8-两立体相贯
【精品】两立体表面的交线称为相贯线
§5-2 相贯线一、概述两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。
三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。
盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。
它们的表面（外表面或内表面）相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。
讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。
工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。
（一）相贯线的性质由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质：1.共有性相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。
2.封闭性由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。
在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。
3.相贯线的形状平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。
平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。
应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。
最常见的曲面立体是回转体。
两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线（如图5-15a），特殊情况下是平面曲线（如图5-15 b）或由直线和平面曲线组成（如图5-15c ）.(二)求相贯线的方法、步骤求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。
求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。
具体作图步骤为：（1）找出一系列的特殊点（特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点）；（2）求出一般点；（3）判别可见性；（4）顺次连接各点的同面投影；（5）整理轮廓线。
【精】制图—两立体相贯
b （5）补全投影轮廓线。
c
1
3
4
6
2
5
b
6
【例4】求三棱锥与三棱柱的相贯线。
作业：P57
e'
f'
g'
a'
1' 2'
s'
c'
5'
6' 4'
b'
3'
e b
3
4
a
1
2
f 5(6)
g s
c
7
【例5】求带穿孔的四棱柱的投影图。
1
2
4
3
1
3 2(4)
2
4
1(3)
8
• 3—49 求三棱柱与三棱锥的相贯线
• 3—50 求四棱柱与三棱锥的相贯线
10
【例1】求三棱柱与圆锥的相贯线。
平面立体三棱 柱的侧面投影 积聚,利用在圆 锥表面上取点 的方法求解
67 4
b
5
6 （7 ）
b
4（5 ）
2
3
1
2（3 ） 1
c
a
8
10 9
a（c ）
8 （9 ）
10
8
9
c
6 4
7 5
b
2
3
1
10
a
11
12
【例2】求平面立体与曲面立体的相贯线。
3' 1' 6'
7 5(6) 3(4) 1(2)
6" 4"
2"
7" 5" 3"
1"
第七章 两立体相贯
1．平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 2．例题
1．平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法
相贯线的形状 相贯线是由若干段平面曲线或 平面曲线和直线所组成。各段平面曲线或直线， 就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。 每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的 侧棱与曲面体表面的交点；
（7）整理轮廓线。
二．例题
[例题1] 求两柱形屋面的相贯线
d' b' a' e' c' b"(c')
a"
d"(e")
d b
a
e
c
[例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线
1' 2' 10' 3' 9' 8' 7' 6' 4' 9" 4" 5" 6" 1" 2" 10"
3"
5'
8" 7"
9 8 7 6 5
3' 4'
1'
QV RV
解题步骤 1"
4"
3"
QW
5'
2'
RW
5"
2" y y
1．分析 相贯 线的三个投影均 未知，可利用辅 助平面法求共有 点； 2 ． 求 出相 贯线 上特殊点Ⅰ 、 Ⅱ 、Ⅲ； 3．求出若干个 一般点Ⅳ 、Ⅴ；
y
1 y
2
5 3 4
4 ． 光 滑且 顺次 地连接各点，作 出相贯线，并且 判别可见性； 5 ． 整 理轮 廓素 线。
画法几何 立体的相贯线
相贯线是立体相交 的公共线投影在平 面上形成交点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线与截面法的联系
相贯线是立体几何中的重要概念表示两个立体相交时产生的公共线。 截面法是研究立体几何的重要方法通过截面可以直观地看到立体的形状和结构。 相贯线与截面法密切相关截面法可以帮助我们更好地理解和分析相贯线。 相贯线与截面法的结合可以更好地解决立体几何中的问题如立体的体积、表面积等。
立体相贯线的应用实例
第四章
圆柱与圆柱的相贯线
相贯线：两个圆柱体相交时其公共 部分的边界线
相贯线的性质：相贯线是圆柱体的 公共边界线也是圆柱体的截面线
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应用实例：两个圆柱体相贯时相贯 线是它们的公共边界线
相贯线的计算：通过计算两个圆柱 体的半径和角度可以计算出相贯线 的长度和位置
投影法需要掌握立体投影的基 本原理和技巧
截面法
截面法原理：通过截面将立体 相贯线转化为平面问题
截面选择：选择合适的截面如 垂直于相贯线的平面
截面求解：在截面上求解相贯 线的投影得到相贯线的方程
相贯线求解：根据截面求解的 结果求解立体相贯线的方程
辅助面法
辅助面法的定义： 通过添加辅助平 面使立体相贯线 在辅助平面上投 影从而求解立体 相贯线
平面相贯线：两个 平面相交形成的相 贯线
曲面相贯线：两个 曲面相交形成的相 贯线
空间相贯线：两个 空间相交形成的相 贯线
组合相贯线：多个 立体相交形成的相 贯线
画法几何及机械制图-两曲面立体表面的交线
b' a' 1'6' 4'
5' 2' 3'
6” (4”)
1” 5”
2”
3”
1
a 5b 6 4
P4H
(3)
2
作图： (1)选辅助面(正平面); (2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点; (3)求中间点；
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
d'
c'
1'6' 4' 5' 2' 8'
最小球面半径球心或者是
球心到两回转面轮廓交点中较
近的一个交点的距离，或者是
O
内切于较大的回转面的球面半
径，如图中的R2。
§8-3 两曲面立体表面的交线
三、辅助球面法
辅助球面法求立体表面的相贯线的适用条件：
1.参与相贯的必须都是回转体，一般要求轴线相交； 2.两轴线同时平行于某一投影面。
例4 用球面法求相交两圆柱的相贯线。
圆柱体上 的交线
§8-3 两曲面立体表面的交线
共有点
圆台上 的交线
二、辅助平面法
辅助平面的选择：应使该平面与两立体表面交线的投影简 单易画(如投影为圆或多边形)，而且两条交线要相交。
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
基本回转体上的辅助平面选择：
1.圆柱体：
平行或垂直于轴线；
2.圆锥体：
d'
c'
1'6' 4' 5' 2' 8'
3'7'
6” (4”8)”
立体相贯线的概念
立体相贯线的概念立体相贯线是指在三维空间中，两个物体或曲面相互穿过的交线。
在几何学中，线是一个只有长度没有宽度的几何物体，而在三维空间中，我们可以将线延展成线段、直线或射线。
交线是指在空间中相交的两条直线，它们交汇在一点上，或者平行于彼此，或者重合。
在立体几何中，相贯线则是指两个物体或曲面在空间中相互穿过并形成的交线。
立体相贯线在数学和工程学中具有重要的意义，它们可以帮助我们理解物体在空间中的位置、方向和相对位置关系。
同时，立体相贯线也是很多几何问题的重要思维工具，通过对相贯线的研究，我们可以解决很多实际问题，比如工程测量、建筑设计、建筑结构分析等。
立体相贯线的研究涉及到空间几何、立体几何和向量等数学专业知识。
在几何学中，我们能够利用向量和坐标等工具来描述和分析立体相贯线。
利用向量，我们可以求出两个物体或曲面的交点，从而确定相贯线的位置和方向。
同时，在坐标系中，我们可以利用方程和计算方法来求解相贯线的交点和交线方程。
通过这些工具，我们能够对立体相贯线进行详细的分析和研究。
在工程学中，立体相贯线的概念和方法被广泛地应用于各种工程项目中。
比如在土木工程中，我们需要通过对地形的测量来确定道路、桥梁、隧道等建筑物的位置和方向。
这就需要利用立体相贯线的概念和方法来测量地形和建筑物的位置。
在建筑设计中，我们也需要对建筑物的结构和位置进行分析和设计，而这也需要用到立体相贯线的相关知识。
通过对立体相贯线的研究和应用，我们能够更好地理解和分析空间中的物体位置和结构，从而实现更加精准的设计和测量。
除了在工程学中的应用，立体相贯线的研究也对我们理解物体在空间中的相对位置关系以及物体的交错关系具有重要意义。
通过对相贯线的研究，我们可以了解物体之间的交错和交叉情况，从而更好地理解空间的结构和形态。
这对我们的空间思维和空间想象能力有着很大的帮助，也促进了我们对于空间问题的解决和理解。
总的来说，立体相贯线是指在三维空间中，两个物体或曲面相互穿过的交线。
第四章(3)相贯线
3 立体与立体相交3.1概述两立体相交，通常称两立体相贯。
它们表面产生的交线称为相贯线。
相贯线的一般性质◆相贯线在立体的表面上——表面性◆相贯线是两立体表面的共有线——共有性◆相贯线通常是封闭的——封闭性相贯线的分类➢平——平相贯➢平——曲相贯➢曲——曲相贯按立体形状➢全贯➢互贯按相对位置全贯——一立体完全穿入另一立体，相贯线有两条。
互贯——两立体互相贯穿，相贯线只有一条。
求相贯线的一般步骤：◆分析两立体（形状、大小、相对位置）◆定性判别相贯线的形状◆求特殊点轮廓线上的点曲线的特征点极限位置点转折点◆求一般点◆判别可见性，连线◆整理轮廓线解题前应先分析两立体共有哪些棱面、棱线及底边参与了相贯，以避免作图的盲目性。
3.2两平面立体表面相交相贯线的形状封闭的空间折线平面多边形相贯线的求法截交线法贯穿点法s'sca blmna' c'b'l'm'n'lm nl'm'n's'scaba' c'b's 'scablmn a 'c 'b 'l 'm 'n '连线规则：➢只有位于甲立体同一表面上，同时又位于乙立体同一表面上的两点才能相连。
➢同一棱线上的两点不能相连。
11'22'33'44'55'66'3'6'456c 's 'scablmn a 'b 'l 'm 'n '11'22'34'5'可见性判别：只有既在甲立体表面上可见，同时又在乙立体表面上可见，交线才可见。
即只有两立体的可见表面相交，交线才可见。
3'1'3(4)c 's 'sablm na 'b 'l 'm 'n '5'56122'4'6'kk 'lm nl 'm 'n 'l "(n ")m "p "q "r "p 'q 'r 'pq(r)(2)5'511'2'3'4'6'kk '(6)(4)33"4"1"(5")2"(6")lm nl 'm 'n 'l "(n ")m "p "q "r "p 'q 'r 'pq(r)(2)5'511'2'3'4'6'(6)(4)33"4"1"(5")2"(6")解题前应先分析平面立体有哪些棱面参与了相贯，以避免作图的盲目性。
相贯线
2 半剖视图
适用范围：要求物体具有对称面；或接近对称且不对称部分 另有视图表示时；
视图与剖视之间应以 点划线分界； 半剖中已表达清楚的 结构，在半个视图的虚 线可不画；
3.局部剖视图
适用范围：仅有部分内部结构需要表达；或不宜画成全剖视 图或半剖视图的情况；
注意：剖视与视图的分界线为波浪线； 剖切范围不要过于零乱
相贯的画法
相贯---两立体（回转体）表面相交，其交线称为相贯线。
1、相贯线的性质：共有性、封闭性
相贯线是相交两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。 由于立体均具有一定的范围，所以相贯线一般由封闭的空间线段组成。
相贯线的形状取决于立体的几何性质、相对大小以 及它们的相对位置。
x a y b r 2 2 2 y c z d r2
2
消去y得相贯线V面的投影的曲线方程
3）有公共内切球--柱锥相贯
4）两柱轴线平行
5）两锥共顶
影响相贯线形状的因素
影响相贯线的空间形状有 三个因素：相贯两曲面立 体的表面性质、相对位置、 尺寸大小。
正交两圆柱当直径相对变化时对相贯线形状的影响
两圆柱尺 寸关系
相贯线 的特点
水平圆柱直径大
两圆柱直径相等
A-A
A A A A A
3.旋转剖切 用两个相交的剖切面剖切
注意: 1)必须标注 2)两剖切面的交线应通过物体的回转轴线 3)先剖切、转平后再投影 4)一般用于盘类零件
当剖切后产生不完整的要素时，应按不剖绘制；
4.用组合的平面剖切—复合剖
复合剖可采用展 开画法，这时需 注明：x - x展开
5.用圆柱面剖切
求出特殊点1’和2’ 求出特殊点3’（4’） 过点1’、3’和2’作垂 直平分线，交点为 圆心O 以O为圆心画圆弧， 取代相贯线的投影。
两立体相贯
两回转面的轴线相交。因为用两轴线的交点作为球心，才能保
证球心同时位于两回转面的轴线上。
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
用辅助平面法求水平 一般辅助球面求一般点 求特殊位置点 最大辅助球面 最小辅助球面 转向轮廓线上的点
三、 辅助
平面
立 体 的 投 影
判断可见性，整理轮廓
例：如图所示，已知立体的正面投影和水平投影，求作 侧面投影。
三、
立 体 的 投 影
分析： 1，立体空间位置分析； 四棱柱的内部被两个相互垂直的 三棱柱穿过。垂直的三棱柱通孔 由两个铅垂面和一个正平面组成， 水平的三棱柱通孔由两个正垂面 和一个水平面组成。
求相贯线的投影：
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
立 体 的 投 影
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 7” 1’ 1”
2”
3”
立 体 的 投 影
4”
6”
5”
1 7 2 6 3 4 5
1，表面取点法 思考题：补全主视图。
三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
原则：
使辅助面与两已知曲面所截出交线的投影时 简单易画的圆或直线。
一般采用平行或垂直于圆柱轴线的辅助平面 一般采用垂直于圆锥轴线或过锥顶的辅助平面
圆柱体
圆锥体 圆球体
一般采用平行于投影面的辅助平面 它们轴线相交且同时平行于某投影面时， 可选球面作辅助面
§ 3-5 两立体相贯 三、
立体的相贯线画法几何课件
第十一章立体的相贯线§11-1概述§11-2平面立体与平面立体相贯§11-3平面立体与曲面立体相贯§11-4曲面立体与曲面立体相贯§11-1概述1.相贯线——两立体表面的交线。
相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
2.相贯线的性质——是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
3.相贯线的形式——随着立体形状、大小和相对位置的不同而不同。
§11-2 平面立体与平面立体相贯一、两平面立体的相贯线二、求两平面立体相贯线的方法三、相贯线可见性的判别原则四、例题一、两平面立体的相贯线两平面立体的相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
二、求两平面立体相贯线的方法第一种方法求各侧棱对另一形体表面的交线，然后把位于形体1同一侧棱面又位于形体2同一侧棱面上的两点，依次连接起来。
第二种方法求一形体各侧棱面与另一形体各侧棱面的交线。
三、相贯线可见性的判别原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，才是可见的。
例题平面立体与平面立体相贯1平面立体与平面立体相贯2平面立体与平面立体相贯3平面立体与平面立体相贯4屋脊线斜脊线天沟线平面立体与平面立体相贯5§11-3平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯时，相贯线由若干段平面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。
例题平面立体与曲面立体相贯1a" aa" aa" a平面立体与曲面立体相贯4平面立体与曲面立体相贯5平面立体与曲面立体相贯6平面立体与曲面立体相贯7平面立体与曲面立体相贯8平面立体与曲面立体相贯9平面立体与曲面立体相贯10§11-4 两曲面立体相贯一、两曲面立体相贯线的性质二、相贯线的三种基本形式三、两曲面立体相贯线的求法四、相贯线上共有点的求法五、例题六、相贯线的特殊情况一、相贯线的性质1 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。
相贯体-相贯线
同坡屋面
• 同坡屋面脊线的投影规律
(1)同坡屋面前后檐口线平行且等高时，前后坡面 必相交于水平的屋脊线； (2)檐口线相交的两个相邻坡面，必相交成斜脊线 或天沟线。
一般每一顶点均由三条线相交而成
斜脊
斜脊 正脊
天沟
正脊 天沟
天沟
斜脊 正脊
方亭
• 同坡屋顶具有下列一些特点： • １、如屋檐平行的两屋面相交，它们一定相交于水 平的屋脊，其水平投影与两屋檐的水平投影等距。 • ２、凡是屋檐相交的两屋面必相交于倾斜的屋脊或 天沟，其水平投影应通过两屋檐水平投影的交点而 且 是它们的角平分线。如果两屋檐正交，则在水平 投影中斜脊或天沟成为与屋檐成45°角的直线。 • ３、当屋顶上有两条交线时，表明这是由三个平面 相交而得出的，而三相交平面的三条交线必共点， 所以过两交线的交点一定有第三条直线存在。当相 邻两屋檐相交成直角时，连续三条屋檐中必有两条 屋檐相互平行，所以在一般情况下，上述三条交线 中一定有一条是水平的屋脊，另两条为倾斜的斜脊 或天沟。
二、曲面立体相贯的三种基本形式
1． 两外表面相交； 2． 外表面与内表面相交；
3． 两内表面相交。
三、求曲面立体相贯线的方法
1．表面取点法
2．辅助平面法
[例题3]
a' d' c'
求两圆柱的相贯线
b' e' a" b" d" e" c"
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影 和侧面投影已知，可利用表 面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点A、 B、 C； 3 求出若干个一般点D、E； 4 光滑且顺次地连接各点， 作出相贯线，并且判别可见 性；
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圆柱与圆锥的相贯线（辅助平面法）
PV QV RV
选辅助平面的原则： 要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线
或圆,常用的辅助平面为
• 一、两平面立体相贯
• 二、平面立体与曲面立体相贯
• 三、两回转体相贯 •
两立体相交的形式
相贯线
两个几何体相交，其表面交线称为相贯线。
相贯线的性质：
（1）相贯线是两个立体表面共有点的集 合，也是两立体表面的分界线； （2）一般情况下，两回转体的相贯线是 封闭的空间曲线，特殊时是平面或直线； 两平面立体的相贯线是封闭的空间折线， 平面立体与曲面立体的相贯线为封闭的带 折点的空间曲线，特殊时为平面或直线。
求相贯线的方法： 求相贯线的实质即是求两回转体表面一系列共有点，然
后依次光滑地连接即为相贯线。---两回转体相贯 两平面立体相贯、平面立体与回转体相贯？ 方法：积聚性和辅助平面法。
例题8-1两平面立体相贯示意图
例8-1-1
例题8-2----平面立体与曲面立体相贯
例题8-2-1
作图方法： 1.求特殊位置的点 2.求一般位置的点 3.将同一平面上的点光滑
连接
两回转体相贯时利用积聚性求相贯线
当两圆柱体的轴线正交时，相贯线的两面投影具有积 聚性，并且已知其投影，由时可求相贯线的第三面投影。
作图方法（1）求特殊点；（2）求一般点； （3）顺次光滑连接各点，即得相贯线的正面投影。
例8-3 两回转体相贯
两回转体相贯时利用辅助平面法求相贯线
辅助平面法原理：用一辅助平面与两回转体同 时相交，辅助平面分别与两回转体相交得两组截交 线，这两组截交线的交点为相贯线上的点。