09虚功原理和结构的位移计算

9.5.2 图乘的分段和叠加 （1）分段
图9.14 折线分段图乘 1 EI ( A1 y1 A2 y2 A3 y3 )
图9.15 变截面分段图乘
1
1
EI1 A1 y1 EI2 A2 y2
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9 虚功原理和结构的位移计算
（2）叠加 梯形、反梯形
a
A1
A2
b
c
y1
虚功原理
虚位移原理（单位位移法求未知力） 虚力原理（单位荷载法求未知位移）
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.3 单位荷载法计算位移 和位移计算的一般公式
一、单位荷载法计算位移
1 Pii RkRckkck (N(NddQQdd MMdd))
(Nd Qd Md ) Rkck
（1）梁和刚架
荷载作用下位移的计算公式
d p

N Pdx EA
dP

k
QPdx GA
d P

MPdx EI




MMP EI
ds
（2）桁架



NNP EA
l




NNP EA
ds



k
QQP GA
ds



MMP EI
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.4 荷载作用下的位移计算
Nd Qd Md Rkck
9.4.1 荷载作用下位移的计算公式及计算位移的步骤

Nd P
Qd P
MdP
dp

N Pds EA
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
【例2】求图示桁架（各杆EA相同）k点竖向位移。
PP
2P 0 0k a
NP
a
1 2
0 N
【解】
1
kV
NP Nl EA
1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
1
EA
(1 2 2) Pa () EA
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9 虚功原理和结构的位移计算
【例9.3】 图示桁架，计算下弦中点C的挠度。已知各杆弹性 模量E=2.1×108kPa，截面面积A=12cm2。
ds


()
1 EI
AyC
正负号规则：面积A与纵坐标 yC 在杆 的同一边时，乘积取正号。
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几种常见 图形的面 积和形心 的位置：
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注意：标准
抛物线，即 在抛物线图 形顶点处的 切线应与基 线平行，即 在顶点处Q = 0。
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W P11 cos P
P P1
1 cos
W M P
PM

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W P11 P22 P(1 2 ) P
P P1 P2 1 2
W P11 P22 P(1 2 ) P
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桁架的位移计算




N NP ds EA


NNP EA

1dx


NNP EA
l

N NPl EA
【例1】 求图示桁架（各杆EA相同）k点水平位移。
【解】
P
1
kH
NP Nl EA
1 [(P)(1)a (P)(1)a
P 0
EA
2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
1 W22 2 P2 22
虚功是指作用力与经历 的位移独立无关（无因果 关系）。即经历的位移不 必是作用力所产生的（或 在经历位移时，作用力为 一常值。）
W12 P112
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（3）外力虚功和内力虚功（变形虚功）
We P11 P22 R1c1 R2c2
P P1 P2 1 2
W M11 M 22 P(1 2 ) P
P M1 M2
1 2
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（2）实功和虚功
实功是作用力在其本身引起的位移上所做的功。
1 W11 2 P111
0 P
2P NP k a
a 1 2 2 N
1
1
EA
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桁架位移计算单位荷载法步骤为：
（1）求荷载作用下桁架的轴力图；
（2）沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
（3）求单位荷载下桁架的轴力图；
（4）用公式



NNP EA
l
计算位移，说明位移的方向。
Pii Rkck
Wi (Nd Qd Md )
(Nds Q 0ds Mds)
d ds
d 0ds d ds
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9.2.2 刚体体系虚功原理及两种应用
一、刚体体系的虚功原理(8.5.1P113) 刚体体系在任意平衡力系作用下
EA GA EI
【解】
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【例9.4】图9.11(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧
AB的圆心角为，半径为R。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向
位移，并比较剪切变形和轴向变形对变形的影响。
【解】
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9 虚功原理和结构的位移计算

k
QPds GA
dP

MPds EI




NNP EA
ds



k
QQP GA
ds



MMP EI
ds
二、内力的正负号规定
三、步骤为：
（1）沿拟求位移的位置和方向 虚设相应的单位荷载；
（2）求单位荷载下结构的内力； （3）求荷载作用下结构的内力； （4）计算位移，说明位移的方向。
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二、位移计算的一般公式
(Nd Qd Md ) Rkck
三、单位荷载法计算位移步骤：
（1）在拟求位移截面沿拟求位移的方 向加一个虚设的相应单位荷载； （2）在单位荷载作用下，计算结构的 支座反力和内力；
（3）计算位移，说明位移的方向。
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9 虚功原理和结构的位移计算
9.1 位移计算概述
一、结构的位移

A
相对线位移
P
Ay
A A
C
C
C D
D
D
Ax

P

A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
相对角位移
A截面转角(角位移)

线位移，角位移，相对线位移、相对角位移等统称广义位移
B M M P ds
A EI
B Mi (x)Mk (x) dx 1
A
EI
EI
B
A MiM kdx
1 EI
B
A (x tan )Mkdx
1 tan EI
B
A xM kdx

1 EI
tan ( AxC )

1 EI
A( xC
tan )

1 EI
AyC




MMP EI
四、位移计算的一般公式，可应用于计算不同的材料、
不同的变形类型、产生变形的不同原因、以及不同结构类型 的位移。
五、虚设单位荷载的选取
例: 1)求A点水平位移
PB
A
2)求A截面转角
3)求AB两点相对水平位移
4)求AB两截面相对转角
P 1
P 1
P 1
P 1
所加单位广义力与所求广义位移相对应，即该单位广义力在 所求广义位移上做功。
2、虚功方程 We Pii Rkck Wi (Nd Qd Md )
Pii Rkck (Nd Qd Md)
d ds
d 0ds d d s
Pii Rkck (N Q 0 M)ds
y2
d
l/3 l/3 l/3
图9.16 同侧叠加图乘
A1 =
1 la 2
E1I（A1
y1

A2
y
）
2
A2
=
1 2
ds
（3）组合结构




M MP ds EI


NNP EA
l
（4）拱




M MP ds EI



N NP ds EA
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9.5 图乘法
9.5.1 图乘法的计算公式应用条件：直杆，EI不变，至少有一




MM EI
P
ds
个直线弯矩图（ yC应取自直线图）。
[( 1 )(60) 4]103

1.5 2.11011 12104
6.35104 rad

CD杆与CE杆相对转角（夹角改变）
单位荷载？
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9.4.3 荷载作用下位移计算举例
【例9.2】 求简支梁中点C的竖向位移。
( NNP k QQP M M P )ds
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9.4.2 各类结构的位移计算公式




NNP EA
ds



k
QQP GA
ds



MMP EI
ds
不同结构的简化公式：
（1）梁和刚架




MMP EI
ds
（2）桁架



NNP EA
l
（3）组合结构




M MP ds EI


NNP EA
l
（4）拱
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二、两种应用： 对于一给定的平衡力系状态，虚设的可能位移状态，（虚
位移原理，单位位移法）求未知力； 对于一给定的位移状态，虚设的平衡力系，（虚力原理，
单位荷载法）求未知位移。
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9.2.3 变形体体系的虚功原理
1、表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的 位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截 面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。即 We Wi
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3、适用：
在小变形范围内，无论对弹性、非弹性、线性、非线性的 变形体，虚功原理都可适用。
4、两种应用：
对于一给定的平衡力系状态，虚设的可能位移状态，（虚 位移原理，单位位移法）求未知力；
对于一给定的位移状态，虚设的平衡力系，（虚力原理， 单位荷载法）求未知位移。
【解 】



NNP EA
l
[( 4)(60) 4 ( 5)(75) 2.5 2 2 60 4 2]103
3
6
3
2.11011 12104
3.78103m 3.78mm()
可列表计算 求：D点水平位移



NNPl EA
DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角




M MP ds EI



N NP ds EA
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虚功方程 Pii Rkck (Nd Qd Md )
单位荷载法 1 Rkck (Nd Qd Md )
位移计算的一般公式
不同结构的简化公式
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9 虚功原理和结构的位移计算（7 课时）
9.1 位移计算概述 9.2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
（2） 超静定、动力和稳定计算等需要。
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四、计算的理论基础是虚功原理， 计算的方法是单位荷载法。
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9.2 虚功和虚功原理
9.2.1 虚功
恒力所作的功 = 力的大小×作用点沿力方向相应位移，
即 W P
（1）广义力、广义位移
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二、引起结构位移的原因
（1）荷载作用； （2）非荷载因素：温度变化、支座沉降、材料胀缩、制造误差
三、计算位移的目的
（1）刚度验算要求。
高层建筑最大位移< 1/1000 高度，最大层间位移< 1/800 层高。 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度。 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度。
，体系上所有主动力在任一与约束 条件相符合的无限小刚体位移上所 作的虚功总和恒等于零。
We 0
We P11 P2 2 R1c1 R2c2 0
We Pii Rkck 0
注意：体系上作用的任意平衡力系（简称为平衡力系）与约 束条件相符合的无限小刚体位移（简称为几何可能位移），是 两种独立的状态，即位移状态中的位移不是力状态中的力产生 的。