(完整)高考数学(理科)-数形结合思想-专题练习(含答案与解析),推荐文档

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⎢- , 高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
1. 方程 题组 1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题
x 2 - 2x = a 2 + 1(a > 0) 的解的个数是(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 已知函数
f (x )= lo
g 2 x
⎛ 1 ⎫x
- ⎪
⎝ 2 ⎭ ，则下列结论正确的是(
)
A.
f (x )有三个零点，且所有零点之积大于-1
B.
f (x )有三个零点，且所有零点之积小于-1
C. f (x )
有四个零点，且所有零点之积大于 1
D.
f (x )
有四个零点，且所有零点之积小于 1
3．(2016·广州二模)设函数
f (x )的定义域为 R ， f (-x )= f (x )， f (x )= f (2 - x )，当 x ∈[0,1
]时，
f (x )= x 3
g (x )= cos (πx ) - f (x ) ⎡ 1 5 ⎤ 2 2 ⎦
，则函数 在 上的所有零点的和为(
)
A ．7
B ．6
C ．3
D ．2
4．(2016·合肥二模)若函数 f (x )= a + sin x 在[π, 2π]上有且只有一个零点，则实数
a = ．
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⎪
,
( ) { } ( ) ( ) ( ) ⎨ 1 ⎪x 3
, x ≤ a f (x )= ⎩⎨x 2 , x > a b g (x )= f (x )= b a
5. 已知函数 若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是
．
题组 2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围
log a x > sin 2x (a > 0, a ≠ 1) x ∈⎛ 0, π ⎫
4 6. 若不等式 对任意 ⎝ ⎭ 都成立，则a 的取值范围为( )
⎛ 0, π ⎪
⎫ ⎛ π ,1⎫⎪
A ．
⎝ 4 ⎭ B ．
⎝ 4 ⎭
⎛ π π⎫
C ． ⎝ 4 2 ⎪⎭
D ．
(0,1) f x x | x ≠ 0 f 1 = 1 f ' x f x 7．(2016·黄冈模拟)函数 是定义域为 的奇函数，且 ， 为
的导函数，当
f (x )+ xf ' (x )> 1
x > 0 时， x ，则不等式 xf (x )> 1 + ln x 的解集是( )
A ． (-∞, -1) (1, +∞) C ．
(1, +∞) x - 2a ≥ 1
x + a -1
B ． (
-∞, -1) D ．
(-1,1) (－1，1)
8. 若不等式
2 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是 ．
⎧ lg x , 0 < x ≤ 10
f (x )= ⎪ - x + 6, x > 10 f (A )= f (B )= f (C ) abc
9. 已知函数 ． ⎪
2 若 a ，b ，c 互不相等，且
f (x )= sin ⎛
2
x + π ⎫ π 3 ⎪
，则 f (x )
的取值范围是
π 10. 已知函数
⎝ ⎭ 的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 的图象向右平移
8 个 ⎡ π ⎤
0,
单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g (x )的图象，若 g (x )+ k = 0 在
⎢ 2 ⎦ 上有且 x ∈
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F l C 只有一个实数根，则 k 的取值范围是 ．
题组 3 利用数形结合解决解析几何问题
C : ( x - 3 )2
+
(y
-4)2 = 1
A (-m , 0)
B (m , 0 )m ( > 0
)
C P
11. 已知圆
和两点 ，
．若圆 上存在点 ，使得
∠APB = 90o ，则 m 的最大值为(
)
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
y 2 = 2 px (p > 0 ) 12．(2016·衡水模拟)过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线的准
线交于点 A ，且 AF = 6
， AF = 2BF ，则
BC = ( )
9
A ．2
13
C ．
2
B ．6
D ．8
13. 已知
P 是直线l : 3x + 4 y + 8 = 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 = 0 的两条切线， A ， B 是切点，
C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ．
已知过原点的动直线l 与圆 C 1:x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B ．
(1) 求圆
C 1 的圆心坐标；
(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；
(3) 是否存在实数k ，使得直线
l : y = k (-4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存
在，说明理由．
14.
⎥
2高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
答案
1．B
2．A
3．A
4．1
5．
(-∞, 0) (1, +∞) 6．A
7．A
⎛
-∞,
1 ⎤
8．⎝⎦
9．
(10,12)
⎧
k | -1
<k ≤
1
或k=- 1
⎫
⎨ 2 2 ⎬
10．⎩⎭
11．B
12．A
13．2
C x2 +y2 - 6x + 5 = 0 (x-3)2+y2=4(3, 0)
14.解：(1)圆 1 的方程可化为，所以圆心坐标为． 2 分
(2)设A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )(x1 ≠x2 )，
2
4 / 11
5 / 11
= ⎝ 3 l
2 2 2
M (x , y
) x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 2
0 0 ，则
， 0
2 ． 由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为 y = tx ．
C
(1+ t 2 )x 2 - 6x + 5 = 0 将上述方程代入圆 1 的方程，化简得 ． 5 分
6 3
∆ = 36 - 20(1+ t 2 )> 0(*) x 1 + x 2 = 1 + t 2 x 0 = 1 + t 2 l
由题意，可得 ， ，所以 ，代入直线 的方程，得
3t y 0 1 + t 2
． 6 分
9 9t 2 9(1+ t 2 ) 9 3 9 x 0 + y 0 = (1 + t )2 + (1 + t )2 = (1 + t )2
= 1 + t 2 = 3x 0 ⎛ ⎫ + y 2= x 0 - 2 ⎪ 0
4
因为 ，所以⎝ ⎭ ．
(*) t 2 < 4
5
< x ≤ 3 由 解得 5 ，又t 2
≥ 0 ，所以 3 0 ．
⎛
3 ⎫2
9 ⎛ 5 ⎫
x - ⎪ 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为⎝ 2 ⎭
+ y 2
= 4 3 < x ≤ 3⎪
⎭ ． 8 分
⎛ 5 ,3⎤
⎥
(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝
⎦ 上的一段圆弧．
D ⎛ 5 , 2 5 ⎫
E ⎛ 5 , -
2 5⎫ F (3, 0) G (4, 0)
如图， ⎝ 3 3 ⎭ ， ⎝ 3 3 ⎭
， ，直线l 过定点 ．
(1 + k 2
)x 2
- 3( - 8k 2 x + 16k 2 = 0
联立直线 的方程与曲线 的方程，消去 y 整理得
．
k = ± 3 I = 12 ∈⎛ 5 ,3⎤
令判别式∆ = 0 ，解得
4 ，由求根公式解得交点的横坐标为
x H ， 5 ⎝ 3 ⎦ ． 11 分 0 2
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2 5 7 由图可知：要使直线l 与曲线C 只有一个交点，则 k ∈[k DG , k EG ] {k GH , k GI }，即
⎡ k ∈ ⎢- 2 5 ⎤ ⎧ 3 3 ⎫ , 7 ⎥ ⎨- , ⎬
⎣ ⎦ ⎩ 4 4 ⎭ ． 12 分
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( )
1 1
1 5 1
5
1 5
上的零点的和为 7，故选 A ． 高考数学（理科）专题练习
数形结合思想 解 析
1．∵a ＞0，∴a 2＋1＞1． 而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，
∴y ＝|x 2－2x |的图象与 y ＝a 2＋1 的图象总有 2 个交点．
1
2. 在同一坐标系中分别作出 f 1(x )＝|log 2|x ||与 f 2(x )＝
2 x 的图象，如图所示，由图象知 f 1(x )与 f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是 x 1，x 2，x 3， (－2
) (－4)
2 4 2
因为 f
＜0，f
1
＞0，所以－ ＜x 1＜－ ，同理 ＜x 2＜1，1＜x 3＜2，即
－1＜x 1x 2x 3＜－8，即所有零点之积大于－1．
3. 函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在
[－2，2 ]
上的零点为函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )的交点的横坐标．因为 f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数 f (x )为关于 x ＝1 对称的偶函数，又因为当 x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则 在平面直角坐标系内画出函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )在
[
－2，2 ]
内的图象，如图所示，
由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x ) [－2，2 ]
4. 函数 f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程 a ＋sin x ＝0 在[π，2π]上只有一解，即函数
y ＝－a 与 y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得 a ＝1．
1 1 1 在
8 / 11
4
(
5. 函数 g (x )有两个零点，即方程 f (x )－b ＝0 有两个不等实根，则函数 y ＝f (x )和 y ＝b
的图象有两个公共点．
①若 a ＜0，则当 x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当 x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．
②若 0≤a ≤1，则 a 3≤a 2，函数 f (x )在 R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 y ＝b 至多有一个公共点．
③若 a ＞1，则 a 3＞a 2，函数 f (x )在 R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．
综上，a ＜0 或 a ＞1．
6. 记 y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为 y 1＞y 2，由题意作出两个函数
(π，1) π4 π4
的图象，如图所示，知当 y 1＝log a x 的图象过点 A
时，a ＝ ，所以当 ＜a ＜1 时，
π 0，
对任意 x ∈ 都有 y 1＞y 2．
7. 令 g (x )＝xf (x )－ln|x |，则 g (x )是偶函数，
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3
(
(
1
且当 x ＞0 时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－x ＞0，
∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．
故不等式 xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)，
∴|x |＞1，解得 x ＞1 或 x ＜－1．故选 A ．
1 1
8. 作出 y ＝|x －2a |和 y ＝2x ＋a －1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－2a ，故 a ≤2．]
9. 作出 f (x )的大致图象．
由图象知，要使 f （A ）＝f （B ）＝f （C ），不妨设 a ＜b ＜c ，
1
则－lg a ＝lg b ＝－2c ＋6．
∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝C ． 由图知 10＜c ＜12，∴abc ∈(10，12)．
π T π π
10. 因为 f (x )相邻两条对称轴之间的距离为4，结合三角函数的图象可知2＝4，即 T ＝2．
2π π 2ω 2 (
4x ＋π
)
又 T ＝ ＝ ，所以 ω＝2，f (x )＝sin ．
π π π π
[ ( ) ] ( 4 x － ＋ 4x －
将 f (x )的图象向右平移 个单位得到 f (x )＝sin 8 π 2x －
原来的 2 倍得到 g (x )＝sin 的图象．
π
2x －
所以方程为 sin
＋k ＝0.
π
π ＝sin 8 的图象，再将所有点的横坐标伸长为
[
6
0，
令 2x － ＝t ，因为 x ∈ 2 ，
π 5π 所以－6≤t ≤ 6 ．
ππ5π
[0
，]－，]
若
g(x)＋k＝0 在x∈上有且只有一个实数根，即y＝sin t 与y＝－k 在 6 6 上有且只有一个交
点．如图所示，由正弦函数的图象可知
1 1
－2≤－k＜2或－k＝1，
1 1
即－2＜k≤2或k＝－1．]
11.根据题意，画出示意图，如图所示，
1
则圆心C 的坐标为(3，4)半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝2|AB|＝m．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝
|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6．
32＋42＝5，所以
→→
AF FB
12.如图所示，直线与抛物线交于B，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵ ＝2 ，∴F 在A，B 中间，C 在A，F 之间，分别过B，C 作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1．由抛物线的定义可知
|BF|＝|BB1|，|CF|＝|CC1|．
→→
AF FB
∵ ＝2 ，|AF|＝6，
∴|FB|＝|BB1|＝3．
由△AFK∽△ABB1可知，
|FK| |AF|
|BB1|＝|AB|，∴|FK|＝2．
10 / 11
11 / 11 32＋42 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，
|CC 1| |AC |
由△ACC 1∽△AFK ，得 |FK | ＝|AF |．
a 6－a 3
∴2＝ 6 ，∴a ＝2．
3 9
∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋2＝2．
13. 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x ＋4y ＋8＝0 向左上方或右下方无
1 1
穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt △PAC ＝2|PA |·|AC |＝2|PA |越来越大，
从而 S 四边形PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四
边形
PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S 四边形
PACB 应有唯一的最小值，
|3 × 1＋4 × 1＋8|
此时|PC |＝ ＝3，
从而|PA |＝ |PC |2－|AC |2＝2 2．
1
所以(S 四边形PACB )min ＝2×2×|PA |×|AC |＝2 2．
14. 14．
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。