09虚功原理和结构的位移计算
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虚功原理和位移计算
算的物理意义
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
9 虚功原理和结构的位移计算习题
9 虚功原理和结构的位移计算习题1. 引言虚功原理是结构力学中一项重要的基本原理，它可以用于解决各种结构的位移计算问题。
本文将通过一些习题来演示如何应用虚功原理进行位移计算。
2. 虚功原理简介虚功原理是指在结构力学中，结构在虚位移下所进行的虚功等于零。
虚位移是指结构在受力作用下的无限小位移，不违反实际情况下的几何和边界条件。
利用虚功原理，可以建立结构的平衡方程，并求解未知的位移。
3. 习题一考虑一个简支梁，受到一个集中力F作用在梁的中点。
已知梁的长度L和截面的惯性矩I，求梁的最大挠度。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} M \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta\\cdot \\frac{L}{2} = 0$$其中M为弯矩，$\\delta$为虚位移。
由弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$M = -\\frac{F}{2}L + F \\cdot x$$代入上述方程，得到：$$\\int_{0}^{L} \\left(-\\frac{F}{2}L + F \\cdot x\\right) \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta \\cdot \\frac{L}{2} = 0$$对上述方程两边进行积分并整理，可以得到：$$\\frac{FL^3}{6EI} = \\delta$$所以梁的最大挠度为$\\frac{FL^3}{6EI}$。
4. 习题二考虑一个简支梁，长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，受到一个均布载荷q作用在梁上。
已知梁的两端处的位移分别为0和$\\delta_1$，求梁上某一点的位移。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} \\left(-M\\right) \\cdot \\delta dL -\\int_{0}^{L} q \\cdot \\delta dL = 0$$对上述方程两边进行积分并代入弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$\\frac{1}{2}EI \\cdot \\delta - \\frac{qL^2}{2} \\cdot \\delta = 0$$整理上述方程，可以求解出$\\delta$的值。
结构力学虚功原理
W V
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
9虚功原理和结构的位移计算
3. 组合结构
MM P NN P ds ds EI EA
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
MM P NN P ds ds EI EA
25/55
用于弯曲杆 用于二力杆
例1 求简支梁中点竖向位移Δ CV ，并讨论剪切变 形对位移的影响。 q A l/2 q A ql/2 MP x QP A 0.5 C l/2 B A l/2 C l/2
(2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连 ——续变形。 (3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。
12/55
下面讨论We及Wi 的具体表达式。 q(s) P
2
P 3
q(s)ds
R1
C1
P1
ds
ds
第一状态 （给定平衡力系） 第二状态 （给定位移和变形）
R2
3
C2M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
22/55
2） N 和 N P以拉力为正，压力为负； 3） Q 和 QP的正负号见下图。
Q
求位移步骤如下：
Q
Q
Q
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位荷载；
②求结构在单位载荷作用和实际荷载作用下的内
力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
23/55
二、各类结构的位移计算公式 1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
P=1
B
M
x
Q
26/55
解：
1 qx(l x) 2 1 Q ql qx 2 MP (0 x l ) (0 x l )
MM P NN P ds ds EI EA
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
MM P NN P ds ds EI EA
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用于弯曲杆 用于二力杆
例1 求简支梁中点竖向位移Δ CV ，并讨论剪切变 形对位移的影响。 q A l/2 q A ql/2 MP x QP A 0.5 C l/2 B A l/2 C l/2
(2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连 ——续变形。 (3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。
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下面讨论We及Wi 的具体表达式。 q(s) P
2
P 3
q(s)ds
R1
C1
P1
ds
ds
第一状态 （给定平衡力系） 第二状态 （给定位移和变形）
R2
3
C2M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
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2） N 和 N P以拉力为正，压力为负； 3） Q 和 QP的正负号见下图。
Q
求位移步骤如下：
Q
Q
Q
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位荷载；
②求结构在单位载荷作用和实际荷载作用下的内
力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
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二、各类结构的位移计算公式 1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
P=1
B
M
x
Q
26/55
解：
1 qx(l x) 2 1 Q ql qx 2 MP (0 x l ) (0 x l )
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
09虚功原理和结构的位移计算--习题解读
( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0 k
QP GA
MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
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9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
结构力学-虚功原理和结构的位移计算
例题：求结构A点竖向位移
q
B
A
x
x
B
x
1
A
x
C
AB段内力函数
MP
=
−
1 qx
M = −x FN = 0 FQ = 1
C
BC段内力函数
MP
=
−
1 2
ql 2
FNP = −ql
FQP = 0
M = −l FN = −1 FQ = 0
28 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第三节 位移计算公式
12 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第二节 变形体虚功原理
• 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。
• 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力； • 未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变
形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。
第二节 变形体虚功原理 虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，
因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平 衡方程的综合方程。
由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理 可有两个方面的应用：
• 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。
——虚位移原理
• 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。
(1) 线弹性 (Linear Elastic) (2) 小变形 (Small Deformation) (3) 理想联结 (Ideal Constraint)
叠加原理适用（principle of superposition)
虚功原理与结构位移计算
考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型，如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法，如增量法、迭代法等，对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响，包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点，建立适当的计算模型，如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布，包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分析结果，验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式，将偏微分方程转化为差分 方程，简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率，适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点，建立适 当的计算模型，如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力， 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分 析结果，验证计算方法的正确
虚功原理和结构的位移计算
由虚功方程解出拟求位移
当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤
9-8 线性变形体系的互等定理
互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件： 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； 结构变形很小，不影响力的作用。
由虚功原理
2
第 II 状态
第 I 状态
1. 功的互等定理:
在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
任意截面x内力为： 实际荷载 虚设单位荷载
求图示桁架C点的竖向位移
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解： （1）在C点加P=1；
（2）求 如图（b）;
（3）求 如图（C）；
（4）求
9.5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
例 1. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l
q
l
l
q
MP
求B点水平位移。
练习
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
l
l
注意:各杆刚度 可能不同
静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有
如图示长 l ，EI 为常数的简支梁
第 II 状态
A
C
B
第 I 状态
A
C
B
跨中
数值、量纲都相等
3. 反力互等定理:
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-----反力互等定理
当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤
9-8 线性变形体系的互等定理
互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件： 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； 结构变形很小，不影响力的作用。
由虚功原理
2
第 II 状态
第 I 状态
1. 功的互等定理:
在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
任意截面x内力为： 实际荷载 虚设单位荷载
求图示桁架C点的竖向位移
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解： （1）在C点加P=1；
（2）求 如图（b）;
（3）求 如图（C）；
（4）求
9.5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
例 1. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l
q
l
l
q
MP
求B点水平位移。
练习
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
l
l
注意:各杆刚度 可能不同
静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有
如图示长 l ，EI 为常数的简支梁
第 II 状态
A
C
B
第 I 状态
A
C
B
跨中
数值、量纲都相等
3. 反力互等定理:
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-----反力互等定理
虚功原理和结构的位移计算演示文稿
一、图乘法公式的证明
M i x tan
y
d=MPdx
面积
A MP
形心 C
MP图
B
iP
B M i M P dx A EI
1
EI
B A
x
tan
M
P
dx
O
dx
M i y0
xA
Bx
x0
y0=x0tg
tan
EI
B
A
x M Pdx
tan
EI
B
xd
A
tan
EI
x0
y0
EI
(6 21)
虚功原理应用举例
[例6-1]:求图6-16a所示桁架结点C的竖向位移 数且相等。
解：为求C点的竖向位移，应在 C点加一竖向单位力，建立虚设
2P 2
AP
。各杆Cv EA为常
C P Cv 2P 2 d
2
P2 B
力状态。
D
d
d
P2
P
P2
分别求结构在实际荷载与单位 荷载作用下各杆的轴力 N P 和Ni
C
22
Pi 122 0A Nhomakorabea2 12 B
D
12
12
第18页，共58页。
虚功原理应用举例
[例6-1]:求图6-16a所示桁架结点C的竖向位移 。各Cv 杆EA为
常数且相等。
C
根据虚功方程（6-15）式，得：
2P 2
Cv
Ni
NP EA
ds
Ni
NP l EA
A P2
1 P d 2 (
第7页，共58页。
P
A
虚功原理和结构位移
土木工程2010-1班
虚功原理和结构位移计算
虚功原理 结构位移的一般计算
图乘法 温度改变而引起的位移计算
线弹性结构的互等定理
虚功原理（Principle of Virtual Work）
对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用 任意的平衡力系，又假设体系由于某种外界因素发 生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力 在位移上所做的虚功总和W恒等于零。
F P 1，利用分段叠加，
F
N
，如图 ( b )、 )所示。 (cBlຫໍສະໝຸດ 2l/2CB
C 1
1
D FP=1
D FP=1
A l/2 (b)
A (c)
（3）利用在外界因素温度作用下，静定结构位移计算公式得
D
F
N
t0l
2
5 8
t
h
M ds
10 l 15 l l 10
+10°C
解：（1）杆件的轴线温度t0为
B +20° C
C
t0
t1 t 2 2
10 C 20 C 2
15 C
D
杆件上、下边缘的温差∆t为
t t 2 t1 20 C 10 C 10 C
A
l (a)
( 2 )在 D 点虚设水平单位力 作弯矩图 M 和轴力图
体系虚功原理
虚设力系——计算位移
例：如图所示三铰刚架右边支座的竖向位移为 ∆By=0.06m（向下），水平位移为∆Bx=0.04m（向右）， 已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角φA。
C
C
h
解：虚拟状态如左图所示，
虚功原理和结构位移计算
虚功原理 结构位移的一般计算
图乘法 温度改变而引起的位移计算
线弹性结构的互等定理
虚功原理（Principle of Virtual Work）
对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用 任意的平衡力系，又假设体系由于某种外界因素发 生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力 在位移上所做的虚功总和W恒等于零。
F P 1，利用分段叠加，
F
N
，如图 ( b )、 )所示。 (cBlຫໍສະໝຸດ 2l/2CB
C 1
1
D FP=1
D FP=1
A l/2 (b)
A (c)
（3）利用在外界因素温度作用下，静定结构位移计算公式得
D
F
N
t0l
2
5 8
t
h
M ds
10 l 15 l l 10
+10°C
解：（1）杆件的轴线温度t0为
B +20° C
C
t0
t1 t 2 2
10 C 20 C 2
15 C
D
杆件上、下边缘的温差∆t为
t t 2 t1 20 C 10 C 10 C
A
l (a)
( 2 )在 D 点虚设水平单位力 作弯矩图 M 和轴力图
体系虚功原理
虚设力系——计算位移
例：如图所示三铰刚架右边支座的竖向位移为 ∆By=0.06m（向下），水平位移为∆Bx=0.04m（向右）， 已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角φA。
C
C
h
解：虚拟状态如左图所示，
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
JGLXchap9虚功原理和结构位移计算
FPi Δi 0
Fs
FN M
FP d Δ M d FS d FN d 0
d Δ M d FS d FN d M d s FS 0 d s FN d s
d Δ M d s FS 0 d s FN d s
结构位移计算与虚功原理 4.2 结构位移计算的一般公式 2020-8-6-08:25
Fpi—为相应的平衡力系，
i —为对应于Fpi的无限小刚体体系位移。
结构位移计算 4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移
例1.求支座B的反力及D截面的内力
2020-8-6-08:25
(1)求支座B的反力
FPi Δi 0
FX
X
FP
P
FPa 2
B
0
FX
1 2
FP
FPa 2
1 2a
3 4
FP ()
P
(3)求支座D截面的剪力
FPi Δi 0
FX
X
FP
P
FPa 2
B
0
FX
FQD
FP 4
P
1 2
,B
1 2a
结构位移计算 4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移 2020-8-6-08:25
(2)虚设力状态，位移状态真实 —虚力原理(几何问题转化为力学问题)
Fpi(virtual forces)i(real displacements)= 0
第四章 虚功原理和静定结构位移计算
4.1 应用虚功原理求刚体体系的位移 4.2 结构位移计算的一般公式 4.3 荷载作用下的位移计算 4.4 举例 4.5 图乘法 4.6 温度作用时的位移计算 4.7 变形体系的虚功原理 4.8 互等定理 4.9 小结
结构力学虚功原理和结构位移计算
3、位移产生旳原因
（1）、构造 荷载作用 内力
应变
变形
构造上各点位置发生变化
（2）、构造
非荷载作用
温度变化、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使构造产生位移。
4、构造位移
变形(deformation) －－构造在外部原因作用下，产生尺寸形状旳变化； 因为变形将造成构造各结点位置旳移动，于是产生位移。
１．沿拟求位移Δ方向虚设相应旳单位荷载，求出单位 荷载下旳支座反力FRK.得到虚设旳平衡力系。
2.令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程
1 Δ F RK cK 0
3. 求拟求位移为：
Δ F RK cK
例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点旳竖向位移Δ。
分析： 1）等效图（b） 2) 虚设P=1
B
Δij－－因为作用于j点拟定方向旳力Pj所引起旳i点在某 拟定方向旳位移
柔度δ(Flexibility )－－单位力所引起旳位移
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
5、计算位移旳有关假定
1)、构造材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
EI
EA
4）拱
MM P ds FN FNP ds
EI
EA
三、位移计算举例
例题1 试求图示刚架A点旳竖向位移AV。各杆材料 相同，截面抗弯模量为EI。
解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出 弯矩体现式
AB段： M K x1
BC段： M K l
结构力学--虚功原理和结构的位移计算 ppt课件
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
ds
dv
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
1
P
11
P1
P1
1
11
o
静力荷载所做的实功为变力实功。
W1 12P1Δ11
11
3、常力所做的虚功
所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等）引起的位移上所做的功。
FP1 (先)
M2(后)
1
11
1’ 12 1’’
21
2
22
FP1在Δ12上做的功:
W12FP1Δ12
FP1 1
11
1
12
2
M2 2
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为 虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功
时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即:
式中:
c t1
c
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
1.一个截面的位移（绝对位移）
（1）截面A 位置的移动（用截面形
心的移动来表示）ΔA，称为线位移，
可分解为：
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M MP ds EI
N NP ds EA
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9 虚功原理和结构的位移计算虚功方程 Pii Rkck (Nd Qd Md )
单位荷载法 1 Rkck (Nd Qd Md )
位移计算的一般公式
不同结构的简化公式
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9 虚功原理和结构的位移计算
二、两种应用： 对于一给定的平衡力系状态，虚设的可能位移状态，（虚
位移原理，单位位移法）求未知力； 对于一给定的位移状态，虚设的平衡力系，（虚力原理，
单位荷载法）求未知位移。
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.2.3 变形体体系的虚功原理
1、表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的 位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截 面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。即 We Wi
B M M P ds
A EI
B Mi (x)Mk (x) dx 1
A
EI
EI
B
A MiM kdx
1 EI
B
A (x tan )Mkdx
1 tan EI
B
A xM kdx
1 EI
tan ( AxC )
1 EI
A( xC
tan )
1 EI
AyC
MMP EI
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9 虚功原理和结构的位移计算
3、适用：
在小变形范围内，无论对弹性、非弹性、线性、非线性的 变形体，虚功原理都可适用。
4、两种应用：
对于一给定的平衡力系状态，虚设的可能位移状态，（虚 位移原理，单位位移法）求未知力；
对于一给定的位移状态，虚设的平衡力系，（虚力原理， 单位荷载法）求未知位移。
9 虚功原理和结构的位移计算
桁架的位移计算
N NP ds EA
NNP EA
1dx
NNP EA
l
N NPl EA
【例1】 求图示桁架（各杆EA相同）k点水平位移。
【解】
P
1
kH
NP Nl EA
1 [(P)(1)a (P)(1)a
P 0
EA
2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
P P1 P2 1 2
W M11 M 22 P(1 2 ) P
P M1 M2
1 2
9 虚功原理和结构的位移计算
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9 虚功原理和结构的位移计算
（2）实功和虚功
实功是作用力在其本身引起的位移上所做的功。
1 W11 2 P111
k
QPds GA
dP
MPds EI
NNP EA
ds
k
QQP GA
ds
MMP EI
ds
二、内力的正负号规定
三、步骤为：
（1）沿拟求位移的位置和方向 虚设相应的单位荷载；
（2）求单位荷载下结构的内力； （3）求荷载作用下结构的内力； （4）计算位移，说明位移的方向。
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W P11 cos P
P P1
1 cos
W M P
PM
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W P11 P22 P(1 2 ) P
P P1 P2 1 2
W P11 P22 P(1 2 ) P
ds
()
1 EI
AyC
正负号规则：面积A与纵坐标 yC 在杆 的同一边时，乘积取正号。
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几种常见 图形的面 积和形心 的位置：
9 虚功原理和结构的位移计算
注意：标准
抛物线，即 在抛物线图 形顶点处的 切线应与基 线平行，即 在顶点处Q = 0。
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9 虚功原理和结构的位移计算
，体系上所有主动力在任一与约束 条件相符合的无限小刚体位移上所 作的虚功总和恒等于零。
We 0
We P11 P2 2 R1c1 R2c2 0
We Pii Rkck 0
注意：体系上作用的任意平衡力系（简称为平衡力系）与约 束条件相符合的无限小刚体位移（简称为几何可能位移），是 两种独立的状态，即位移状态中的位移不是力状态中的力产生 的。
(Nd Qd Md ) Rkck
（1）梁和刚架
荷载作用下位移的计算公式
d p
N Pdx EA
dP
k
QPdx GA
d P
MPdx EI
MMP EI
ds
（2）桁架
NNP EA
l
NNP EA
ds
k
QQP GA
ds
MMP EI
[( 1 )(60) 4]103
1.5 2.11011 12104
6.35104 rad
CD杆与CE杆相对转角（夹角改变）
单位荷载？
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.4.3 荷载作用下位移计算举例
【例9.2】 求简支梁中点C的竖向位移。
( NNP k QQP M M P )ds
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.4 荷载作用下的位移计算
Nd Qd Md Rkck
9.4.1 荷载作用下位移的计算公式及计算位移的步骤
Nd P
Qd P
MdP
dp
N Pds EA
dP
二、位移计算的一般公式
(Nd Qd Md ) Rkck
三、单位荷载法计算位移步骤：
（1）在拟求位移截面沿拟求位移的方 向加一个虚设的相应单位荷载； （2）在单位荷载作用下，计算结构的 支座反力和内力；
（3）计算位移，说明位移的方向。
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9 虚功原理和结构的位移计算
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9 虚功原理和结构的位移计算
9 虚功原理和结构的位移计算（7 课时）
9.1 位移计算概述 9.2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
0 P
2P NP k a
a 1 2 2 N
1
1
EA
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9 虚功原理和结构的位移计算
桁架位移计算单位荷载法步骤为：
（1）求荷载作用下桁架的轴力图；
（2）沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
（3）求单位荷载下桁架的轴力图；
（4）用公式
NNP EA
l
计算位移，说明位移的方向。
1 W22 2 P2 22
虚功是指作用力与经历 的位移独立无关（无因果 关系）。即经历的位移不 必是作用力所产生的（或 在经历位移时，作用力为 一常值。）
W12 P112
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9 虚功原理和结构的位移计算
（3）外力虚功和内力虚功（变形虚功）
We P11 P22 R1c1 R2c2
EA GA EI
【解】
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9 虚功原理和结构的位移计算
【例9.4】图9.11(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧
AB的圆心角为，半径为R。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向
位移，并比较剪切变形和轴向变形对变形的影响。
【解】
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9 虚功原理和结构的位移计算
【例2】求图示桁架（各杆EA相同）k点竖向位移。
PP
2P 0 0k a
NP
a
1 2
0 N
【解】
1
kV
NP Nl EA
1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
1
EA
(1 2 2) Pa () EA
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9 虚功原理和结构的位移计算
【例9.3】 图示桁架，计算下弦中点C的挠度。已知各杆弹性 模量E=2.1×108kPa，截面面积A=12cm2。
【解 】
NNP EA
l
[( 4)(60) 4 ( 5)(75) 2.5 2 2 60 4 2]103
3
6
3
2.11011 12104
3.78103m 3.78mm()
可列表计算 求：D点水平位移
NNPl EA
DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.4.2 各类结构的位移计算公式
NNP EA
ds
k
QQP GA
ds
MMP EI
ds
不同结构的简化公式：
（1）梁和刚架
MMP EI