数列的迭代与递推(教师版)

例 3 已知数列{an} 中，且 a1 = 3 ，对任意的自然数 n 都满足 an+1 = an2 ，求数列{an} 的
通项公式．
( ) 解：由 an+1
=
an2 得 an
=
a2 n-1
=
a2 n−2
2
=
a22 n−2
=
a23 n−3
= =
a =3 2n−1
2n−1
1
．
注：本题也可对 an+1
= cn−1 + cn (n2 −1) ．
注：（1）依次迭代后主要是求和问题；
（2）本题也可转化为
an+1 cn+1
=
an cn
+
2n + 1，然后累加法求通项．
变式 3 已知数列{an} 满足 a1 = 0 ， a2 = a (a 0) ， 2an = an−1 + an−2 (n ≥ 3) ，求{an} 的
= (an−3 + 3 2 ) 2(n−3)−1 + 3 22n−5 + 3 22n−3 =
= a1 + 3 (2 + 23 + 25 + + 22n−5 + 22n−3 )
=
a1
+ 3
2 − 22n−1 1− 22
=
2 + (22n−1
− 2) =
22n−1 ．
所以
2an
+
an−1
=
2a
，即
an
=
−
1 2
an−1
+
a．
所以 an
=
−
1 2
an−1
+
a
=

−
1 2 2
an−2
+

−
1 2

a
+
a
=

=

−
1 2
n−1
a1
+

−
1 2
n−2
a
+

−
1 2
n−3
a
+

+

−
1 2
所以数列{a2n + pa2n−1} 是首项为 2 + p ，公比为 q 的等比数列．
数列{an} 的前 n
项和为 Sn ，且满足 a1
= 1， a2
=
2
，
Sn Sn+1
=
an an+2
，判断数列 {an }
是否为等差数列，并证明．
解：由 Sn = an 得 S1 = a1 ， S2 = a2 ， S3 = a3 ，…， Sn−1 = an−1 ， Sn = an ，
数列的迭代与递推
数列尤其是等差、等比数列，在考纲 C 级要求的 8 个席位中占据两席． 其重要性不言
自明，而数列的迭代与递推型问题是我省近年来数学高考的热点和难点． 这类问题一般运
用累加法、累乘法、构造等差等比（或常数列）法、迭代法等“化归”的思想来解决．
第一节 研究递推数列问题之基本方法
1．递推数列处理的最根本的解决方法是迭代法．迭代法也称辗转法，是一种不断用变
=
a1q1n−1
=
q1n−1 ，
又因为 an+3 an + 2
= an+1 an
，所以 a4 a3
=
a2 a1
=2=
2q2 q1
，即 q1
= q2 ，
例3
设 q1 = q2 = q ，则 a2n + pa2n−1 = q(a2n−2 + pa2n−3 ) ，且 a2n + pa2n−1 0 恒成立，
则数列{an}为等差数列．
变式
在数列 {an }
中， a1
=
19 2
， an +1
=
38an −1 4an + 42
，bn
=
20 ，其中 2an + 1
n N ．求证：数
列{bn} 为等差数列．
证明： bn+1
− bn
=
20 −
2an+1 + 1
20 2an + 1
=
2
20 38an −1
− +1
20 2an + 1
=
2an 2an
+1 +1
=1．
4an + 42
例2
已知数列{an} 中， a1 = 1 ， an an+1
=
(
1 2
)
n
，记
Sn
为
{an
}
的前
n
项的和，
bn = a2n + a2n−1 ， n N ．判断数列{bn} 是否为等比数列．
解：因为
an
an+1
=
(1)n 2
分析
此题的基本方法是由 an+1 = 3an + 1，构造新数列 an
+
1 2

是一个首项为
3 2
，公比
为
3
的等比数列，从而求得
an
=
3n − 2
1
．这种构造新数列的方法有时往往不能理解为何要这
样配凑，于是也就仅限于依葫芦画瓢而已，其实此类型问题可采用迭代法求解．
解 an = 3an−1 + 1 = 3(3an−2 + 1) + 1 = 32 an−2 + 3 + 1
例 2 设数列 an 满足 a1 =2 ， an+1 − an = 3 22n−1 ．求 an 的通项公式．
解： an = an−1 + 3 22(n−1)−1 = (an−2 + 3 22(n−2)−1 ) + 3 22n−3 = = an−2 + 3 22n−5 + 3 22n−3
变式 1 设数列{an} 的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn = an+1 − 2n+1 + 1 (n N ) ，且 a1，a2 + 5，a3 成 等差数列．
（1）求 a1 的值；
（2）求数列{an} 的通项公式．
分析
由 Sn 求出 an+1 = 3an + 2n
后，可变形为 an+1 2n
+3
，两式相乘得 anan+1an+3an+4
=
an +1an + 2 2 an + 3
，
因为 an 0 ，所以 anan+4 = an+22 (n N* ) ，
从而{an} 的奇数项和偶数项均构成等比数列，
设公比分别为 q1, q2
，则 a2n
=
a2
q n−1 2
=
2q2n−1 ， a2n−1
解：由 nan+1 − (n + 1)an = n(n + 1) 两边同除以 n(n +1) ，
得 an+1 − an n+1 n
=
1
，从而数列
{
an n
}
为首项
a1
= 1 ，公差 d
= 1 的等差数列，
所以
an n
=n
，从而数列{an} 的通项公式为
an
=
n2
．
变式
已知数列 {an }
的前
n
项和为
此类问题叫板在数列定义上，活在变形策略的体验上，虽无定法，但仍有章可循．
思路一： Sn 与 an 之间的转化；
思路二：利用相邻项之间的递推，常构造常数列过渡，得出{an} 通项，得到等差 （等比）数列；
思路三：递推关系中消常数，得出相邻项的关系．
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n(n 2) ，都有 3Sn = Sn+1 +

0．
所以{bn} 是公比为的等比数列．
变式 已知数列{an} 各项均为正数，a1 = 1 ，a2 = 2 ，且 anan+3 = an+1an+2 对任意 n N 恒成
立．求证：对任意正实数 p，{a2n + pa2n−1} 成等比数列．
证明：由
an an +3 an+1an+
=
4
an a +1 n+2 = an+2an
通项公式． 分析 相邻三项的递推关系可以先利用迭代法转化为相邻两项的关系，再利用迭代法求 解．
解：因为 2an = an−1 + an−2 ，
所以 2an + an−1 = 2an−1 + an−2 = an−2 + an−3 + an−2 = 2an−2 + an−3 = = 2a2 + a1 = 2a ，
an 的通项公式．
解： an = can-1 + cn 2(n −1) +1
= c can−2 + cn−1[2(n − 2) + 1] + cn 2(n −1) + 1
= c2an−2 + cn[2(n − 2) + 1 + 2(n −1) + 1] =
= cn−1a1 + cn[2 1 + 1 + 2 2 + 1 + + 2(n −1) + 1]

a
+
a
=
2 3
a
1 −

−
1 2
n−1
．
经检验，n = 1，
2
时也符合通项，所以 an
=
2 3
a
1
−

−
1 2
n−1


．
注：相邻三项或四项的问题理论上还是可以利用迭代法完成，但可能会较为复杂或者 难以发现迭代规律，所以在使用时都应先变形化简再进行迭代，有一定的技巧性．
第二讲 证明等差（等比）数列问题研究
1．证明等差（等比）数列的方法——定义法．
(1)等差数列：途径一： an+1 − an = d （常数）；
途径二： 2an+1 = an + an+2 ，即 an+2 − an+1 = an+1 − an ．
(2)等比数列：
an+1 an
=q
（常数）且
a1

0
．
2． 应对由递推关系处理等差（等比）数列问题的若干思路
An n
=
A1
+
(n
−
1)

1 2
=
1n+ 2
1 2
，即
An
=
n(n +1) (n N*) ， 2
所以
an+1
=
An+1
−
An
=
(n
+ 1)(n 2
+
2)
−
n(n +1) 2
=
n
+ 1(n N*)
，
又 a1 = 1 ，所以 an = n(n N*) ． 注：此类问题解决的关键在于通过递推关系式的变形，转化为已知数列（或模型），从 而求出对应的通项．
= 33 an−3 + 32 + 3 + 1 = = 3n−1 a1 + 3n−2 + + 3 + 1
= 3n−1 + 3n−2 + + 3 + 1 = 3n −1 ． 2
注：迭代法的实质就是通过反复替换，将 an 与 an－1 的关系最终替换为 an 与 a1 的关 系，从而求出通项．实际上，累加法适用的递推数列类型可以看做是此类型的特例( p = 1) ，故一般都可用迭代法加以解决，如教材中对等差( 等比) 数列的概念就是以递推式的 形式给出的，然后用累加( 累乘) 法证明通项公式，自然也可以用迭代法推导出其通项公 式．由此可见，迭代法并非什么高深莫测的方法，而是通性通法．
，所以
an+1
an+2
=

1 n+1 2
，
所以 an+2 an
=
1 2
，即 an+2
=
1 2
an
．
因为 bn = a2n + a2n−1 ，
所以Байду номын сангаас
bn+1 bn
=
a2n+2 + a2n+1 a2n + a2n−1
=
1 2 a2n
a2n
+
1 2
a2n−1
+ a2n−1
=
1 2
，又 b1
An
，对任意
n N*
满足
nAn+1
−
(n
+1) An
=
n(n +1) 2
，
且 a1 = 1 ．求数列{an} 的通项公式
解：由 nAn+1
− (n +1) An
=
n(n +1) 2
得
An+1 − n +1
An n
=
1 2
，
所以数列

An n

是首项为
1，公差为
1 2
的等差数列，
所以
量的旧值递推新值的过程，有的数列通过有限次的迭代，一定能求出通项公式．运用迭代法
解决递推数列的通项公式问题是提高解题能力的有效途径．
2．构造与转化也是研究递推数列的一种常用的手段和方法，是我们必须具备的一种数
学能力．
例 1 已知数列{an} 满足 a1 = 1， an+1 = 3an + 1．求{an}的通项公式．
3n−1 − 2n−1 2
= 3n−1 a1 + 3n−2 2 + + 30 2n−1 =
3 = 3n − 2n ． 1− 2
3
n=1 时也适合上式，所以 an = 3n − 2n ．
变式 2 在数列 an 中， a1=1 ， an+1 = can + cn+1 (2n +1)(n N *) ，其中实数 c 0 ．求
=
an2
两边同时取对数得：
lg
an+1
=
2 lg
an
，即
lg an+1 lg an
= 2，
所以
{ lg an }是以 lg3 为首项，2 为公比的等比数列，所以 lgan = lg a1 2n−1 = lg 32n−1 ， 所以 an =
3 ． 2n−1
例 4 已知数列{an} 满足 nan+1 − (n + 1)an = n(n + 1) ， n N ，且 a1 = 1 ．求数列{an} 的 通项公式．
2Sn−1 + an−1 ．求证：数列{an}为等差数列．