平面向量(学案)

平面向量单元（学案）

1．若向量=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则等于（ ）

A ．2321+-

B ．2321-

C ．2123-

D ．2

123+- 2．若取两个互相垂直的单位向量 i ， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b 的数量积等于（ ）A ．–45 B ．45 C ．–1 D ．1

3． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（-）·（+-2OA ）=0，则ΔAB C 的形状一定

为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形

4．下面的四个命题：①||||||=⋅；②2

22)(b a b a ⋅=⋅；③若⋅=⋅-⊥则)(；

④若||||0b a b a b a -=+=⋅则。其中真命题是（ ）A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④

5．将抛物线742++=x x y 的图象按向量平移，使其顶点与坐标原点重合，则=（ ）

A ．（2，-3）

B ．（-2，-3）

C ．（-2，3）

D ．（2，3） 6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ） ①对于实数m 和向量m m m -=-)(,,恒有；②对于实数m, n 和向量n m n m -=-)(,恒有； ③若R m m m =∈=则有),(。④若n m R n m n m =≠∈=则有,,,(。A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个

7．已知12,5||,3||=⋅==且，则向量在向量上的投影为（ ）A ．

5

12B ．3C ．4 D ．5 8．已知向量=（3，-2），=（-5，-1），则21等于（ ） A ．（8，1） B ．（-8，1） C ．（4，-

21） D ．（-4，21） 9．已知|p |=22，|q |=3，p ，q 的夹角为4

π，则以a =5p +2q ，b =p -3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15 B ．15 C ．14 D ．16

10．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a =3e 1+2e 2，b =-3e 1+4e 2，则a ·b 等于（ ）A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2

11．若|a |=|b |=1，a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直，则实数k 的值为（ ）A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3

12．设a 、b 、c 为平面向量，下面的命题中：①a ·（b -c ）=a ·b -a ·c ；②（a ·b ）·c =a ·(b ·c )；③（a -b ）2=|a |2-2|a |·|b |+|b |2；

④若a ·b =0，则a=0或b=0。正确的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

13．已知e 是单位向量，求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =_______.

14．设a =(m +1)i －3j ，b =i +(m －1)j ，(a +b ) ⊥(a －b ), 则m =___ ___.

15．若·+2

= 0，则ΔABC 的形状为 。 16．把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移，得到22x y =的图象，且a ⊥b ，c =（1，-1），b ·c =4，则b = 。

17．已知向量a =e 1-e 2，b =4 e 1+3 e 2，其中e 1=（1，0），e 2=（0，1）。

（Ⅰ）试计算a ·b 及|a + b |的值； （Ⅱ）求向量a 与b 的夹角的大小。

18．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.

（Ⅰ）求证：（a －b ）⊥c ； （Ⅱ）若|k a +b +c |>1（k ∈R ），求k 的取值范围.

19．已知f （A,B ）=22cos 2sin 32cos 2sin 22+--+B A B A 。

（Ⅰ）设A 、B 、C 为ΔABC 内角，当f （A , B ）取得最小值是，求∠C ；

（Ⅱ）当A+B =

2π且A 、B ∈R 时，y =f （A , B ）的图象通过向量p 的平移得到函数y =2cos2A 的图象，求向量p 。

20．平面直角坐标系内有点P （1，cos x ），Q （cos x ，1），]4

,4[ππ-∈x 。 （Ⅰ）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f （x ）；

（Ⅱ）求θ的最值。

21．已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k a |，其中k >0。

（Ⅰ）用k 表示a ·b ；（Ⅱ）求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小。

22．已知：a 、b 、是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（Ⅰ）若||52=，且//，求的坐标；

（Ⅱ）若|b |=

,2

5且2+与-垂直，求a 与b 的夹角θ. BACBA CADAC BC13．－18e 14．－2 15．直角三角形 16．（3，-1） 17．解：（Ⅰ）a =（1，0）-（0，1）=（1，-1），b =（4，0）+（0，3）=（4，3）。 a ·b =（1，-1）·（4，3）=1；|a+b |=|（5，2）|=29。（Ⅱ）102||||cos =⋅⋅=b a b a θ，10

2arccos =θ。 18．解（Ⅰ）,1||||||===c b a 且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，

0120||||120cos ||||)(=-=⋅-⋅=⋅-∴ ocs c b c a c b c a c b a …3分

c b a ⊥-∴)(. （Ⅱ）,1||,

1||2>++∴>++c b ka c b ka 2()()1,

2221ka b c ka b c k a a b b c c ka b ka c b c ++⋅++>∴⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅> 21cos120,20,2a b a c b c k k ⋅=⋅=⋅==-∴-> 0 2.

k k ∴<>或