BOC为等腰直角三角形，所以π4OBC∠=，则掷铁饼者双手之间的距离()5 1.41 1.76mπ44sin4rBC==≈⨯≈.故选：B.考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（）A．28m B．212m C．216m D．232m【答案】C【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，得扇形所在圆半径4m=r，所以该扇形的面积148162S=⨯⨯=(2m).故选：C【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为．【答案】3π【解析】由扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为23π43π812S ⨯⨯==.故答案为：3π.【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD 的内圆弧AB 的长为2π3，外圆弧CD 的长为4π3，圆心角2π3AOB ∠=，则该扇环的面积为（）A ．πB ．π2C ．4π3D ．2π3【答案】A【解析】由扇形面积公式2122l S lr α==（其中l 为扇形弧长，α为扇形圆心角，r 为扇形半径）可得，扇环面积22214π2π34ππ2334π3S α⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A 【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形ABCD 中，45A ∠=︒，1A ，1B ，1C ，1D 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，以点A 为圆心，以1AA ，2AA 为半径作出两段圆弧，与AD 分别交于点1D ，3A ，分别以B ，C ，D 为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中121212121A A B B C C D D ====.若扇环1231A A A D 的周长为7π24+，则扇环1231B B B A 的面积为（）A ．3πB ．21π8C ．7π8D ．3π4【答案】B【解析】设2AA r =，则11AA r =+，因为扇环1231A A A D 的周长为7π24+，所以：()ππ7π122444r r +++=+⇒3r =.所以扇环1231B B B A 的面积为：2213π13π432424⋅⋅-⋅⋅21π8=.故选：B考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A ．28B ．36C ．42D ．50【答案】B【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则224l r +=，所以扇形的面积22111212123624424l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即12,6l r ==时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为r ，弧长为l .若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）A ．该扇形面积的最小值为8B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2C ．2r l +的最小值为9D ．2214r l+的最小值为12【答案】BCD【解析】由题意，知2r l rl +=，则(),22lr l l =>-，所以扇形面积22111(2)4(2)422222l l l S rl l l -+-+==⋅=⋅--1411[(2)4]4)(44)42222l l =-++≥⨯=⨯+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，选项A 错误；扇形周长为()()22242422222l l l l r l l l l l -+-++=+==---4(2)44482l l =-++≥+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，此时，圆心角为422l r==，选项B 正确；()()()222522222522222l l l l l l r l l l -+-+=-+=+=--++-5459≥=+=当且仅当()2222l l -=-，即3l =时，等号成立，选项C 正确；()22222222144841118421l r l l l l l l -⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,当114l =时，上式取得最小值为12，选项D 正确.故选：BCD.【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ．(1)若36α=︒，10cm r =，求扇形的弧长；(2)若4cm C =，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)()2πcm ；(2)S 的最大值为1，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad ．【解析】（1）π13636rad πrad 1805α=⨯=︒=，扇形的弧长()1π102πcm 5l r α==⨯=；（2）设扇形的弧长为l ，半径为r ，则24r l +=，()4202l r r ∴=-<<，则()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+，当1r =时，2max 1cm S =，此时4212cm l =-⨯=，2lrα==，S ∴的最大值是21cm ，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad α=．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为()0αα>，半径为R ，面积为S ，周长为L ．(1)若24cm S =，则扇形圆心角α为多少弧度时，L 最小？并求出L 的最小值；(2)若10cm L =，则扇形圆心角α为多少弧度时，S 最大？并求出S 的最大值．【答案】(1)2rad α=，最小值为8cm ；(2)2rad α=，最大值为225cm 4．【解析】（1）2214cm 2S R α== ，28Rα∴=则288222L R R R R R R Rα=+=+⋅=+．由基本不等式可得828R R +≥=，当且仅当82R R =，即2R =时等号成立，此时2822α==．∴当2rad α=时，L 最小，最小值为8cm ．（2）210cm L R R α=+= ，102RRα-∴=．22221110252552224R S R R R R R R α-⎛⎫==⋅⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．当52R =，即2α=时，max 254S =．∴当2rad α=时，S 最大，最大值为225cm 4．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·315︒化为弧度是（）A ．π4-B ．7π4C ．11π6D ．5π3【答案】B 【解析】3157315ππ1804︒==.故选：B 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把2π3弧度化成角度是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】因为π180=︒，所以22π18012033=⨯︒=︒.故选：D.3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【答案】B【解析】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B 4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（）A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π【答案】C【解析】由扇形的面积可得，112π33π22S lr ==⨯⨯=.故选：C 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】因为半径2r =，圆心角=2α，所以根据弧长公式l r α=得4l =.故选：A.6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A ．2B ．3C ．1D ．4【答案】A【解析】设扇形所在圆半径为r ，则该扇形弧长402l r =-，020r <<，于是该扇形的面积21(20)(10)1001002S rl r r r ==-=--+≤，当且仅当10r =时取等号，所以当10r =时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于2lr=.故选：A 二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·）A ．120-︒化成弧度是2πrad3-B ．πrad 10化成角度是18°C ．1 化成弧度是180rad D ．10πrad 3-化成角度是60-︒【答案】AB【解析】对于A 项，因π2120120πrad 1803-︒=-⨯=-，故A 项正确；对于B 项，因ππ180rad=(181010π⨯=，故B 项正确；对于C 项，因ππ11rad rad 180180=⨯=，故C 项错误；对于D 项，因1010180πrad π(60033π-=-⨯=-，故D 项错误.故选：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】AD【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，根据扇形的周长和面积均为18，则2181182l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得312r l =⎧⎨=⎩或66r l =⎧⎨=⎩，则4lrα==或1.故选：AD .三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为42，周长为122，则该扇形的面积为.【答案】16【解析】设扇形的弧长为l ，依题意，242122l ⨯+=，解得42l =.故该扇形的面积为14242162⨯⨯=.故答案为：16.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的36，则该扇形的圆心角用密位制表示为.【答案】2000-【解析】如图，C 是弧AB 的中点，由题意可得3363CD AB BD ==，即3=BD CD .因为AB CD ⊥，所以π6CBD ∠=，所以同弧所对圆心角π3AOC ∠=，所以2π2π60002000332πAOB ∠==⨯=，即该扇形的圆心角用密位制表示为2000-.故答案为：2000-11．（23-24高一下·江西乙醇·dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．()dm【解析】第一次是以B 为旋转中心，以2BA ==为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是π2π2⨯=，第二次是以C 为旋转中心，以11CA =为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是ππ122⨯=，第三次是以D 为旋转中心，以2DA =60︒，此次点A 走过的路径是π3=∴点A 三次共走过的路径是()3π9πdm 236++=，()dm ．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）展台，4=AD 米．(1)若2π3COD ∠=，2OA =米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．【答案】(1)16π83+米；(2)6000元【解析】（1）弧AB 的长度14π3l =，弧CD 的长度212π3l =，所以扇形环面展台周长为：1216π2483l l ++⨯=+米；（2）设COD θ∠=，OA r =米，则弧AB 的长度1l r θ=，弧CD 的长度()244l r r θθθ=+=+，因为该扇形环面的周长为14米，所以124214l l ++⨯=，即4814r r θθθ+++=，整理得23r θθ+=，则该扇形环面展台的面积：()2211(4)48421222S r r r r θθθθθθ=+-=+=+=平方米，所以布置该扇形环面展台的总费用为：125006000⨯=元.13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若3πα=，10cm R =，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若,2cm 3R πα==，求扇形的弧所在的弓形的面积.【答案】(1)10cm 3π；(2)2α=时，面积最大；(3)23π⎛⎝cm 2.【解析】（1）由,10cm 3R πα==，则扇形的弧长101033l R ππα==⨯=(cm).（2）由已知得，220l R +=，则202l R =-，∴()()22022111202252242R R S lR R R -+⎡⎤==-⋅≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当2022R R -=，即5R =时扇形的面积最大，此时圆心角1025α===l R .（3）设弓形面积为S 弓形，由,2cm 3R πα==，得()2cm 3l R πα==，所以22121222sin cm 23233S πππ⎛=⨯⨯-⨯⨯= ⎝弓形.。
新高一数学暑假衔接学习资料系列讲义12讲(含答案)
【第1讲】 乘法公式【基础知识回顾】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +． 【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．【第3讲】 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +【解析】（1=（2220)x x x =-<．(3) 原式=2|1|211+-=--=归纳总结：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥ 【解析】（10)a ==≥；(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【例1-2】（1(x=-x的取值范围是；（2=成立的条件是（）A.2x≠ B.0x> C.2x> D.02x<<【解析】（1|3|(x x=-=-|3|(3)x x-=-(3)0x∴-≥35x∴≤≤（2）由于20xx≥⎧⎨->⎩2x∴>。
初升高数学衔接教材 第01章 第04节 充分条件与必要条件(讲义版)
第一章第四节充分条件与必要条件一、电子版教材二、教材解读知识点一充分条件、必要条件的判断1、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
2、若p ⇒q ，但qp ，则称p 是q 的充分不必要条件．3、若q ⇒p ，但pq ，则称p 是q 的必要不充分条件．4、若p q ，且q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．【例题1】（2020·广东省增城中学高二期中）已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题2】（2020·全国高一）“3m ≤”是“2m ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题3】（2020·天津一中高二期末）设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题4】（2020·全国高一）“1x >且2y >”是“3x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件知识点二充分条件、必要条件、充要条件的应用1.记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，若p 是q 的必要不充分条件，则B A .2.记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．【例题5】（2019·辛集市第二中学高二期中）若“满足：20x p +<”是“满足：220x x -->”的充分条件，求实数p 的取值范围.【例题6】（2020·四川省雅安中学高二月考（文））若关于x 的不等式()22210x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B ．（1）求集合A ；（2）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三充要条件的证明1.一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．【例题7】（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【例题8】（2020·上海高一课时练习）求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【例题9】（2020·全国高一课时练习）证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.三、素养聚焦1．“220a b +>”是“0ab ≠”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“1x >-”是“20x +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．3x >是3x >的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．下列各组命题中，满足α是β的充要条件的是()A ．:||ab ab α=，:0ab β≥0B ．:α数a 能被6整除，:β数a 能被3整除C ．:a b α<，:1a bβ<D ．若a ，b R ∈，22:0a b α+≠，:,a b β都不为06．“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．设R x ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．0x y ⋅≠是指（）A ．0x ≠且0y ≠B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 中至少有一个不为零D ．0x y ≠≠10．对于集合A ，B ，“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的()A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分又非必要条件11．若:p “01b <<”，:q “21b <”，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．“1x >”是“21x >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要15．若“01x <<”是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),10,-∞-⋃+∞16．()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．设a R ∈，则“2a >”是“24a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值的充要条件是()A ．240b ac ->B ．04-b 2≥acC ．20,40a b ac >-<D ．04-b 0a 2＜，ac ≤20．若集合{}23,A a=，{}2,4B =，则“2a =”是“{}4A B ⋂=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21．若p 是r 的充分非必要条件，q 是s 的必要非充分条件，且r 是s 的充分非必要条件，则p 是q 的()条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要22．设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件24．“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件25．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”，:q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件27．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件28．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤29．（多选题）对任意实数a ,b ,c ,下列命题中正确的是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“5a <”是“3a <”的必要条件E.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件30．（多选题）下列说法中正确的是（）A ．“AB B = ”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件31．（多选题）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件32．（多选题）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要条件；④“a b >”是“22a b >”的充分条件.其中真命题是（）.A ．①B ．②C ．③D ．④。
初升高数学衔接讲义新高一数学衔接讲义一
（一）韦达定理（一元二次方程中根与系数的关系）
对于一元二次方程
2
ax
bx
c
0( a
0) ，如果方程有两个实数根
x1, x2 ，
那么
x1 x2
b , x1x2 c
a
a
说明： （ 1）定理成立的条件
例题 .若 x1 , x2 是方程
2
x
2x
0 （2）注意公式中 x1 x2
b 的负号与 b 的符号的区别 .
.
☆总结：高中阶段韦达定理相关知识点的常用等式变形：
（1）
（ 2）
（3）
（ 4）
（二）第一小单元重要知识点复习
1
2
1. （ 1）画出函数 y x 2 x 3 的图象 .
（ 2）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有三个实根，求 k 的值；
（ 3）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有四个实根，求 k 的取值范围；
（ 4）已知关于
x的不等式
2
x
2x
3＞ k 对于一切实数都成立，求
k 的取值范围 .
2. 利用学到的图象对称变换的方法，画下列函数的图象： （ 1） y x 2 ； （ 2） y x 2 .
4. 已知函数 y g ( x ) 图象关于点（ -3,-2 ）成中心对称，且 y
A(x1, y1)、 B( x2 , y2 ) 两点， 则 x1 x2
， y1 y2
g ( x) 的图象与函数 .
f (x)
1 2 交于 x3
5. 分解因式：
（1） x 2 (a 2)x 2a
2022-2023学年苏教版江苏高一数学上学期同步讲义第01讲 角与弧度(教师版)
第7章三角函数第01讲 不等式的性质课程标准重难点1. 理解任意角的概念；2. 掌握象限角和终边相同的角的集合表示；3. 会表示终边相同的角；4. 理解并掌握象限角及其应用．5. 理解弧度制的概念；6. 掌握角度制与弧度制的换算；7. 会利用弧度制表示角；8. 会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题． 1. 理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角、弧度制的概念及表示.2. 认识集合S 中k 、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360︒的整数倍．掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算．一、任意角 1.角的概念有关概念 描 述定义 角可以看成平面内① 绕着② 从一个位置 ③ 到另一个位置所成的④图示其中O 为⑤ ，OA 为⑥ ，OB 为⑦记法角α或α∠，或简记为α2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义图示正按⑧ 旋转形成的角知识精讲目标导航角 负角 按⑨ 旋转形成的角零角一条射线⑩ ，称它形成了一个零角3.. 象限角：⑪在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角.4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合⑫，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个○13的和. 二、弧度制 1. 角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于 ① 的弧所对的 ② 叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做 ③ ，它的单位符号是rad ，读作 ④ ，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个 ⑤ ，负角的弧度数是一个 ⑥ ，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ⑦ . 2．角度与弧度的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝ ⑧ 2π rad＝360° 180°＝ ⑨ π rad＝ ⑩1°＝180πrad≈0.017 45 rad1 rad ＝180()π°≈57.30°3.弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l ＝180n r πS ＝2360n r π弧度制 l ＝ ⑪ S ＝ ⑫参考答案一、①一条射线 ②端点 ③旋转 ④图形 ⑤顶点 ⑥始边 ⑦终边 ⑧逆时针方向 ⑨顺时针方向 ⑩没有作任何旋转 ⑪终边 ⑫ {β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } ○13周角 二、①半径长 ②圆心角 ③弧度制 ④弧度 ⑤正数⑥负数 ⑦1r⑧2πrad ⑨πrad ⑩180° ⑪|α|·r ⑫ 12lr ＝12|α|r 2考法01 任意角引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．（3）角的范围不再限于[0,360]︒︒．（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“∠”，中间的字母表示角的顶点，如AOB ∠，DEF ∠，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为“α”．（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化αβ-为()αβ+-．能力拓展1．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是（ ） A ．30︒ B ．30-︒ C ．60︒D ．60-︒【思路分析】分针60分钟走一圈→计算出分针1分钟走的度数→计算出分针10分钟走的度数→注意角度的正负． 【答案】D【解析】利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又周角为360︒，所以有36026012︒⨯=︒， 即分针走过的角度是60-︒． 故选D ．【跟踪训练】1．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．（2）如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45︒到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120︒到达OC 位置，则AOC ∠= ．【思路分析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间．（2）45AOB ∠=︒→120BOC ∠=-︒→AOC AOB BOC ∠=∠+∠ 【答案】（1）100-︒ 1200-︒ （2）75-︒【解析】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转30︒，分针每小时转360︒，每分钟转6︒、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即133小时，故时针转过的角度数为13301003-⨯︒=-︒；分针转过的角度数为1336012003-⨯︒=-︒．（2）由角的定义可得45(120)75AOC AOB BOC ∠=∠+∠=︒+-︒=-︒．例 1考法02 象限角1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例如：由于图（1）中的角45︒，405︒，315-︒都是始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角480︒是第二象限角，70-︒，290︒都是第四象限角．2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，0︒，90︒，180-︒，630︒等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角．给出下列四个命题：①75-︒角是第四象限角； ②225︒角是第三象限角； ③475︒角是第二象限角； ④315-︒角是第一象限角； ⑤90-︒角是第四象限角． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】把已知角α写成360(,0360)k k αββ=︒+∈︒<︒Z →用象限角的概念判断.【答案】C【解析】利用象限角的概念来判断． 先把已知角α写成360(,0360)k k αββ=︒+∈︒<︒Z 的形式，再判断β是第几象限角， 从而确定α是第几象限角． 所以①②③④都对．90-︒的角的终边在y 轴的非正半轴上，例 2所以90-︒角不是第四象限角． 因此⑤是不正确的． 所以正确的命题的个数是4． 故选C ． 【跟踪训练】判断下列各角分别是第几象限角：670︒，480︒，150-︒，45︒，405︒，120︒，240-︒，210︒，570︒，310︒，50-︒，315-︒．【解析】45︒，405︒，315-︒是第一象限角； 120︒，480︒，240-︒是第二象限角； 210︒，570︒，150-︒是第三象限角； 310︒，670︒，50-︒是第四象限角．考法03 终边相同的角1．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360S k ββα==+︒，}k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．象限角的分类及表示方法如下：36090360,}k k α︒<<︒+︒∈Z 90360180360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z |180360270360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z 270360360360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z3．设{|45360,}S k k ββ==︒+︒∈Z ，显然，所有与45︒角终边相同的角都是集合S 的元素；反过来，集合S 中的任何一个元素也都与45︒角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360,}S k k ββα==+︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．利用与角α终边相同的角的集合，可把任意角β转化成360k βα=+︒，k ∈Z ，0360α︒<︒的形式；也可利用与角α终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角α终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在0︒~360︒范围内，第一象限角表示为090α︒<<︒，然后在两端加上360k ︒，k ∈Z ，即可得到第一象限角的集合：{|36036090k k αα︒<<︒+︒，}k ∈Z ，其他各象限角同理可得．若α为象限界角，如终边落在x 轴的负半轴上，代表角为180︒，所以终边落在x 轴的负半轴上的角的集合为{|360180k αα=︒+︒，}k ∈Z ．同理可得其他非象限角的集合．已知1910α=-︒．（1）把α写成360(k k αβ=+︒∈Z ，0360)β︒<︒的形式，并指出它是第几象限角；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且7200θ-︒︒．【思路分析】用所给角除以360︒，将余数作为β即可．注意负角除以360︒时，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值． 【解析】（1）∵19103606-︒÷︒=-余250︒， ∴19106360250-︒=-⨯︒+︒， ∴相应的250β=︒，是第三象限角． ∴6360250α=-⨯︒+︒是第三象限角． （2）令250360()k k θ=︒+︒∈Z ， 取1k =-，2-，则250360110︒-︒=-︒，250720470︒-︒=-︒． ∴与α的终边相同，且适合7200θ-︒︒的角θ为110-︒角，470-︒角．【跟踪训练】与457-︒角终边相同的角的集合是（ ）A ．{|360457k αα=︒+︒，}k ∈ZB ．{|36097k αα=︒+︒，}k ∈ZC ．{|360263k αα=︒+︒，}k ∈ZD ．{|360263k αα=︒-︒，}k ∈Z【思路分析】用所给角除以360︒，将余数作为β即可．注意负角除以360︒时，为保证余数为正角． 【答案】C【解析】题目考查终边相同的角的表示方法，可用特殊值法研究，也可用定义分析解决，由4572360263-︒=-⨯︒+︒，可得给论为C ，或者由457-︒角与97-︒角终边相同，97-︒角与263︒角终边相同，263︒角应与360263k ︒+︒角终边相同，故应选C ．考法04 角度与弧度之间的互化1．将角度化为弧度3602π︒=rad ；180π︒=rad ；π1rad 0.01745180︒=≈rad ． 2．将弧度化为角度2π rad=360︒；π rad 180=︒；1801rad ()57.305718π'=︒≈︒=︒ ．【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如sin 2是指sin （2弧度）；π180=︒是指π弧度180=︒．以度为单位表示角时，度就不能省去．（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π化成小数，如π454︒=弧度，不必写成450.785︒≈弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了．（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad 180=︒是关键，由它可以得到：角度π180⨯︒=弧度，弧度⨯180π︒=角度． 1．将下列角度与弧度进行互化：（1）20︒；（2）15-︒；（3）7π12；（4）11π5-．【思路分析】利用公式1°＝180π rad 或1 rad ＝180π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭进行换算． 【解析】（1）20π20π1809︒==； （2）15π15π18012-︒=-=-； （3）7π7π1807()(180)1051212π12=⨯︒=⨯︒=︒； （4）11π11π18011()(180)39655π5-=-⨯︒=-⨯︒=-︒． 【跟踪训练】（1）300-︒化为弧度是（ ）A ．4π3- B ．5π3-C ．7π4- D ．7π6-（2）8π5化为角度是（ ） A ．270︒ B ．280︒ C ．288︒D ．318︒【思路分析】利用公式1°＝180π rad 或1 rad ＝180π⎛⎫⎪⎝⎭进行换算．【答案】B C 【解析】（1）∵π1180︒=rad ， ∴π5π300300 rad rad 1803-︒=-⨯=-．故选B ． （2）∵1 rad 180()π=︒，∴8π5 rad 8π180()2885π=⨯︒=︒，故选C ．考法05 弧长与面积公式1．弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则lrα=，变形可得l r α=，此公式称为弧长公式，其中的α是弧度角．2．扇形面积公式因为圆心角为1 rad 的扇形面积为22π12π2r r =，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为lr rad ，所以其面积为2122l r S lr r =⨯=，将l r α=代入上式可得21122S lr r α==，此公式称为扇形面积公式．显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单的多，记忆和应用也就更加方便．已知一个扇形的周长为8π49+，圆心角为80︒，求这个扇形的面积． 【思路分析】先根据扇形的周长等于弧长加两个半径长列出方程，求出半径的长度，再用扇形的面积公式计算．【解析】设扇形的半径为r ，面积为S ， 则扇形的圆心角为π4π801809⨯=． ∴扇形的弧长为4π9r ，∴4π8π2499r r +=+， ∴2r =．∴214π8π299S r ==． 即扇形的面积为8π9．【解题技巧】求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．【跟踪训练】直径为20 cm 的圆中，求弧度为4π3的圆心角所对的弧长及该扇形的面积． 【思路分析】先用弧长公式求出弧长，再用扇形的面积公式求出扇形的面积． 【解析】因为直径为20 cm ， 所以10r =cm ，又4π3α=， 所以弧长4π40π1033l r α==⨯=（cm ）， 面积1140π200π102233S lr ==⨯⨯=（2cm ）．题组A 基础过关练1．已知扇形的弧长l 为23π，圆心角α为3π，则该扇形的面积S 为（ ） A ．6π B ．23πC ．43πD ．3π【答案】B 【解析】扇形的圆心角α为3π，弧长l 为23π，∴扇形的半径2l r α==，∴扇形的面积112222233S lr ππ==⨯⨯=． 故选：B ．2．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）分层提分A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B【解析】扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B3．与20-︒终边相同的角是（ ） A ．340-︒ B ．170°C ．20°D ．340°【答案】D【解析】与20-︒终边相同的角一定可以写成36020k ⨯︒-︒的形式，k Z ∈， 令1k = 可得，20-︒与340︒终边相同，其它选项均不合题意，故选：D ．4．如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（ ）A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°【答案】C【解析】一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为3603012︒=︒，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为305150︒⨯=︒ 故选：C5．装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（ ） A ．55厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B【解析】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B 6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位的单位制叫做密位制．在角的密位制中，采用4个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数和十位数之间画一条短线连接（不足100密位的角用0补全百位和十位），例如7密位写成“007-”，2021密位写成“2021-”，1周角等于6000密位，记作“6000-”．如果一个半径为2的扇形的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B【解析】设扇形半径为r ，圆心角为α，则扇形面积为221172226r ααπ=⋅=， 则7π12α=，则其表示的密位为()726000175012ππ÷⨯=，即17-50.故选：B 7．密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-.如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（ ） A ．25-00 B ．35-00C ．42-00D ．70-00【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则217223απ⨯=，则76απ=，由题意可知，其密位大小为76600035002ππ⨯=密位，用密位制表示为35-00.故选：B.8．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D【解析】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．题组B 能力提升练1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S 的比值为510.6182≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C ．2(51)απ=D ．12512αα-=【答案】BCD【解析】设扇形的半径为R ，由211122221512122R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，22512απ-+=，解得)251απ=，故C 正确；510.618-≈51 1.236≈， 所以)251 1.236180222.5απ=-≈⨯≈，所以1360222.5137.5α≈-=︒，故B 正确.故选：BCD 2．下列说法错误的是（ ） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．60角与600角是终边相同角 C ．钝角一定是第二象限角D ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为3π 【答案】AB【解析】A 中，第二象限角比第一象限角大不正确，如100︒是第二象限角，400︒是第一象限角； B 中，因为60036060,k k Z ︒≠⋅︒+︒∈,所以60角与600角终边不同，故错误；C 中，因为钝角的范围为(,)2ππ，所以钝角是第二象限角，故正确；D 中，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为3π正确.故选：AB 3．关于角度，下列说法正确的是（ ） A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒ B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角 【答案】BD【解析】对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是60-︒，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90︒，是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，角α的终边在第二象限，π2π2ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ， ππππ422k k α∴+<<+， 当k 为偶数时，ππ2π2π422n n α+<<+，n ∈Z ，得2α是第一象限角；当k 为奇数时，()()ππ21π21π422n n α++<<++，n ∈Z ，得2α是第三象限角，故正确．故选：BD4．如图，扇形AOB 的圆心角为60，半径为6，记弓形ACB 的面积为1S ，扇形AOB 的面积为2S ，则12S S =______．【答案】2332ππ-【解析】扇形AOB 的面积2260π66π360S ，弓形ACB 的面积1216π6336π932OABS S S △， 则1269323362S S ππππ--==， 故答案为：2332ππ-.5．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，聚头散尾.如图，某折扇的扇骨长度15cm OA =，扇面长度10cm AB =，已知折扇展开所对圆心角的弧度为32，则扇面的面积为___________.【答案】2150cm【解析】由题可知，扇面的面积为2221313155150cm 2222⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：2150cm . 6．与2021︒终边相同的最小正角是___________.【答案】221︒【解析】因为202118002215360221︒=︒+︒=⨯︒+︒，所以与2021︒终边相同的最小正角是221︒.故答案为：221︒.7．在与角2010-︒终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）720~720-︒︒内的角．【答案】（1）150α=︒；（2）210α=-︒；（3）570α=-︒、210-︒、150︒、510︒. 【解析】20103606150-︒=-︒⨯+︒ 150∴︒和2010-︒终边相同其余的终边相同的角度可以写成360150()k k Z α=︒+︒∈ （1）当0k =时是最小的正角，150α=︒； （2）当1k =-时是最大的负角，210α=-︒；（3）当2k =-，1-，0，1时，570α=-︒、210-︒、150︒、510︒符合条件． 8．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 （1）133π，（2）263π-，（3）67.5︒，（4）103π-，（5）12π，（6）74π．【答案】（1）780︒；（2）1560-︒；（3）38π；（4）600-︒；（5）15︒；（6）315︒． 【解析】（1）780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， （2）156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度， （3）67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． （4）103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒，（5）12π弧度1801512︒==︒， （6）74π弧度71803154=⨯︒=︒．题组C 培优拔尖练1．若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．笫四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角， 当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角，当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．2．下列命题中正确的是（ ） A ．若角α是第三象限角，则3α可能在第三象限 B ．35cos cos 022ππαα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若tan 0α<且sin 0α>，则α为第二象限角D ．锐角α终边上一点坐标为(cos 2,sin 2)P -，则2απ=- 【答案】ACD【解析】对于A ,角α是第三象限角,即322()2k k k Z ππαππ+<<+∈,所以2121()33332k k k Z αππππ+<<+∈,当3,k n n Z =∈时, 3α为第一象限角; 当31,k n n Z =+∈时, 3α为第三象限角; 当32,k n n Z =+∈时, 3α为第四象限角,故3α可能在第三象限正确,故A 选项正确.对于B ,运用诱导公式化简35cos cos sin sin 2sin 22ππααααα⎛⎫⎛⎫-++=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 选项不正确. 对于C ,若tan 0α<,则α为第二象限角或者第四象限角,若sin 0α>,则α为第一象限角或者第二象限角,同时满足tan 0α<且sin 0α>,则α为第二象限角,故C 选项正确. 对于D ,因为锐角α终边上一点坐标为(cos 2,sin 2)P -,由三角函数定义可得sin 2tan tan 2tan(2)cos 2απ==-=--,又因为02πα<<，所以2απ=-,故D 选项正确.综上ACD 选项正确.故选ACD3．在北纬60圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【答案】3Rπ 【解析】设甲、乙两地分别为,A B ， 北纬圈所在圆的半径为2R ， 它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于2Rπ（R 为地球半径）， 22RRπθ=⨯（θ是两地在北纬60圈上对应的圆心角）， 故θπ=. 所以线段22RAB R =⨯= 设地球的中心为O ，则AOB ∆是等边三角形， 所以3AOB π∠=，故这两地的球面距离是3Rπ. 4．如图，已知长为3dm ，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【答案】()()9236l dm π+=， ()274S dm π=．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()131dm 22l AB πππ=⨯=⨯+=，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=．在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯=⨯=， 面积()232131323dm 2332S A D πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 综上，点A 走过的路程()()1239233dm 236l l l l ππππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424S S S S ππππ=++=++=． 5．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．【答案】（1）3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）45πcm . 【解析】（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍，不妨设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈， 则()1807k k Z α=⋅∈，()1807m m Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩，所以()()77427742k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =，即3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=，因为圆的半径为1cm ，所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 6．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝ (cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.。
初高衔接知识第一讲：数与式的运算(含练习+参考答案)
第一讲：数与式的运算班级：______姓名：__________问题一、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 （1）化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．（2）利用绝对值的几何意义求13x x -+-的最小值．问题二、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式： （2）立方差公式（3）三数和平方公式 （4）两数和立方公式（5）两数差立方公式例1 （1）计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．（2）已知1x y +=，求333x y xy ++的值．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．问题三、二次根式0)a ≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例 1 化简：（1； （21)x <<．例2 试比较下列各组数的大小：（1（2问题四、分解因式例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋x －(a 2－a )；（3）321x x -+参考答案问题1例1 当1352x <<时，原式5213318x x x =-+-=- 当132x ≥时，原式52138x x x =--+=-例2当1x ≤时，原式1324x x x =-+-+=-+，当1x =时，有最小值2当13x <<时，原式=132x x --+=，恒为2当3x ≤时，原式1324x x x =-+-=-，当3x =时，有最小值2综上所述，最小值为2问题2例1原式()()336111x x x =+-=-例2()33223+331x y x x y y x y =+++=()3331x y xy x y ∴+++=代入1x y +=得3331x y xy ++=问题3例11.原式2= 2.原式11x x x x =-=- 例31.==1010=2.==> 问题四例11.原式()()12x x =--2.原式 ()()221x a x a x a x a =-++=+-+3.原式()()()2111x x x x x x ⎛=-++=-+ ⎝⎭⎝⎭高一数学衔接知识讲义一练习班级：________姓名：_________1．下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±2．计算 （ ）（A （B （C ） （D ）3= （ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<4=________；5．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．6．不等式13x ->的解为_________________；||x x >的解为___________________；7．利用绝对值的几何意义写出|1||3|x x ---的最大值为___________；最小值为______________；8．化简：20042005⋅=_______________________；9．因式分解324x x --=___________________________；10．若1,1x y xy +==-，则33x y -=__________________． 11．若2220x xy y +-=，求22223x xy y x y +++的值12．解方程22112()3()10x x x x+-+-=．参考答案1-3 D C D4-10 1；>；4x >或2x <-，0x <；2，-22(2)(22)x x x -++；± 11 解：222(2)(-)0x xy y x y x y ++=+=；x y =或2x y =-；当x y =时，原式=22223522x x x x ++=； 当2x y =-时，原式=2222246145y y y y y -+=-+； 综上所述：15-或5212 解：22211()2x x x x+=+-； 令1t x x =+；则22350t t -+=； (25)(1)0t t -+=；152t =，21t =-； 当152x x +=时； 25102x x -+=； 259()416x -=； 12x =，212x =； 当11x x +=-时； 210x x ++=，30∆=-<，无解；综上所述：12x =，212x =。
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课后练习
1．填空：
（1） （ ）；
（2） ；
(3) ．
（4）若 ，则 的值为________
（5）若 ，则 ______________
（6） ， ，则 ________________
（7）若 ，则 _______________
（8）若 ，则（ ）
变式练习:
（1）x2-6x+5 （2）x2+15x+56 （3）x2+2xy-3y2（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12
【典型例题—3】：其它因式分解的方法
（1）配方法
例22.分解因式 变式:（1）x2+12x+20 （2）a4+a2b2+b4
（2）拆项法(选讲）
例23.分解因式
（3）其它方法（选讲）
∵ ，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式 型的因式分解
由 ，我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 。
如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
第1讲 数与式
教学目标
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
重点、难点
乘法公式与因式分解
二次根式与分式
考点及考试要求
1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
教学内容
知识框架
知识点一：乘法公式
【内容概述】
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
（1） 型的因式分解
例18.把下列各式因式分解：
(1) (2)
例19.把下列各式因式分解：
(1) (2)
例20.把下列各式因式分解：
(1) (2)
（2）一般二次三项式 型的因式分解
例21.把下列各式因式分解：(1) (2)
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) (2)
变式：分解因式：(1) (2)
【典型例题—2】：分组分解法
【内容概述】
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．
②分母中有根式(如 )，或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．
化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)．
【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。
A． B． C． D． 是任意实数
变式2:若 ，则 的值是()
A．－３B．３C．－９D．９
变式3：计算
【说明】
1、二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2、二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
例4.计算：（1）
例5.已知 ，求 的值．
例6.已知 ，求 的值．
变式1:计算： ．
变式2:已知 ， ，求 的值．
知识点二、根式
【内容概述】
式子 叫做二次根式，其性质如下：
(1) (2)
(3) (4)
【典型例题—1】：基本的化简、求值
例7.化简下列各式：(1) (2)
例8.计算
变式1:二次根式 成立的条件是()
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
【典型例题—1】：公式法(立方和、立方差公式)
【内容概述】
我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
例9.计算：（1） (2)
例10.设 ，求 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】：分式的化简
例11.化简 例12.化简
【典型例题—2】：分式的证明
例13.（1）试证： （其中n是正整数）；
（2）计算： ；
（3）证明：对任意大于1的正整数 ，有 ．
【典型例题—3】：分式的运用
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（ ）
（A）１ （B） （C） （D）
概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：
（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
（1）分组后能提取公因式
例16.把 分解因式。变式：把 分解因式。
（2）分组后能直接运用公式
例17.把 分解因式。变式：把 分解因式。
【典型例题—3】：十字相乘法
【内容概述】
（1） 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
【公式1】
【公式2】 (立方和公式)
【公式3】 (立方差公式)
【公式4】 （请同学证明）
【公式5】 （请同学证明）
【典型例题—1】：
例1.计算： 例2.计算：
例3.计算(1) (2)
变式1：利用公式计算
（1） (2)
变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1） （2） （3） （4）
【典型例题—2】：
（A） （B） （C） （D）