幂的运算 常见易错知识点总结

幂的运算 常见易错知识点总结

幂的运算是整式乘除的基础，由于对幂的运算法则理解不够深刻，概念模糊，互相混淆，常会导致各种错误，现就幂的运算中经常出现的失误，分类剖析如下，希望同学们能引以为鉴：

一、同底数幂相乘

例1、计算：（1）；（2）；（3）；

3x x ⋅42)()(x x -⋅-34x x ⋅错解：（1）； （2）=；3303x x

x x ==⋅+42)()(x x -⋅-=-6)(x 6x -（3）=；

34x x ⋅1234x x =⨯分析：（1）是由于把的指数误以为是0导致错误；

x （2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；

6)(x -6x -（3）同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错正解：（1）=； （2）=；3x x ⋅431x x

=+42)()(x x -⋅-66)(x x =- （3）=34x x ⋅73

4x x =+二、同底数幂相除

例2、计算：（1）；（2）；（3）；（4）a a ÷535)()(x x -÷-n n a a 48÷2

2++÷n n x x 错解：（1）=； （2）=；a a ÷5505a a

=-35)()(x x -÷-2)(x -=2x - （3）=； （4）=n n a a 48÷2a 22++÷n n x x 0

0=x 分析：（1）由于把的指数误以为是0导致错误；

a （2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；

2)(x -2x - （3）同底数幂相除，应底数不变，指数相减，而不是指数相除；

（4）（≠0）而不是为0

10=x x 正解：（1）=； （2）=；a a ÷5415a a

=-35)()(x x -÷-22)(x x =- （3）=； （4）=n n a a 48÷n n n x x 448=-22++÷n n x x 1

0=x

三、幂的乘方

例3、计算：（1）；（2）；（3）；

32)(x 25)(a 23)(b -错解：（1）=； （2）=32)(x 532x x

=+25)(a 2552a a = （3）；

623)(b b -=-分析：（1）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数相加；

（2）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数乘方；

（3）偶数次幂应为正，根据乘方的意义 23)(b -)

()(33b b -⋅-=正解：（1）=； （2）=32)(x 632x x

=⨯25)(a 1025a a =⨯ （3）=；

23)(b -)()(33b b -⋅-=6b 四、积的乘方

例4、计算：（1）；（2）；（3）；

32)4(xy -43)(ab -23)3(ab -错解：（1）=； （2）=；

32)4(xy -6312y x -43)(ab -12ab - （3）=；

23)3(ab -923229)3(2b a b a =-分析：（1）系数也应乘方为，而不是3)4(-3

)4(⨯- （2）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此也应4次方；

a - （3）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，的23

b 次方应为，而不是；

23)(b 23b 正解：（1）=；（2）=32)4(xy -63323364)()4(y x y x -=-43)(ab -；

124434)()(b a b a =- （3）=；23)3(ab -6

223229)()3(b a b a =-五、与幂有关的问题

例5、（1） ；（2）如果，则的值为

=-0)2(a 1)

12(2=-+a a a

错解：（1）1； （2）如果，则的值为；

=-0)2(a 1)

12(2=-+a a a 2- 分析：（1）题设中没有指明底数是否为0；

)2(-a （2）考虑问题欠周全，只考虑到指数，而没有考虑到底数，应分情况讨论

正解：（1）当≠0时，1；当=0时，无意义；

2-a =-0)2(a 2-a 0

)2(-a （2）分情况讨论：①指数+2=0，即时，底数≠0，这时值为1；a 2-=a 12-a ②底数=1，即=1时，指数+2=3，这时值也为1；

12-a a a ③底数，即=0时，指数+2=2，这时值同样也为1；

112-=-a a a 所以的取值应为、0、1

a 2- “幂的混合运算”思路点拨

一、基本混合运算的思路

例1 计算：3（x ）－2（x · x ）＋x ·x ＋x

· x · x .465331113203解：原式＝3x －2（x ）＋x ＋x ＝3x .

2483242424评注：对混合运算题目进行运算时，要严格按运算顺序和运算法则进行，计算过程中有同类项时，一定要合并同类项 .

二、去括号的思路

例2 计算：［－（－xy ）］.

234解法一：［ －（－xy ）］＝（－1）4（－xy ）＝（－xy ）

234212212 ＝（－x ）（y ）＝x y

.122121224解法二：［－（－xy ）］＝［－（－x ）y ］

234364 ＝（x y ）＝x y .

3641224评注： 去多重括号有两种方法，一是由外向里一层一层去括号 . 如上面的第一种解

法；二是由里向外一层一层去括号，如上面的第二种解法 .但不管运用哪一种方法，都必须特别注意根据括号前面的符号和乘方的次数确定每一步运算结果的符号 .

三、条件求值问题的思路

例3 已知2x ＋5y －3＝0，求4·32.

x y 解：因为4·32 ＝（2） ·（2 5）＝2

·2＝2，x y 2x y x 2y 5y x 52+又因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，

所以，原式＝2＝8 .

3评注：对于条件求值问题，要注意当给出的代数式中的幂不是同底数幂时，如4·32x ，要先化成同底数幂，再逆用运算法则代入计算 .

y 四、多项式底数运算的思路例4 （x ＋y ）

÷（x ＋y ）.3+m 2解：原式＝（x ＋y ）＝（x ＋y ）.

23-+m 1+m 评注： 底数是多项式时，要把它看作一个不可分割的整体来对待，在整个运算过程和运算结果中这个整体都不分开 .