直线的参数方程ppt优秀课件
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高中数学《直线的参数方程》课件
故|PA|＋|PB|＝ 8＋ 2＝3 2.
三.小结：
（1）直线的参数方程与普通方程的联系； （2）参数t的几何意义； （4）应用：直线的参数方程与圆锥曲线
的综合应用。
3
α= 4 ，l 与抛物线 y x2相交于 A、B 两点．
(1)求直线 l 的参数方程
(2)求点 P 到 A，B 两点的距离的积；
(3)求线段的 AB 长； (4)求 AB 的中点 M 的点的坐标；
【例1】 (2009·广东理)若直线 l1：xy＝＝21＋－k2tt，(t 为参数)与直线 l2：
|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
法二 (1)同法一． (2)因为圆 C 的圆心为(0， 5)，半径 r＝ 5，直线 l 的普通方
程为：y＝－x＋3＋ 5.
由x2＋（y－
5）2＝5， 得
y＝－x＋3＋ 5
x2－3x＋2＝0.
解得：yx＝＝21＋， 5或yx＝＝12＋， 5.
不妨设 A(1，2＋ 5)，B(2，1＋ 5)，又点 P 的坐标为(3， 5)，
x＝s， y＝1－2s(s
为参数)垂直，则
k＝________．
解析 直线l1：kx＋2y＝k＋4，直线l2：2x＋y＝1， ∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1. 答案 －1
点击 2：直线的参数方程与圆锥曲线的综合应用
2.（2010.福建高考）
在直角坐标系
xoy
中，直线
l
的参数方程为
x y
人教A版选修4－4第二讲参数方程
1．直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， (t 为参数)．
高中数学直线的参数方程 (共21张PPT)优秀课件
求这条直线的方程.
解: 直线的普通方程为y y0 tan (x x0 )
把进它一x变步0数,成 y要整,0 ty都理 注才，是意是y0得常:参：csysoinisny0(
x x0 ) x x0
cos
数
令该比例式的比值为t,即
y y0 x x0 t
sin cos
整理，得到
x=x0
么关系
？
【练2】
π 已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角 α＝ 6 ，
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点
的距离之积．
解
(1)直线的参数方
x＝ 1＋ 程是
23t，
y＝ 1＋ 1 2t
(t
是参数)
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1
练3
参数t的几何意义的几个应用；
1.用参数t表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数t.
1.直线参数方程标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
2.直线参数方程一般式
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 在直线上任取一点M(x,y),那
M0M 么（ x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 )
设e是直线l的单位方向向量，则 y
e (cos ,sin )
和
t2 ， 则 点
解: 直线的普通方程为y y0 tan (x x0 )
把进它一x变步0数,成 y要整,0 ty都理 注才，是意是y0得常:参：csysoinisny0(
x x0 ) x x0
cos
数
令该比例式的比值为t,即
y y0 x x0 t
sin cos
整理，得到
x=x0
么关系
？
【练2】
π 已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角 α＝ 6 ，
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点
的距离之积．
解
(1)直线的参数方
x＝ 1＋ 程是
23t，
y＝ 1＋ 1 2t
(t
是参数)
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1
练3
参数t的几何意义的几个应用；
1.用参数t表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数t.
1.直线参数方程标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
2.直线参数方程一般式
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 在直线上任取一点M(x,y),那
M0M 么（ x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 )
设e是直线l的单位方向向量，则 y
e (cos ,sin )
和
t2 ， 则 点
优秀课件人教版直线的参数方程(共22张PPT)
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意 把它变成 y y0 : ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
三、例题讲解 2 例 2 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
直线的参数方程(课件PPT)
x 1
（2）直线 x y10的一个参数方程y 是22
2 2
t
t （t为参数）
。
13
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
求这条直线的方程. 解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
M(x,y)
y
e
因为M0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M0M te,即
( x(x xx 00 ,,y y y 0 y)0 )(tc o ts ( co,tss in , s) in )
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
15
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
注意向量工具的使用.
此时,若t>0,则 M 0 M 的方向向上;
若t<0,则 M 0 M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
|t|=|M0M|
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t)t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
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参数方程直线的参数方程ppt
设定参数方程
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2 Nhomakorabea返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
在 α∈[0，π)内无解；
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直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A，B两点旳距离之积．
解：(1)直线旳参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
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知识连接（1）
实数λ与向量 a 的积：
a a
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
a
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
2
1 2
t
（2）直线xy3tcotss2in0020（ 0 t为y参数 ）3的倾斜2角 3 是t （B ）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
练习
3.直 线 x3y20的 点 角 式 参 数 方 程 为
_________ _ x__ __ 2 ____2_ 3_t.
y 1t 2
e
由 M o M t e及 e 1可 得 ，
M α
M o M t e M o M t M0
o
x
当 M o M 与 e同 向 时 ， t 0； 当 M o M 与 e反 向 时 ， t 0； 当 M与 M 0重 合 时 ， t 0.
L
e
y αM0
o
X
t表 示 参 数 t对 应 的 点 M 到 定 点 M 0 的 距 离 M.
e(cos,sin)
M 0 M ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 , y y 0 )
又M0M//e
y
L
存在惟一实数t R，e
M α
使得 M0M te M0
o
x
(x x 0 ,y y 0 ) t(c o s,s in)
x x 0 tc o s,y y 0 ts in
当 M 0 M 与 e 同 向 时 ， t 取 正 数 ； 当 M 0 M 与 e 异 向 时 ， t 取 负 数 ；
当 点 M 与 M 0 重 合 时 ， t 0 .
三.随堂练习
(1)过 点 Mo(2,3)且 倾 斜 角 为 2π /3的 直 线 的
参 数 方 程 为 ___________.x
= (λ x , λ y)
知识连接（2）
直线的方向向量：
在直线上或与直线平行的向量叫直线的方向向量.
试求倾斜角为α的直线L的一个单位方向向量.
倾斜角α是刻画直线方向的一个量，直线的
向量也是表示直线方向的一个量.设想如果能用方
向向量代替倾斜角，那么是否更有利于求直线的
参数方程呢？
＝（设ｍ直，线ｎL的）单，位那方么向∠向Q量OX为=eα＝根O据Qy
xyxy00ttcsoins（t为参数） ②
注 ： 参 数 方 程 形 式 上 的 特 点 :
（1）在x=x0+tcosα中，t的系数是cosα,在 y=y0+tsinα，t的系数是sinα ； （2）0≤sinα ≤1，-1<cosα≤1；
（3）sin2α+cos2α=1.
直 线 参 数 方 程 中 参 数 t 的 几 何 意 义 y L
x 3
4.已知直线L的参数方程
（1）求当t=2时对应点的坐标
y
3
1t 2
3t 2
（2）求点M(2,3+31/2)所对应的t的值和
|MM0|.
（3）若直线L与y轴交于点A，M0的坐标为 （3，3），求| AM0 |.
四、课堂小结
本节课我们直 主线 要的 学参 习数 了及 方其 程简 的单 推 学习后要把知 握识 以点 下： 几个
xy xy00 ttcsoins （ t为 参 数 ）
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？ 哪些是常量？
（2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的点角式参数方程
经 过 点 M （ 0 x 0 , y 0 ) , 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ：
L
三角函数的定义有
sinα＝n/1=n,cosα＝m/1=m α
Q（m,n）
∴e =(cosα, Sinα)
oe
x
二、新课讲授
设 直 线 l的 倾 斜 角 为 ， 且 过 定 点 M 0 (x 0 ,y 0 )，
M (x ,y )是 l上 一 动 点 .
设 e 是 直 线 l 的 单 位 方 向 向 量 ， 则
即 x x 0 tc o s,y y 0 ts in,
所以，经过点M0（x0,y0),且
倾斜角为α的直线 的参l 数方程 y L
为
xyxy00ttcsoins(t为参数）e
M0
M
α
O
x
直线的点 0 , y 0 ) , 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ：
直线的参数方程ppt优秀课件
一、创设情景
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
2.根据直线的几何条件，你认为用哪些几何条件 来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
yy0tan(xx0)
3.根据确定直线的这个几何条件，你认为 应当怎样选择参数？
即已知直线L经过点M0（x0，y0）且倾斜角为α， 选择什么变数为参数求直线的参数程？
（ 1 ）直线的通 参方 数 yy 程 0方 ta 程 n (xx 与 0)的 普 联
（2）直线的参数方 量程 知与 识向 的联系；
（3） 参 数 t的 几 何 意 义 ；
（ 4） 应 用 ： t表 用示 参点 数的 坐两 标点 、间 直的 线距 上 线被曲线所长 截， 得与 的中 弦点 的t对 . 应