大跨度空间网架结构优化设计

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满足约束条件 〔+〕 〔- 〕 和 "’" $"" $"’" "$ 式中， 〔1 〕 〔2 〕 （" ） )%# 3" 45 )! （ !% $ "） !$$ （ !% $ "） !$# （ !% # "） !$# …
第 !! 卷 第 & 期
有
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与
研
究
!""# 年 #! 月
大跨度空间网架结构优化设计
简洪平
.南昌有色冶金设计研究院
南昌
//%%%!）
刘光宗
蔡文豪
由敬舜
南昌
（南昌大学工程力学研究所 〔摘
//%%&0）
要〕 在某电厂大跨度空间网架的结构设计中引入优化
设计的概念， 优化时由于设计变量较多， 先后采用了改进的满应 力法和序列二次规划法。 根据实际的结构形式， 编制了改进满应 力法程序和序列二次规划法程序。对实际工程结构优化设计的 结果表明：改进满应力法和序列二次规划法都给出了令人满意 的结果， 相比之下， 序列二次规划法收敛速度较快， 优化结果更 好， 优化设计比原设计节省用钢量 "#$!%# 。 〔关键词〕 空间网架 序列二次规划法 优化设计 设计变量 改进满应力法
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的形式， 将目标函数 # （" ） 和约束条件代 入上式即可把本文优化问题化为上述的二 次规划 问 题 。 且函数的海森 （*+,,-./ ） 矩
要选择一个有效的优化计算方法来求最优 解。根据本文所探讨的是大跨度网架优化 设计问题， 因 此 我 们 采 用 数 值 迭 代 =#>
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方
法： 改进满应力法和序列二次规划法求解。
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网架结构改进满应力法优化设计的计 算步骤可以归纳如下：
式 （0） 、 （3 ） 中， + 为约束条件的个数， ) 为设计变量的个数。
… … …
（" ） ! # （" ） !# 又由于 ，所以海森 " !$(!$& !$& !$( 〔*+,,-./〕 矩阵 ! （" ） 为一实对称矩阵。 本文在用序列二次规划法求解时， 把
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#
（"’" ） 作为二次规划求解的对象， 因 "") & 此在初始点 " 形成的二次规划表示为： 求设计变量 " #* ， 极小化 # （" ） ，
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前言
目前，空间网架结构已经被广泛应用
&
空间网架结构优化设计的数 学模型
进行结构优化设计时，数学模型的优
于大跨度建筑结构中。而网架结构的设计 方法多种多样，传统的设计方法使设计工 作量繁重，同时受时间和费用的限制难以 进行多方案比较，这样往往导致最终的设 计方案并非是最优设计方案。本文在某电 厂大跨度网架的结构设计中引入优化设计 的概念，在对空间网架的杆件截面进行优 化时， 以杆件截面面积作为设计变量， 首先 采用了改进的满应力法，而后为加快收敛 速度，又用序列二次规划法进行了进一步 的优化。 文中给出网架优化设计程序， 通过 工程实例的计算结果，说明文中的优化程 序收敛速度快， 计算结果可靠， 优化设计比 原设计节省材料 "#$!%# 。
为单元的长度。根据节点的位移协调和节 点处的外加荷载与内力之间的平衡可以建 立整个结构的平衡方程： ｛ ［3 ］ #｝ 4｛ 5｝
4
$%- %&’()*+,-./0123
综上所 述 ， 空 间 网 架 结 构 优 化 设 计 求解满足约束条件 （& ） 或 （- ） 的设计变量
" 或 %， 使 目 标 函 数—网 架 结 构 总重量
’ ’ ’
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6
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（& ）
矩阵。 ［- ］ !
4
对于 "’ "’ 的杆件，用受压杆的临界 应力加以约束：
(" $ $ *$
#
*$ $
$
（8 ）
"’ *#%’"’ "+,
。 文献 【#】
（- ）
式 （-） 中临界应力 "+, 的求解方法详见
% +9:$% 对称 ( & ) $ 式中， $! & ) +9:%+9:& +9: & & $ ) +9:%+9:’ +9:& +9:’ +9: ’ * ’ +9:%， +9:&， +9:’ 分别为杆件在总体坐标系 下的方向余弦， (" 为 单 元 的 抗 压 刚 度 ， $
.｛ ,123# ,123$ ,123% 123# 123$
・ 123%｝ （(% ）
因此求得单元节点位移灵敏度
!｛ &｝ 后， !,%
4
" )太远，则忽略泰勒级数展开式中的高次
项将会导致较大的误差。本文采用自适应 运动极限的方法，在每次求解一个近似规 划时都对设计变量的活动范围附加一个限 制。 即：
4
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（ ） ， ，， ， * ’ " "’ .!# $ %%% +
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-
网架结构的优化方法
在建立优化设计的数学模型之后 ， 需
序列二次规划法： （2） 最小， 满 使目标函数 1 % #()， 足约束条件 （ ） ， ，， ， * ’ % "’ .!# $ %%% + （3 ）
（& ） 和 7（ ） 在该点附近作泰勒级数展 % ( & 开， 目标函数 % （& ） 取至二次项， 约束条件 （ ） 取至一次项， 其形式为： ’ ( & （& ） （& ） （& ） （&*& ） % )% $" % $ 8 9 8 8 ! （&*& ）+ （& ） （&*& ） #
8 9 8 8
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Βιβλιοθήκη Baidu
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运动极限的选取 在用二次规划问题代替原来的非线性
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规划问题时，我们采用泰勒级数展开形成 二次规划的标准形式，是对目标函数和约 束条件进行了一定的近似处理，即在当前 点 " )附近作泰勒级数展开，忽略高次项。 但是由于泰勒级数展开具有一定的适用范 围，如果所研究的优化设计点离开当前点
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以网架结构的总重量为目标函数， 表 示为：
・ "# ・
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有
色
冶
金
设
计
与
研
究
第 !! 卷
改进满应力法： （" ） ! !!! $ #" #
#!#
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（# ）
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结构分析
空间网架结构优化设计时，应力约
序列二次规划法： （% ） ! !!! $ #
#!#
# （ ） $ &#
束是设计变量的隐式，因此必须先进行结 构分析，而且结构优化设计过程中需要进 行大量的结构重分析。本文的结构分析采 用空间桁架有限元方法，其计算结果接近 结构的实际受力情况，且具有较高的计算 精度。 对单元可以建立如下平衡方程： ｛ ［- ］ ｛ ,｝ ! #｝
4 6
’ ’
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在空间网架的结构优化设计中，约束 条件主要是应力约束，应力约束主要通过 受拉允许应力或受压临界应力加以控制。 本文的应力约束为： 对于 "’ !’ 的杆件，用受拉允许应力 加以约束：
4
4
4
（5 ）
式 （5） 中， ｛ ,｝ !｛ .# / # ! # . / ! ’ ｝， ｛ ［7］为 单 元 刚 度 #｝!｛ 0 # 1 # 2 # 0 1 2 ｝，
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金
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设
计
与
研
究
第 !! 卷
（" ’" ） %& （" ） "%& （" ） ’ ! % & （" ） （$& ） 式中， !# （" ） "｛ （" ） ( !# ｝ )& !$%
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（" ） ( !% ｝ )& !$%
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（" ） !# （" ） !# … !$$ !$#
它们分别为目标函数 # （" ） 和约束条件 （ ） 在 "! 处 的 梯 度 ， 反映设计变量的变 % & " 化对目标函数和约束条件的影响程度。 而 （" &） 称为目标函数的海森 （*+,,-./ ） 矩 ! （" ） 的二阶导数求得， 其 阵， 由目标函数 #
不满足 重新置换设计变量 <:’:-!
停算判别
根据新的应力走满应力步 < 计算杆 件新的截面面积 < 并计算目标函数
计算优化结果并输出
图!
改进满应力法优化设计流程框图
满足 结束
+4# !"#$%&’
在结构优化设计中，序列二次规划 法 的 数 学 模 型 由 式 506 给 出 ， 其中 % （& ） 和’ （ ） 为 & 的非线性函数， 对此非线性 ( & 函数按泰勒级数展开，使之成为序列二次 规划的标准形式。 假 设 初 始 点 为 & "， 函数
（" ） 或! （% ） 最小， 即： ! 改进满应力法： 使目标函数 ! （" ） 最小， 满足 " #()， 约束条件
（; ）
上式中， ［3 ］ ［- ］为 结 构 的 总 刚 矩 4$ 阵， ｛ 为结构的节点等效荷载列阵。 通过 <｝ 求解方程 （;） 可得到结构的节点位移列 阵 ， 进而可得出单元的节点位移列阵｛ ｛ #｝ #｝， 然后可以求解结构各杆件的内力和应力。 （0 ）
#-! #-!
#-!
#
#
#-!
果接近， 迭代结束。 否则， 重新置换设计变量， 转 到 （#） ， 重新进行迭代。 改进满应力法结构优化设计求解流程见 图 !。
计算各杆件的应力比 < 并计 算整个结构的最大应力比
:’";给定初始设计变量
结构总重量赋初值
结构分析 < 计算杆件在各工 况下的应力
执行射线步 < 计算调整后的 杆件应力和结构的结点位移
收稿日期： !""#$#!$"%
劣将直接影响到优化结果，一个完整的优 化数学模型包括设计变量、目标函数和约 束条件三个部分。
&’! !"#$
在用改进的满应力法优化网架结构 时， 以杆件的截面面积为设计变量， 记为：
* ； 而在用序列二次规划法 ! (｛ ! ! ! &… ! )｝
优化网架结构时， 以杆件截面面积 + " 的倒 数 （," (! - +"） 为设计变量， 记为： # (｛ $! …
第 ! 期
大跨度空间网架结构优化设计
"
・ "# ・
#-! #-!
（!） 给出结构各杆件的初始截面面积 ! "； （#） 进行结构分析， 求出各杆件在工况下的 应力 ! "% 和各杆件的最大应力 ! "；
$ $
!, （/）由式 "," ’ " 计算各杆件的应力比， ［!］
并由式 !" ’"," !," 计算结构各杆的 较， 确定各杆件新的截面面积 !" ； （1） 停算判别， 比较前后两次迭代结果是否 如 接近， 即：!" 2!" !#， # 一般取为 !" 3!" 。
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形式为： … （" ）$ !# % !$$!$% % # % （" ）% !# & " !$#!$% % % … % # % （" ）% !# % !$%!$% &
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把本文的约束条件写成约束函数 % （ $/ & "）
第 ! 期
大跨度空间网架结构优化设计
・ "# ・
阵! （" ） 是半正定的， 因而是凸规划问题， 该问题可用 !"#$" 算法求解。以下介绍 用序列二次规划法进行优化设计时的几个 主要问题。
为：
!" . !"& . ・ !,% & !,%
!"& .｛ ,123# ,123$ ,123% 123# 123$ !,%
#-! #
2# 2+ #$!
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!" ；
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! （&）由式 "" ’ " 计算结构各杆件的应力 ［!］
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（0） 与结构各杆件的截面面积上、 下限比
! # ｛ " ｝ 式计算 "()*； 比， 并由 "()*’()* ［!］
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由式 !," ’"()*!" 计算结构各杆件的 !," ， （+） 并计算在 !,. 下的结构各杆的 !," ；
$ $ $
即可求得单元的应力灵敏度。 如前所述， 网 架结构有限元分析可以归结为求解如下方 程 （5） ， 对该式进行微分可得： 〔5 〕 ! !｛ &｝ !｛ 7｝ ・ ｛ 〔5 〕 ・ （(6 ） &｝ 6 ( !,% !,% !,%